負數與負數相乘為什麼會得正？
負數乘負數為什麼定義成正數？
因為我們是這樣定義整數的，我們定義整數上的乘法使得兩個負整數相乘是正整數。
整數是自然數除以一個等價關係（當然我們假設自然數已經定義好了），即這樣的定義的整數還不包含自然數（即自然數還不是整數），但這不是一個問題，因為存在一個canonical embedding 將自然數等同為整數的一個子集，這個canonical embedding 是
同樣根據自然數序的性質，可以證明每個整數等於如下形式的整數
定義. 如果
是一個正的自然數，我們把
叫做負整數。
根據上面的命題，每個整數時正的或負的或是零，但不能同時成立。
因此對於負整數和
，根據整數乘法的定義
至於為什麼要將整數的乘法定義成那樣，這可以說是沒有原因的。
目測上方好多好多字母……來給個漢字的答案：
數學來源於生活，特別是這些基礎運算規則……所以數學規定是需要跟生活實際相吻合的：
[補充1：這裡我指的是，特別基礎的數學，實際上是起源於……呃……廣大勞動人民的智慧……差不多這個意思吧= =~類似於各地都會發明輪子。負數這種程度的概念也是各地獨立開始使用的，因此這類「大家先用著，然後才有數學家來總結」的規則，是需要符合生活實際的。]於是我們來舉個栗子，比如慢慢取經路好了，^m^首先，負數可以用於表示方向的相反：
於是我們用+3表示向西走3米，那麼-3表示向東走3米其次，我們知道乘法常用於表示每份數與份數：
比如 +3（每天向西走3米）×4天=+12（在原來的西邊兒12米）-3（每天向東走3米）×4天= -12( 在原來的東邊兒 12米）
於是我們知道一個數乘上正數（上例中的4天），符號不應當改變。然後我們遇到了負數乘負數，於是我們需要知道啥叫 -1天：
這個類比方向，相當於在時間軸上向另一個方向走，因此-1天表示一天前，-4表示四天前。好啦，現在我們可以來看看啥叫(-3)×(-4)了:這是每天向東走3米，4天前你在哪裡？根據生活常識，我們知道答案是西邊兒12米於是我們有：（-3）×（-4）=12[補充2：這個場景中，我們默認「一直在走」，即「現在」時刻並非「開始走」的時刻，而是持續的走的過程中選取的某個時刻。因此請不要糾結「昨天還沒開始走所以仍舊在原地」這樣的問題……謝！]以下內容引自菲利克斯·克萊因的著作《高觀點下的初等數學》（第一卷·算術、代數、分析）
克萊因利用線段操作和矩形面積巧妙地論證了「負負得正」這一規則的合理性（注意，這不是一個證明！），這是求助於幾何直觀。
此外，利用數軸也可以示範併合理化這一規則（注意，這也不是一個證明），只需觀察任一正數乘以-1等價於將此正數在數軸上的對應點相對於原點做反射，在負方向上的對稱點就是該正數乘以-1的結果。依此，兩個負數相乘之所得就是兩次反射的結果，必然得正。這也是求助於幾何直觀。
至於不藉助直觀，只靠純邏輯的做法，克萊因也做了初步的論述。
說一下，很多東西直覺上能理解就可以，對大部分非數學系學生而言沒有必要細想箇中道理。舉例來說小學一年級學生學為何1＋1＝2，一般是通過實物類比去學，如蘋果棃之類。若從皮亞諾公理講起，小學生是無法聽懂的。
至於此題，1）直覺上理解可參攷http://math.stackexchange.com/a/9942/27743
2）數學上理解可參攷http://math.stackexchange.com/a/9940/27743最後解釋一下2）中 uniqueness of inverses的含意，對實數域而言，可以視為環所以環的性質如結合律都成立。若只攷慮加法則構成一阿貝爾群，而群的逆是唯一的。這就是他所謂的uniqueness of inverses.簡單說來就是 (-a)(-b) = [(-1)a] [(-1)b] (證明見下)，加上乘法滿足交換律和結合律 (證略)，再加上 (-1)(-1) = 1 (證明見下)。 詳細的來龍去脈在下面。
所有的列出一大堆式子的所謂證明都是自欺欺人的偽證明。
「負負得正」是人為的定義，從本質上不能被證明，只能被解釋。而關於這個問題的解釋已經非常成熟。直接從兩位大師的著作中抄幾段吧：
