如何高效地計算sin(x)與cos(x)的值？

01-19

sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-。。。。我覺得這個收斂比較慢，有沒有收斂比較快的級數呢？，就好比pi有收斂比較快的級數，也有收斂比較慢的級數，同樣cos(x)呢？我又查到一個連分數計算方法，請問有沒有比較好的精度高的辦法？
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2015.06.19更新。
萬能公式。
sin(x)=2t/(1+t^2)

t=tan(x/2)
然後對t泰勒展開，是否更快？

如果固定精度，可以用Cordic之類的查表法解決。

如果需要任意高精度，演算法就不那麼直接了，我貼一個apfloat庫用的演算法吧，假定輸入是實數。

分三步

第一步利用關係式

$e^{ix}=cos x+isin x$

所以 $sin x=old{Im}(e^{ix})$ 且 $cos x=old{Re}(e^{ix})$

這樣，我們只要求得 $e^{ix}$ 就萬事大吉了

第二步假定我們有了 $log z$ 的演算法，那麼計算 $e^z$ 就是解方程 $f(x)=log x-z=0$ ，可以用牛頓迭代法解決，迭代公式為 $z_{n+1}=z_n(1+z-log z_n)$ 。

第三步，我們需要 $log z$ 的任意精度演算法，基本原理是用Arithmetic–Geometric Mean迭代。

先解釋一下AGM的原理，選定 $a_0,b_0$ 後，進行迭代 $a_{n+1}=frac{a_n+b_n}{2};b_{n+1}=sqrt{a_nb_n}$ ，那麼序列 ${a_n},{b_n}$ 有公共極限，記作 $extrm{AGM}(a_0,b_0)$ 。

現在有定理，對 $xin(1/2,1)$ 且 $ngeqslant3$ 有

$left|log x-frac{pi}{2}left[frac{1}{ extrm{AGM}(1,10^{-n})}-frac{1}{ extrm{AGM}(1,10^{-n}x)} ight] ight|leqslantfrac{n}{10^{2(n-1)}}$

且此式子對於 $x$ 為複數也成立（當然 $1/2<|x|<1$ ）。

所以，我們可以對 $log z$ 逼近到任意精度，當然必須把 $z$ 的縮放下，使得 $1/2<|z|<1$ ，否則AGM不收斂。這樣的演算法收斂速度指數級的。

Sin是周期函數，可以選擇0-45度的部分計算（ @王希已經說了，周期性和誘導函數）。

對於硬體來說：

0. 利用周期性縮小定義域。

1. 有限精度下的Sin和Cos都使用查表法（CORDIC）。

2. 擴展精度的部分用泰勒展開。

對於軟體來說：

1. 有限精度可以選擇多項式逼近；

2. 擴展精度用泰勒展開。

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StackOverflow：

c++ - How does C compute sin() and other math functions?

有比泰勒級數更好的做法，簡單來講，sin(x)是函數空間中的一個矢量，然後5次多項式構成的空間是函數空間的一個子空間，sin(x)在五次多項式空間上的正交投影就是對sin(x)的最佳五次多項式逼近，這個近似在整個周期內的精度都非常高。這個五次多項式的表達式是

y = 0.987862x - 0.155271x^3 + 0.00564312x^5

具體內容見《線性代數應該怎麼學》第六章。

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為了方便大家，具體步驟列在下面

求sin(x)的逼近等價於求使如下積分最小的函數f(x)

$int_{-pi}^{pi}|sin(x)-f(x)|^2dx$

為了找到這樣的f(x)可定義如下內積

$<f,g>=int_{-pi}^{pi}f(x)g(x)dx$

令 $u=sin(x)$ ， $U$ 為次數不超過五的實係數多項式組成的子空間，那麼問題重述為找到 $uin U$

使得 $||u-v||$ 最小，由正交投影的性質可知，當 $u=P_Uv$ 時該值最小。為了求得正交投影 $P_Uv$ ,首先需要知道 $U$ 的一組規範正交基，對 $U$ 的基 $(1,x,x^2,x^3,x^4,x^5)$ 進行格拉姆－施密特正交化過程可得規範正交基為

$(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6)=(frac{1}{sqrt{2pi}}, \frac{sqrt{frac{3}{2}}x}{pi^{3/2}}, \ -frac{sqrt{frac{5}{2}}(pi^2-3x^2)}{2pi^{5/2}}, \ frac{sqrt{frac{7}{2}}(3pi^2x-5x^3)}{2pi^{7/2}}, \ frac{3(3pi^4-30pi^2x^2+35x^4)}{8sqrt{2}pi^{9/2}}, \ -frac{sqrtfrac{11}{2}(15pi^4x-70pi^2x^3+63x^5)}{8pi^{11/2}})$

