數學理論是不是因其極強的邏輯性而很少出錯？
突然發現好多人的認識都是錯誤的。數學不是真理！數學不是真理！數學不是真理！推薦一本書：克萊因著的《數學，確定性的喪失》
早在1928年，哈代就用他一貫的坦率語氣說過：嚴格說起來，根本沒有所謂的數學證明……歸根到底，我們只是指出一些要點；……李特伍德（Littlewood）和我都把證明稱之為廢話，它是為打動某些人而編造的一堆華麗詞藻，是講演時用來演示的圖片，是激發小學生想像力的工具。
1944年，傑出的美國數學家懷爾德（Raymond L．Wilder）再次貶低了證明的地位。他說，證明只不過是：
對於我們直覺產物的檢驗……。很明顯，我們不會擁有而且極可能永遠不會有任何一個這樣的證明標準，其獨立於時代，獨立於所要證明的東西，並且獨立於使用它的個人或某個思想學派。在這種情況下，明智的做法似乎就是承認，一般地來說，數學中根本就沒有絕對的真實證明這個東西，而無須考慮公眾會怎麼想。
證明的價值又被懷特海在一次題為《不朽》的講演中再次攻擊：
邏輯被認為是思想發展的充分分析，事實上並非如此。它是一種絕妙的工具，但它還需要有一些常識作背景……。我的觀點是：哲學思想的最終形式不能建立在構成特殊學科基礎形式的精確闡述之上。所謂精確性本身就是虛假的。
絕對嚴格的證明以及與它類似的東西都是捉摸不定的，理想化的概念，「在數學的世界中沒有它們天然的棲身之地」。什麼叫嚴格？對此本來就沒有嚴格的定義。一個證明，如果被當時的權威所認可，或者是用了當時流行的原理，那麼這個證明就可為大家所接受。但現在，並沒有一個普遍接受的標準，現在不是數學嚴密性最輝煌的時代。可以肯定，過去人們認為數學的特徵——從明確的公理經過無可辯駁的證明——如今已不復存在了。一切限制人們思維的易謬性和不確定性，邏輯都具備。肯定有人感到驚訝，在數學中，我們習慣性地做了那麼多基本假設卻從來沒有意識到。
什麼是可接受的數學公理？一個典型的例子是我們是否使用選擇公理，在這個問題上，數學家進退維谷，不用它或者否定它就意味著放棄數學中的大部分，而用它呢，則不僅導致自相矛盾，而且還會導致直覺上不合理的結論。數學史中充滿了光輝的成就，但它同時也是一部災難的記錄——克萊因 數學證明曾被認為應該總是一個清晰明確，無法辯駁的過程，確實這一點已被忽略了幾個世紀。我們知道，演繹數學起源於古希臘，其第一個似乎十分合理的結構是歐幾里得的《原本》。歐幾里得是以定義公理和演繹得到的定理開始的，歐氏幾何中有一條公理一直在困惑著數學家們，不是由於他們對其正確性有任何懷疑之處，而是由於它的表達方式。這就是平行公理，或者通常稱為歐幾里得的第五假設，歐幾里得的表述是這樣的： 如果一條直線與兩條直線相交，使得一側的內角不都是直角，則如果將這兩條直線延長，它們在內角不都是直角的直線一側相交。 即若＜1＋＜2＜180°，將a、b充分延長，則它們必定相交。 歐幾里得有很好的理由以這種方式表述他的公理。他本可以用另一種方式來敘述：若＜1+＜2＝180°則直線a與直線b永不相交，即直線a平行於直線b，但歐幾里得顯然是害怕假設有永不相交的無限直線。當然經驗並沒有提供無限直線的性質，而公理是被認為是關於物理世界的自明的真理。然而他確實以他的平行公理和其他公理證明了平行直線的存在。 歐幾里得對平行公理的敘述被認為有點過於複雜了，它缺少其他公理的簡潔性，顯然連歐幾里得本人也不喜歡他對平行公理的敘述，因為直到所有可以不用它的定理都被證明出來以後，他才提到它。一個並沒有使許多人不安然而最終卻至關重要的問題是能否肯定在客觀世界中存在無限直線。歐幾里得的措詞頗為謹慎，你可以按需要任意延長一條（有限）直線，且延長後的直線仍然是有限的。歐幾里得確實暗示了無限直線是存在的：否則在任何情況下也不能按需要任意延長。 早在希臘時代，數學家們就開始致力於解決歐幾里得的平行公理所帶來的問題了。他們做了兩種不同類型的嘗試，一種是用看來更加自明的命題來代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他九條公理中推導出平行公理。如果這一辦法可行則平行公理就成為定理，也就無可懷疑的了。在兩千多年的時間裡，許多著名的數學家曾從事於這兩方面的研究。至於那些無名之輩，我們就不去多說了。這段歷史相當長而過於專業化，它們中的大部分不在這裡重述，因為它們很容易查到而且並不大切題。 在眾多的替代公理中有一條是我們今天通常在中學裡學習的，因而值得一提：這是普萊費爾(John