第一段，摘自《什麼是數學》(作者R 科朗 即 Cournat)，第二章： 數學中的數系，第一節： 有理數引進負數之後，我們必須定義它們的運算規則，使得算術運算能夠保持原來的規律不變。例如，我們對負數乘法規定 (-1)(-1)=1 ，這是我們希望保持分配律 a(b+c) = ab + ac 的結果。因為如果我們讓(-1)(-1)=-1，就會有-1(1-1) = -1-1=-2 。 對數學家來說，經過了很長的一段時間才認識到「符號規則」以及負數、分數所服從的其它定義是不能加以「證明」的，它們是我們創造出來的，為的是在保持算數基本規律的條件下使運算能夠自如。
能夠並且必須加以證明的僅僅是，在這些定義的基礎上，算數的交換律、結合律、分配律是保持不變的。
甚至偉大的歐拉也曾藉助於一個完全不令人信服的討論來證明(-1)(-1)必須等於+1。歐拉說：因為(-1)(-1)必須是+1或-1，而由於(-1)=(+1)(-1)，所以(-1)(-1)必須不能是(-1)。......有理數被發明之後，我們為有理數規定了一些運演算法則，比如 a/b + c/d = (ad + cb)/bd 。並沒有一個先驗的經驗要求我們對其計演算法則做怎樣的規定，我們之所以規定a/b + c/d = (ad + bc)/bd, 完全是因為這樣符合日常的應用，也使得有理數和原來的自然數相容(即交換律、結合律等基本運算規律在加上有理數之後仍然成立)
有理數是我們自己的創造，我們可以胡亂地宣布某些規則，如a/b +c/d = (a+c)/(b+d)，但從度量的觀點來看，這是一個荒謬的結果，這種類型的的規則，雖然在邏輯上是允許的，但將使我們的符號算數變成毫無意義的遊戲。人們要求創造一個適合度量的工具，在這裡，思維正是順應著這個要求而自由發揮的。 分數、負數等概念存在的純算數意義很明顯了，因為這種存在擴大了數的範圍，不僅形式上的結合律、交換律和分配律成立，而且方程a+x=b和ax=b不受限制地總有解x=b-a 和 x= b/a(a≠0)。換句話說，在有理數的範圍內，所謂有理運算-加減乘除-可以無限制地進行，而決不會超出這個範圍之外。這樣一個封閉的數的範圍稱為一個「域」直到19世紀中葉，數學家們才完全意識到，在一個擴充的數域中的運算，其邏輯和哲學基礎本質上是形式主義的。這擴充的數域必須通過定義來創造，這些定義是隨意的。但是，如果不能在更大的範圍內保持在原來範圍內通行的規則和性質，它是毫無用處的。這些擴充有時可以和「實際」對象相聯繫，通過這種方式為新的應用提供工具，這是最重要的，但是這隻能提供一種動力而不是擴充的合理性的邏輯證明。
摘出來的這段話講的還是太籠統，如果可以翻看一下原書的此一章節，相信理解會更深刻，另外關於上文中加粗的「使運算能夠自如」一句，書中也有更深入的解釋。
第二段，摘自《高觀點下的初等數學》作者Felix Klein，第一卷之所以建立負數概念，是因為要求在一切情況下都可能進行減法運算。在字母記號運算的基礎上導入負數，其中所涉及的最重要的心理活動，是人類本性的一般表現，因為人類不由自主地傾向於在更一般的情況下運用這些法則，而不顧這些法則只是在一些特例下導出並成立的。
比如(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd 這個式子，先知道在a、b、c、d皆為正數且a&>b,c&>d時是成立的，然後若令a=c=0，就得到(-b)×(-c)=bc，即負數相乘的符號法則。這樣，我們幾乎不自覺地不經假設即已導出一切規則，而循前思路，這些規則本來必須要看作必要的假設，才能使舊的法則對於新的概念也成立。
人們對負數一直很有疑問，只是到了19世紀，在人們已經用負數進行運算好多個世紀之後，才考慮到了它的邏輯相容性。話說回來，只要人們繼續想把它用事物的個數概念來表示，而沒有認識到，在新概念建立之後，其邏輯形式法則起主導作用，這種疑問就會一直存在下去。因此，人們曾反覆地企圖證明符號法則。19世紀提出了一個簡單解釋：談論定理的邏輯必要性是沒有用的，換句話說，符號法則不能證明，人們只關心這個法則在邏輯上是否允許。
如果我們現在帶著批判的眼光去看中學裡負數的教法，常常可以發現一個錯誤，就是像老一代數學家如上指出的那樣，努力去證明記號法則的邏輯必要性。它們從(a-b)×(c-d)的公式導出(-b)×(-d)=bd，以為就得到了證明，完全忽略了這個公式之所以成立取決於不等式a&>b，c&>d。因此，證明是虛假的，本來可以根據心理學的考慮通過承襲性的原則而得出法則，現在卻讓位於一種偽邏輯的考慮。學生第一次聽到這樣邏輯證明時，當然是聽不懂的，而最終只好相信。如果在高年級再講的時候，還不能使學生形成正確的概念，那麼某些學生就會產生一種很根深蒂固的觀念，以為整個概念是神秘而不可理解的。但事情竟常常如此。