最後，可求得

$P_Uv = <v,e_1>e_1+<v,e_2>e_2+<v,e_3>e_3+<v,e_4>e_4+<v,e_5>e_5+<v,e_6>e_6 \ = frac{105(1485-153pi^2+pi^4)}{8pi^6}x - frac{315(1155-125pi^2+pi^4)}{4pi^8}x^3+frac{693(945-105pi^2+pi^4)}{8pi^{10}}x^5 $

即為所求得得多項式近似，為了直觀地比較近似地精度，現將sin(x)和所求得的近似繪於同一圖中

其中藍色曲線是sin(x)，紅色曲線是近似多項式，可以觀察到二者幾乎完全重合。為了和泰勒級數的精度作比較，現將泰勒級數所得的結果也繪於圖中，可以觀察到在靠近 $pi$ 和 $-pi$ 的地方結果已經完全偏離了。

如果只需要在半個周期內作近似的話，求正交投影這種方法的精度還會更高。

前面的都說的很具體，幾乎所有的解析函數的數值計算都是通過Pade 近似來獲得的，可以搜一下pade近似，

謝邀。我還沒有無聊到假裝被邀請。

因為它們都是奇函數或者偶函數，偶次冪/奇次冪均為0，因此級數展開其實是完全沒問題的，重要的是展開之前的處理：

利用周期性把 $x$ 變成 $(-pi,pi]$ 中的數，
再利用奇偶性把 $x$ 變成 $[0,pi]$ 中的數，
再用誘導公式把 $x$ 變成 $[0,frac{pi}{2}]$ 中的數，
用誘導公式把 $x$ 變成 $[0,frac{pi}{4}]$ 中的數
最後級數展開。

例如要計算 $sinfrac{50pi}{9}$ ，就有

$sinfrac{50pi}{9}=sin(-frac{4pi}{9})=-sin(frac{4pi}{9})=-cos(frac{pi}{2}-frac{4pi}{9})=-cos(frac{pi}{18})$

（這裡解釋一下，泰勒級數無論展開多少項，只要這個項數設定好就是 $O(n)$ 的演算法，所以能做的就是優化常數。而計算機存儲實數的精度是有限的，一個操作如果即有利於速度（少展開）又有利於減小精度損失（比如上述處理），我就認為它是有意義的。）

由於二者都是交錯級數，故誤差不會超過最後一項的絕對值。上述公式可以將 $x$ 的絕對值減小到不超過 $frac{pi}{4}$ ，即精度可以近似為 $frac{1}{n!}cdot (frac{pi}{4})^{n}$ .我們看看其收斂情況：

注意到正弦函數和餘弦函數都是隔項的，因此實際需要的項數是 $n$ 的一半。也就是說達到9位精度只需要5項即可。這已經是非常不錯的了。而且這裡列舉的是最大可能的誤差，實際的誤差比這個誤差要小一些。

個人認為無論如何，這個周期性都是必須利用的，再精確的多項式直接把十萬帶進去肯定抓瞎。不過如評論區知友所說，後邊幾步可能意義不大。而答主才疏學淺，沒聽過simd和cordic。

當然了，如果確定區間為 $[0,frac{pi}{4}]$ ,我們就可以先把最佳近似多項式設出來，比如 $f(x)=ax+bx^{3}+cx^{5}$ .然後設目標函數 $z(a,b,c)=int_{0}^{frac{pi}{4}}[f(x)-sin x]^{2}mathrm{d}x$

取目標函數最小值，求出 $a,b,c$ 。結果會和泰勒展開有一定差別，但只要自變數足夠小，實際差距也沒有多大。

cordic演算法介紹，簡單容易明白！

http://m.blog.csdn.net/blog/liyuanbhu_11109/8458769

Cordic

sicp上看來的。

主要是 $lim_{aph ightarrow 0}{sin(aph)} = aph$ ,其他情況下 $3*sin(frac{aph}{3} )-4*sin(frac{aph}{3} )^{3}$

我試了一下，當abs(aph)&<1e-14時令sin（aph）返回aph，大概就跟c函數math庫算出的一樣了。

static double Cube(double x){ return x*x*x; } static double p(double x){ return 3 * x - 4 * Cube(x); } static double ABS(double x){ return x &> 0 ? x : -x; } static double Sin(double angle){ if (ABS(angle) &<= 1e-14) { return angle; } return p(Sin(angle / 3.0)); }

查表法，簡單粗暴！

https://github.com/golang/go/blob/master/src/math/sin.go