Playfair) 1795年提出的平行公理的另一種說法：過不在直線l上一給定點P（圖4.2），有且僅有一條由l和P確定的平面上的直線，不與l相交。所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡單，但進一步考察就會發現，它們並不比歐幾里得的敘述更令人滿意。其中許多，包括普萊費爾的敘述涉及到空間的無窮遠處。另一方面，那些不直接提及「無限」的替代公理，例如，「存在兩個相似但不全等的三角形」，看起來比歐幾里得本人的平行公理更為複雜，更不可取。
在試圖用第二種方法，即從其他九條公理中推出平行公理以解決平行公理問題的努力中，最有意義的是薩謝利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一個耶穌會教士，帕維爾大學的教授。他的思想是，如果你使用了一個本質上不同於歐幾里得平行公理的公理的話，你將得出與他的其他公理矛盾的定理。這種矛盾意味著否認平行公理——它是唯一存在疑問的公理——是錯誤的。因此歐幾里得的平行公理一定是正確的，即它是其餘九條公理的推斷。
考慮普萊費爾的公理，它與歐幾里得的公理是等價的，薩謝利首先假定過P點沒有與l平行的直線，則由這一公理和歐幾里得採用的其他九條公理，薩謝利確實推出了矛盾。薩謝利接著又試了其他可能的假設。即過P點至少有2條直線p和q，不管如何延伸總不與l相交。薩謝利進一步證明了許多有趣的定理，直到他推出一個奇怪而且令人討厭的結論，他認為它與前面得出的結論是矛盾的。由是薩謝利認為有理由推出結論：歐幾里得的平行公理是其他公理的推論，因此將他的書命名為《歐幾里得無懈可擊》（1733年）。然而後來的數學家發現薩謝利並未真正推出矛盾，因此平行公理的問題依然存在。花在尋找一個可接受的歐幾里得平行公理的替代公理或證明它是其他九條公理的推論上的精力如此巨大而且徒勞無功，以致於達蘭貝爾在1759年稱平行公理問題是「幾何原理中的家醜」。
1855年高斯死後（此時他的聲望已無人可比），他的筆記中的材料被公之於眾。1868年黎曼於1854年寫就的論文的發表使得許多數學家相信，非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已是一個令人震驚的事實了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個是正確的，或者究竟有沒有正確的。顯然，數學家們將基於有限的經驗顯得正確的命題作為公理，並錯誤地相信了它們是自明的。數學家們陷入了馬克·吐溫描述的窘境：「人是宗教動物，他是唯一具有真正宗教的——他們中的少數人。」
非歐幾何及其隱含的關於幾何真理性的內容逐漸被數學家們所接受。但並不是由於它的適用性的任何論據被加強了，而是正如普朗克（Max
Planck），這位量子力學的奠基人在本世紀初所說的：「一個新的科學真理並不是靠說服它的對手並使其看見真理之光取勝，而是由於它的對手死了，新的一代熟悉它的人成長起來了。」至於說到整個數學的真理，有些數學家贊同高斯的觀點，真理存在於數中，它是算術、代數、微積分以及後續學科的基礎。當雅可比（Karl Gustav Jacob
Jacobi）說：「上帝一直在進行算術化」的時候，他並沒有像柏拉圖那樣堅持說上帝永遠在進行幾何化。看起來數學家總算設法拯救並且保住了建築在算術基礎之上那一部分數學的真理性，這一部分到1850年時在科學上遠比那幾門幾何使用得更為廣泛也更為活躍。不幸的是毀滅性的事情接踵而來，為了理解這些我們必須往回走一點點。