大家應該用簡單的例子來使學生相信，或有可能的話，讓他們自己弄清楚，從實際情況來看，承襲性原則所包含的這些約定關係，恰好是適當的，因為可以得到一致方便的演算法，而其它任何一種約定，總要強迫我們考慮許多特例。
附上兩位大師的介紹：
柯朗_百度百科菲利克斯·克萊因負數其實是複數，負數乘負數其實就是複數乘複數。
複數乘複數，是把複數和複數的模值相乘，再把複數和複數的幅角相加。
負數就是一個模值為其絕對值、輻角為π的複數，所以負數乘負數就是一個模值為其絕對值相乘、輻角為2π的複數，也就是「正數」。
如果你沒有看懂，可以百度搜索「複數」。
最後，如果我打錯了「負數」和「複數」，請指出，多謝。證明應當是從代數的角度來切入，正如這裡的好答案們所說的，不過剛才翻到此題，很好奇這樣的題目在知乎為什麼沒人說用de Moivre定理來理解的？
轉動兩次180°，就轉了一次360°了。
初中的時候想過這個問題，當時我是這麼解決的：
問題： （-1）*（-1）= -1 （式1） 可以存在嗎？分析：首先我覺得，學了負數之後，這種新的數，應該還滿足我們小學的一條經驗（現在看來，應該是公約）：一個數乘以1，還是它本身。即 （-1） *1= （-1） （式2）那麼，下面就面臨， （-1） 是否能做分母這個問題了，我們知道0是不能做分母的，但是我們引入負數，可不是希望這種數只能做分子，不能做分母。所以， -1 可以做分母時，剛才的公式1可以變形為： 1= （-1）/（-1） （式3）我們讓（式1）等號兩邊都除以（-1），就會有 （-1）*（-1） /（-1）= （-1）/（-1） 即 （-1）* 1 =1這個和式2矛盾。因此，如果我們想保證下面兩條公理繼續成立的話，（-1）*（-1）=1是必然的：一個數乘以1，還是它本身。 一個非零的數除以它本身，等於1。Ps：當時我非常得意，直到後來我知道了群論，集合論，現代公理體系這些東西（見洪濤和DiamondbacK的答案）……所謂民科，就是重新發明了官方教科書上第一頁的東西（而且很多時候還犯了錯誤）。這個問題在我初中的時候困擾了我好久，後來我想出一個辦法來解釋。
這個問題分兩步，第一步是為什麼一個正數和一個負數相乘會等於負數，第二步再說為什麼倆負數相乘是正。
其實數是有方向的，以0為中點，正負分散兩邊：
... 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 ...正負號在這裡是方向的表示，負號代表的是正的對面。這樣-4就是0對面距離4的位置，這就可以理解 2*(-4)=-8 ，因為0右邊距離4的位置的兩倍當然是右邊距離8的位置，所以2*(-4)=-(2*4)=-8。問題的關鍵在於正負號不是表示大小，而是表示方向，是一個無關大小的屬性。
理解了這點再來看倆負數相乘的問題，其實還是「對面」的問題，第一個負號把結果的位置搞到了0的對面，第二個負號又把結果的位置搞到了對面的對面，由於這個世界只有兩個方向（只有+-倆符號並且是互為相反的----這是數學規定，要是搞出第三個符號就不好說了），所以對面的對面就又回來了。。這樣(-2)*(-4)=(-)*(-)*2*4=(對面)*(對面)*2*4=8。
說白了負負得正來自於規定，負號代表方向而非大小，問題的本質是對面的對面就是當下這面，而不是兩個比0小的數字搞到一起怎麼反而比0大了。簡單來說，假設x，y屬於數域F，求證 -x * -y = x * y。x + -x = 0y + -y = 0(x + -x) * (y + -y) = x*y + (-x*y) + (-y*x) + (-x * -y ) = -x*y + (-x * -y ) = 0移項可得。------------------------------------EDIT-----------------------由簽名，證的丑了點，看@洪濤的答案二吧。
這麼約定的一個解釋就是為了讓整數構成一個交換環， 即環的加法，交換，結合，加法可逆，零元，乘法的交換結合，幺元，以及加法和乘法的分配律成立。如果我們不關心分配律，我們可以約定如下乘法定義：
