概率是什麼？Sigma algebra, Borel field 是什麼意思，意義何在？

01-21

對一個有有基本的analysis基礎的人，怎麼通俗的解釋概率呢？

我從概率論和測度論的關係的角度給你解釋一下啊，測度論是概率論的理論基礎，所以概率中的一些概念抽象化就是對應的測度論中的概念。

概率是要度量「事件發生的可能性」的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察「事件的全體」，對應到測度論就是「集合系」。」事件發生的可能性「是對事件的一種度量，對應到測度論就是「集合的測度」。

不是每個事件都可以定義其概率（發生的可能性的大小）的，對應的就是不是每個集合都可以定義測度，可以定義測度集合就是可測集。同時，事件必然要涉及到事件的組合運算（複雜事件是可由基本事件表示出來），對應的就是集合的交、並、差、余、極限的運算到複雜集合，所以又需要保證做可列次這些運算不能超出全體範圍（即可測集的範圍要足夠大，以保證集合的可列次交、並、差、余、極限的運算，之後還在裡面）

那麼什麼樣的集合系，才能保證其中的集合是可測集（可以定義測度，又對那些運算封閉）呢？測度論中講了，只要集合系是σ-代數（也叫σ-域）就可以了。σ-代數的基本定義是：1. 全集在裡面；2. 裡面每個集合的余集在裡面；3. 裡面任意可列個集合的並集在裡面。有了這三條基本定義，就可以推出：空集、可列次交、並、差、上限集、下限集運算之後都能在裡面。就滿足需要了。

所以，集合X+該集合上的一個σ-代數F，（X，F）就是一個可測空間了，即可以定義測度的空間（F中任一集合都可以定義其測度（某種度量））。進一步再定義了測度μ，那麼（X, F, μ）就是測度空間。

對應到概率論中，樣本空間Ω，事件域F（是個σ-代數），概率測度P，放一起（Ω，F，P）就是概率測度空間。概率測度P是滿足特殊要求的一種測度：P(Ω)=1.

Borel Feild就是Borel σ-代數，表示實數軸上的σ-代數，可由實軸上的所有開集生成（的σ-代數），也可由實數軸上所有的(-∞,a]這樣的區間生成（σ-代數），是相等的。按σ-代數前面說的，實數軸上開集、閉集的至多可列次交、並、差(余)、上限集、下限集、極限集的運算，都超不出該Borel σ-代數的範圍。

Borel σ-代數（我用Br表示）有什麼用？其實概率論中的隨機變數，對應測度論中的可測函數，而可測函數就是從可測空間（X，F)到（R，Br）的可測映射。

再說說隨機變數，前面說了概率論中要用集合表示事件，但事件五花八門，怎麼統一用一種簡單的集合表示呢？這就用到映射的概念，建立一種從樣本空間（基本事件的全體）到實數軸的映射（一一對應）就可以了，這種映射就是隨機變數。有了它，基本事件映射到實數軸上就是的基本區間，基本事件經過運算生成的複雜事件，映射到實數軸上就是實數軸上Borel σ-代數中的集合。

因為有了這個對應關係，要度量「事件發生的可能性的大小」（即概率測度），只要度量「實數軸上Borel σ-代數中的集合」就可以了（前面說了Br因為是σ-代數是可以定義測度的，給Br中的集合定義概率測度就行了）。

所以，隨機變數的測度論語言定義是這樣的：設（Ω，F，P）為概率測度空間，若對實數軸上Borel σ-代數中的任一集合（稱為Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，則稱X(w)為隨機變數。

總之，隨機變數就是建立了「隨機事件」到「實數軸上Borel σ-代數」的一種對應，並且保證了建立了這種對應的隨機事件都是可以定義概率測度的。

既然隨機事件{w∈Ω: x(w) ∈B}屬於F，那麼可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意義的，為了簡單，概率中就記P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。

特別地，若取B=(-∞,x), 則事件{X∈B}的概率

P{X∈B} = P{X≤x} :=
F(x)

就定義成隨機變數X的分布函數。因為對任意的區間(a,b], 都可表示成

P{X ∈(a,b] } =
P{a&

進而，由這樣的區間經過至多可列次交、並、差運算的複雜的實數軸上的Borel集都可以用F(x)給出其概率。

當然，隨機變數也可以定義為從樣本空間到平面R2上的映射，就是二元隨機變數。

為什麼邀請我，，我只是一個不知名的渣渣而已啊，，

樓主說有分析基礎，學過實分析的話應該就會知道這些東西是啥了，那麼姑且假設為大一的數學分析的基礎吧

從頭講起的話，σ-代數（sigma algebra）就是某個集合X上的一個集族，在這個集族中，任意集合的補集，任意可數個集合的交，任意可數個集合的並均在這個集族中。具體定義可看wiki：Sigma-algebra

然後這個σ-代數就形成了一可測空間（measurable space），以它作為定義域我們可以有一個函數（在這裡即為從集合到廣義非負實數（即非負實數加上正無窮）的映射），這個函數滿足：1，空集的函數值為0；2，可數個兩兩不交的集合的並集的函數值為這些集合的函數值的和。我們把這個函數叫做測度（measure）。具體定義可看wiki：Measure (mathematics)

在數學上，概率就是一個測度，並且概率這個測度還滿足全空間（就是上面的那個集合X）的函數值為1。

borel field是什麼我也不知道。

至於怎麼通俗的解釋概率是什麼，，，這個還真不好「通俗的」解釋，，你得首先把測度理解成一個通俗的概念那就自然就ok了，，，