用複數來表示平面上的向量及其運算的方法到1830年時已經差不多是眾所周知的了。然而，如果幾個力作用於一個物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實數稱為一維數，複數為二維數，那麼，要用什麼來表示空間中某種三維數的向量及其代數運算呢？人們希望對這種三維數進行的運算，類似於複數的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實數和複數所具有的那些性質。這樣代數運算才能自由且有效地使用。於是，數學家們開始尋找一種稱為三維複數及其代數的數。
有許多數學家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的複數的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數學家們所知道的所有的數都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數或三元數，也應該具有這一性質以及其他實數和複數具有的性質。哈密爾頓終於成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數學來說都是革命性的，他把這種新的數叫做四元數。
有許多數學家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的複數的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數學家們所知道的所有的數都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數或三元數，也應該具有這一性質以及其他實數和複數具有的性質。哈密爾頓終於成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數學來說都是革命性的，他把這種新的數叫做四元數。
兩個四元數相等的準則是係數a、b、c、d都對應相等。
兩個四元數相加只要將對應係數分別相加形成新的係數，這樣和本身也是一個四元數。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數，並且儘可能多地保留實數和複數的特點，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數，則pq不等於qp。一個四元數被另一個四元數除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊含了用四元數q去除四元數p時，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。儘管四元數並沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。
四元數的引入給了數學家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用途的代數，卻不具備所有實數和複數都具備的基本性質，即
ab=ba。哈密爾頓發明四元數後不久，從事其他領域研究的數學家們引入了更奇怪的代數。著名代數幾何學家凱萊引進了矩陣，它是矩形或正方形數組。對它們也可進行通常的代數運算。但是如同在四元數中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數和矩陣只不過是許多性質越來越奇怪的代數的先驅。格拉斯曼（Hermann
GuntherGrassmann）發明了許多這樣的代數。它們甚至比哈密爾頓的四元數還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個中學教師，因此過了許多年他的工作才獲得了應有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現在稱為超複數的新代數中的多樣性。為了特別的目的而創建的這些新代數本身並沒有向普通的算術及其擴展在代數和分析中的真理提出挑戰。畢竟，一般的實數和複數可用於完全不同的目的，它們的實用性是無可質疑的。然而，新代數的出現使人們對熟悉的算術和代數中的真理提出了質疑，正如接受了新的文明的習俗的人開始反省他們自己。
