調和函數在什麼條件下在全區域內為0？歡迎both物理and數學上的解釋

從一個線性表面波速度勢函數的結論中看到的。

---

如果是題主是在物理遇到的問題，那麼想要得到的結論應該是這樣的：如果調和函數在邊界上取值為零，則在整個區域內處處為零。

數學上解釋，這實際上是複變函數的一個結果：最大模原理，我個人理解這是解析函數平均值定理的一個推論，可以在任何一本複變函數或是複分析的教材中找到證明。當然這一結論的證明也可以不依賴於複變函數。利用微積分的知識也可以證明這一結論。基本思想也是先利用Gauss公式證明平均值定理，題主可以參考相關的教科書。

物理上解釋，這裡可以提供一種看法。把調和場看作一個給定區域內的靜電場，區域內沒有靜電荷（否則就不是調和場了）。我們斷言電勢極值不能在區域內取到。以極大值為例，如果存在一點是電勢極大值，那麼在這一點附近電場都是離開該點方向的。在這一點附近取一個Gauss面，根據Gauss定理可知內必然存在正電荷，與區域內沒有靜電荷的假設相違背。

另外binjie li指出無源的穩態熱傳導方程也會退化為Laplace方程，因此調和函數也對應一個穩態且區域內部沒有熱源的溫度分布。從物理上看，似乎比較顯然顯然在區域內部不可能達到極值。所在邊界上取值都為零，那麼在區域內部顯然也應為零。當然，有幾位同學的答案「如果調和函數在很小的區域內恆為0，它必在整個區域上恆為0」結論也是對的，但這實際上不是調和函數特有的性質而是一般解析函數所具有的性質。而且在物理上這個結論似乎也並不重要，只是偶爾出現在唯一性定理的證明中。

---

你可以看一下《數學物理方程》第二版（谷超豪）書上有與這個問題相關的內容（圖片都是來自這本書的）

1.首先證明調和函數關於自變數的解析函數

2.如果調和函數在很小的區域內恆為0，那麼它必在整個區域上恆為0，這個我還沒有想到嚴格的證明，不過你這個結論是正確的。

可以回答你的問題部分

調和函數在全區域內為0的充分條件是：調和函數在很小的區域內恆為0。是否為充要條件還要證明『

update

如果調和函數在邊界上恆為0，那麼它在區域內也只能恆為0，證明如下

考慮區域的調和函數，它在的邊界上恆為0

（在中）

可以看出是方程的解，在根據調和函數Dirichlet問題解的唯一性可知，是方程的唯一解，所以在區域內只能為0參考

[1].數學物理方程

---

能量泛函/變分的角度

熱核/格林函數的角度

還可以從這兩個來理解。

---

這是 Harmonic function 的 Maximum principle 的特例，因為物理中，邊界上和無窮遠處的值經常為零。

---

從物理上來講，這描述了一個穩態的熱傳導問題，且區域內部沒有熱源，那麼顯然在區域內部是不可能達到極值的，所在邊界上取值都為零，那麼在區域內部顯然也應為零

---

推薦閱讀：