人類有沒有可能發明一種測度理論，使得任何集合都是可測集？

01-21

定義任何一個集合測度為0……done

額，不用重建一個測度理論，只要把ZFC里的AC換成AD就好了，不過那種理論……有點無聊……

所以的集合都可測有非平凡的情形。

設 $X$ 是任意的集， $mathcal{B}$ 是 $X$ 的所有子集的集合（離散 $sigma-$ 代數）, 定義函數 $#:mathcal{B} o[0,+infty]$ ，如果集合 $E$ 是有限的，定義 $#(E)$ 為 $E$ 的基數，如果 $E$ 是無限的，定義 $#(E):=infty$ , 那麼 $#$ 是可數加的測度，而且使得 $X$ 的所有子集都可測。還有對於任何定義在 $X$ 上的非負函數 $f$ ， $f$ 可測, 我們有

$int_X f d#=sum_{xin X}f(x)$

首先明白什麼叫測度，測度是定義在半環上的一個集函數，只要滿足非負性、規範性，與有限加性就成為一個容度，如果再滿足可列加性就成為一個測度。

題目中所說的任何集合，我這裡姑且認為是全集R所有子集，不然的話所有集合是個什麼鬼真的不是很清楚。當然R的冪集是一個半環，更確切地說，是一個$sigma$代數。那要在這個集族上定義一個測度。比較簡單的有以下：

1）全為0，平凡

2）Dirac測度：如果包含元素a測度為1，否則為0

3）計數測度：如果有限則測度為基數，否則為正無窮

從非標準分析觀點看標準實數集的可測性

看這篇文章，在非標準分析下似乎能發展出這樣的理論。

教材上的，任何集合都有外測度。

人類「發明」「理論」是基於人類認識世界的需要，所以

你可以定義一個叫做「測度」的概念使得所有集合可測，但是你要考慮這東西有什麼意義……