對算術真理的最嚴重的打擊來自於亥姆霍茲（Hermann
vonHelmholtz），他是個卓越的物理學家、數學家和醫生。在他的《算與量》（1887年）一書中，他認為數學的主要問題是算術對物理現象的自適應性的證明，他的結論是只有經驗能告訴我們算術的法則能用在哪裡，我們並不能肯定一條先驗公式是否在任何情況下都適用。亥姆霍茲考慮了許多相關的問題，數的概念本身來自於經驗，某些經驗啟發了通常類型的數：整數、分數和無理數及其性質。對於這些經驗，熟悉的數是適用的。我們認識到存在確實相等的物體，因此我們可以說，例如，兩頭牛。然而，這些物體必須不能消失、混合或分割。一個雨滴與另一個雨滴相加並不能得到兩個雨滴。甚至是相等的概念也不能自動地用於經驗。看起來如果物體a=c而b=c則一定有a=b。但是有可能兩個音聽起來都與第三個音相同，而耳朵卻可以區別出前兩個音。這裡與同一事物相同的事物並不相同，同樣地，顏色a和c看起來都和b相同，而a和c卻是有區別的。
還可舉出許多例子來說明簡單地應用算術可能會導出荒謬的結果。如果你將等體積的兩份水混合。一份溫度為40°F，另一份為50°F，你並不能得到溫度為90°F的兩份體積的水。一個頻率為100赫茲和另一個200赫茲的單音疊加，得到的並不是頻率300赫茲的單音，事實上合成音的頻率還是100赫茲。電路中兩個大小分別為R1和R2的電阻並聯，它們的等效電阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒貝格（Henri
Lebesgue）所調侃的，你把一頭獅子和一隻兔子關在同一個籠子里，最後籠子里絕不會還有兩隻動物。我們在化學中知道，將氫和氧混合就得到水。但是如果將兩體積的氫和一體積的氧混合得到的不是三體積而是兩體積的水蒸氣。同樣，一體積氮氣和三體積氫氣作用生成兩體積氨氣。我們碰巧知道這些令人驚訝的算術事實的物理解釋。根據阿伏伽德羅假設，同一溫度、同一壓強下，體積相同的任何氣體所含分子數相同。這樣，如果給定體積的氫氣含有10個分子，則兩倍這一體積的氫氣含有20個分子。碰巧氧氣和氫氣都是雙原子分子，即每個分子由兩個原子組成。這20個雙原子氫分子中的每個都與10個氧分子中的一個原子結合從而得到20個水分子，即兩體積的水蒸氣而不是三體積。由此可以看出算術不能正確描述按體積混合氣體的結果。
一般來說，算術也不能正確反映按體積混合液體的結果。一夸脫的杜松子酒與一夸脫苦艾酒混合，得到的不是兩夸脫混合物而是稍微少一些。一夸脫酒精與一夸脫水混合得到大約1．8夸脫的伏特加。對於大多數酒類這一點都是正確的。三茶匙水加上一茶匙鹽不會是四茶匙。有些化學混合物不僅不按體積增加，還會爆炸。
不僅是整數的性質在許多物理情況下不成立，許多實際情況中還要用到不同的分數計算。讓我們以棒球為例來考慮（這當然是上百萬美國人所感興趣的問題）。
假設一個運動員在一場比賽中擊球3次，在另一場比賽中擊球4次，那麼他總共擊了幾次球？這沒有什麼困難，他一共擊球7次。假設他在第一場比賽中有2次擊球成功，即到達第一壘或更遠，在第二場中成功3次，兩場比賽中他一共成功幾次呢？這也沒有什麼困難，一共是5次。然而，觀眾和對手本人通常最感興趣的是平均擊中率，也就是擊中次數與擊球次數的比例。在第一場中比例是2/3，第二場中是3/4。假設該球手或者一個棒球迷想用這兩個比例來計算兩次比賽的平均擊中率，可能有人會以為用通常分數相加的辦法就可以了，即
這個結果當然是很荒謬的，他不可能在12次機會中擊中17次。顯然，通常將兩次比賽的平均擊中率相加來得到兩次比賽的平均擊中率的辦法是行不通的。
我們怎樣才能由兩次比賽各自的平均擊中率求得這兩次比賽的平均擊中率呢？答案是用一種新的分數加法。我們知道聯合的平均擊中率是5/7，而單場比賽的擊中率分別是2/3和3/4，我們看到如果把分子和分母對應相加得到新的分數，這就是正確答案，即
假設這個加號意味著分子相加和分母相加。
這種分數加法在其他情況下也是有用的。一個藉助電話搞推銷的商人在第一天的五個推銷電話中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把這些記錄下來。為了得到正確的成功率，他必須把3/5和4/7按平均擊中率的那種方法計算，這兩天中他的記錄是在總共12個電話中成功了7次，這樣7/12就是3/5＋4/7，假設加號意味著分子相加和分母相加。