若a&<0,b&<0，定義ab=2ab (ab為我們通用的乘法)
若其它情形，定義ab=ab， 特別的（-1）（-1）=2
可以驗證，這個乘法與通常的加法+ 滿足交換環除了分配律的所有要求。
這就讓人不爽了。 所以我這個乘法定義的就很沒水平。
那麼到底該定義成多少呢？其實就是說到底怎麼定義使得能滿足整數構成一個環呢？前面答案有人摘錄 經典書籍 《什麼是數學》中已經解釋了。
再重複一遍：第一步，根據分配律容易得到對任何數a有 a*0=0，
第二步 0=-1*0=-1*(1+(-1))=-1+(-1)*(-1)，得到(-1)*(-1)=1
假設 x = -1 * -1 兩邊同時減去1，變成 x-1 = -1 * -1 - 1變成 x - 1 = -1 * -1 + ( -1 * 1)變成 x - 1 = -1 * ( -1 + 1)x - 1 = 0x = 1
感覺有的答案說的太麻煩了。因為負數表示取反，所以負數乘負數可以理解為兩個正數相乘後的結果（正數）取反再取反，類似於雙重否定，就正了。
沒那麼複雜吧。
（-1）×（-1）= （-1）×（-1）+1-1=（1-1）×（-1）+1=1-a*-b=-a*-b+ab-ab=-a*（b-b）+ab＝ab「上帝創造了自然數，其他的都是人的工作」正如你自己說的一樣，負數乘負數是被「定義」為正數，這樣的「符號規則」以及負數、分數所服從的其他定義是不能加以「證明」的，它是被數學家「創造」出來的，為的是在保持算術基本規律的條件下使運算能夠自如。正如我們對負數的乘法規定（-1）（-1）＝1這是我們希望保持分配律a（b+c）＝ab+ac的結果。因為如果我們讓（-1）（-1）＝-1，令a＝-1，b＝1，c＝-1，就會有-1×（1-1）＝-1-1＝-2，可另一方面我們實際上有-1（1-1）＝-1×0＝0。
首先需要知道負數的含義是什麼，
一般含義是指相對於正數相反的方向，比如左右，前後，上下，高低等等。乘機的含義是什麼，一般含義是指次數或者是倍數。於是-n*-m 可以理解為 -n*-1*m並且進而理解為 n * -1 * -1 * m
n代表具體事物的含義 -1代表的是相反方向，-1代表的是相反方向，m代表重複次數。那麼n*-1 * -1 代表 在 n的基礎上的兩次相反方向的判定。於是出現了，兩次的相反判定等於沒有做改變的現象，所以說 n * -1 * -1 * m = n*m這個可以在物理上和實際的情況上加以認識。
至於為什麼-1 * -1 就等於 1呢， 我不了解在數學上是如何證明的，但是在實際生活中，看作兩次相對（相反）的判定就可以了，現實意義很明確。結合生活實例來解釋的話，比如有個小朋友特別愛吃金拱門，每天三餐都自己在那吃，一天要花50塊錢。小朋友的（數學特別不好的）媽媽在一周前的晚上（也就是七天之前的晚上）給了小朋友留下一共350塊錢就出差去外地兩周了，對是兩周，然後還告訴孩子你就靠這點錢好好吃兩周吧。
首先我們可以假定小朋友手裡還剩下的錢為正數，如果花完所有錢了還繼續吃金拱門導致欠債了就是負數。另外假定今天為時間的0（原點），從今天往未來數每一天就是加一天也就是正數，從今天往過去數每一天就減一天也就是負數，所以七天前他媽媽出差的時候就是第﹣7天。
那麼，已知今天小朋友吃完三餐花完了50塊錢後，晚上剩下的錢剛好是0塊錢了，那麼如果明天小朋友又吃了一天金拱門，那明天晚上小朋友兜里的錢就是欠債50了，也就是-50，來自於-50（每天花錢50）乘以+1（從今天往未來數一天），所以（-50）*（+1）=（-50）。
那如果問，小朋友在昨天晚上也就是﹣1天的時候兜里有多少錢呢？好像剛剛好還剩50（正數的），那也就是-50（每天要花的錢）乘以-1（從今天往過去數一天），所以（-50）*（-1）=50。
無意中看到了這個問題，也是學習了上面的高贊答案，把一個負數理解為時間的正負真的是很好的思路，但感覺用向量的方向性表示另一個正負還是有點抽象，就乾脆換成最原始的理解，用剩錢和欠款來表示正負吧。
「數法」一書解釋，負負得正有兩個原因：
1 負數的負數是正數。即，逆法的逆法為正法。
2 反方向的反方向是正向。即，乘以負數為連減對應的正數。
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