再舉一個更為一般的例子。假設一輛汽車用2小時走了50英里，用3小時走了100英里，那麼兩次旅行的平均速度是多少呢？你可以說這輛車用5個小時走了150英里。因此它的平均速度是每小時30英里。然而，分別計算每次的平均速度通常總是有用的。第一次旅行的平均速度是50/2，第二次是100/3，如果將這兩個分數的分子相加、分母相加，則也得到正確答案。
一般來說4/6=2/3，然而在上面討論的分數相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代換2/3。因為前者結果為7/11，後者則為5/8，而這兩個答案並不相等。更進一步，在通常的算術中，5/1和7/1就像整數5和7一樣，在我們的新算術中，將5/1和7/1作為分數求和，我們得到的是12/2，而不是12/1。
這些可以稱之為棒球算術的例子確實說明可以引進與以前我們熟悉的運算不同的運算，這樣就創造了一個實用的算術。事實上也確實存在許多其他的算術，然而，一個真正的數學家絕不會憑一時的興緻去發明一種代數。一種代數總是為了表示一類物理世界的現象而創造的，正像我們上面的分數加法適用於兩次擊球平均率的合成。我們可以通過定義適合於這類物理現象的運算很方便地對物理世界發生的事情進行研究。只有經驗能告訴我們普通的算術何處可應用於給定的物理現象，這樣就不能說算術是一定適用於物理現象的一個真理體系。當然，由於代數和分析是算術的延伸，它們也不是真理體系。
因此，數學家們只能得出這個令人沮喪的結論：數學中沒有真理，即作為現實世界普適法則意義上的真理。算術和幾何基本結構的公理是受經驗啟發得出的，因而這些結構的適用性是有限的，它們在哪裡是適用的只能由經驗來決定。希臘人試圖從幾條自明的真理出發和僅僅使用演繹的證明方法來保證數學的真實性被證明是徒勞的。
對許多富有思想的數學家來說，數學不是一個真理體系這一事實實在是難以接受。似乎上帝想用多種幾何和代數來使他們困惑，正如他曾用不同的語言困惑了建築巴別塔的人們那樣。因此他們拒絕接受這些新的發明。
哈密爾頓毫無疑問是一位傑出的數學家，在1837年他表達了他對非歐幾何的不滿：
沒有哪一個坦白的、有智力的人會懷疑兩千年前歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的平行線的
主要性質，儘管他可能會希望看到它們以更明確更好的方式來敘述。這些性質中沒有任何令人費解或含混不清之處，沒有任何你可以懷疑的地方，雖然可以經常動動腦筋改進它們的表達方式。
凱萊在1883年就任英國科學促進協會主席的演說詞中強調：
我本人的觀點是歐幾里得的第十二公理（通常稱之第五公理或平行公理）的普萊費爾形式不需要證明，它是我們的空間概念的一部分。這裡指的是我們經驗中的物理空間——我們通過經驗來了解這個空間。但它的表示是建立在所有外部經驗基礎之上的……注意到歐氏空間長期以來一直被當作是我們經驗的物理空間，所以幾何學的命題對於歐氏空間不僅僅是近似的真實的，而且是絕對真實的。
F·克萊因（Felix
Klein），近代的一個真正偉大的數學家，表達了差不多是同樣的觀點。儘管凱萊和F·克萊因本人都從事過非歐幾何工作，他們卻把非歐幾何看作是在歐氏幾何中引入人為的新的距離函數時產生的奇異結果。他們拒絕承認非歐幾何和歐氏幾何一樣基本和實用，他們的立場在相對論時代以前看來還是無懈可擊的。羅素也相信數學的真實性，儘管他在某種程度上限制了這種真實性。上個世紀90年代他提出了這樣的問題：空間的哪些性質對經驗是必需的，而且是由經驗假定了的。也就是說，如果在這些先驗性質中有任何一條被否定，那麼經驗就變得毫無意義了。他在《關於幾何基礎的隨筆》（1897年）中，贊同歐氏幾何不是一門先驗知識這一見解。他斷言，就一切幾何學來說，倒不如認為射影幾何是先驗的。這個結論在1900年前後，從射影幾何的重要性的觀點來看，是可以理解的。然後他就把歐氏幾何和一切非歐幾何所共有的公理，當作先驗的東西添加到射影幾何中去，加進去的那些東西（空間的齊次性，維數的有窮性以及距離的概念）使得度量成為可能。羅素還指出，定性的考慮必須在定量考慮之前，而這一觀點加強了射影幾何的先驗性。
至於說到度量幾何，即歐氏幾何和幾種非歐幾何，它們可以由射影幾何通過引入某個特定的度量概念而導出，這一事實羅素認為只不過是一種技術上的成就而沒有什麼哲學意義。無論如何，它們持有的那些特殊定理並不是先驗的。在對待這幾種基本的度量幾何上，羅素不同於凱萊和克萊因。他認為它們都處於同等的邏輯地位，因為具備上面那些性質的度量空間只有歐氏空間、雙曲空間的和單、雙橢圓空間，所以羅素認為所有可能的度量空間只有這幾種，而歐氏空間則當然是僅有的確實可用的空間，其他那些空間在證明可能存在別的幾何學時，有其哲學上的重要性。現在我們回過頭來看，可以說羅素無非是用一種射影癖代替了歐幾里得癖。羅素多年以後承認，他的《隨筆》是他年輕時代的一部著作，其觀點是無法站得住腳的。然而我們後面將會看到，他和其他人為了建立算術的真實性而確立了一個新的基礎（見第十章）。
數學家對某種基礎的真理的執著探索是可以理解的。多少世紀以來，用數學去描述和預測物理現象一直取得輝煌的成功，這使得任何人，尤其是那些被他們自己的發明陶醉得飄飄然的人來說，要他們接受「數學並不是一堆天然的鑽石，而不過是人工寶石」這一事實的確是很難的。然而數學家們還是逐漸開始承認，數學公理和定理並不一定是物理世界的真理。某些領域的經驗啟發特定的公理，在這些領域，這些公理及其邏輯結果能夠非常精確地作有價值的描述。但是，一旦這一領域擴展了，這種適用性就可能會失去。就對物理世界的研究而言，算術僅僅提供了理論或者模型，而當經驗或實踐證明一種新的理論能比舊理論提供更加一致的描述時，新的數學理論就取代了舊的理論。1921年愛因斯坦給出了關於數學與物理世界的關係的精採的敘述：
只要數學的命題是涉及實在的，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實在。……但是，另一方面，作為一般情況的數學和作為特殊情況中的幾何，它們的存在是由於我們需要了解真實客體的一些性質。
既然數學家們已經放棄了上帝，他們就應該相信人，而這正是他們所做的。他們繼續發展數學和探索自然法則，他們知道自己所闡明的並非是上帝的設計而是人的工作。昔日的成功使他們對正在進行的工作充滿信心，而且幸運之神總是欣然來到。使數學永遠充滿活力的靈丹妙藥是它自己調配的——在天體力學、聲學、流體力學、光學、電磁理論和工程中取得的巨大成就，以及其預言的難以置信的準確程度，一定有某種原始的也許是魔力蘊含其中，才能使得一門學科儘管是在戰無不勝的真理之旗下發展，還是憑著它內在的神奇力量確實達到了自己輝煌的頂點（見第十五章）。於是，數學的發明和在科學中的應用得以更快的步伐前進。
數學並不是一個真理體系這一認識確實振聾發聵。讓我們首先看一個數學作用於科學的結果。從伽利略時代開始，科學家們就認識到，科學中的基本原理與數學原理相反，必須來源於實踐。儘管兩個多世紀的時間裡他們相信他們所發現的是自然界的設計之中所固有的，但是到了19世紀初他們認識到科學定理並不是真理，甚至數學的原理也是來源於經驗而且並不能肯定它們的真實性。這一認識使科學家們意識到只要他們使用數學的公理和定理，他們的理論就更加脆弱。自然法則是人的創造物，是我們，而不是上帝，才是宇宙的法則制定者。自然法則是人的描述而不是上帝的命令。
數學是純形式化的東西。唯一的要求就是自洽無矛盾。當然不可能出「毛病」。
如果能創造出新的工具方便地解決其他學科中出現的現實問題，或者形式上統一幾個數學分支產生新的洞見，這就是好的數學。
所以沒有「錯誤」的數學，只有「瑣碎(trivial)」的數學。
數學寫在書上的一定是對的。出了什麼問題都是公理不對。事實上公理也沒什麼對不對的。
可能有毛病，但是到底有沒有毛病沒辦法在理論內部證明
純邏輯？四色定理呢？
推薦閱讀：
※為什麼有些人會覺得數學很美？
※運氣到底存不存在？
※有什麼東西的威力比核武器還大（別說什麼太陽什麼的，說說地球上有沒有）？
※如何看待中國國防教育現狀？
※如何反駁哲學有害論？