函數的內積為什麼要這麼定義？

01-19

有何更深刻的本質？

謝邀。

這個問題其實沒有確實答案，定義內積和系統問題本身其實關係極大，而內積也不一定要這麼定義，例如在Hermite多項式中，其內積就加上一個權重函數：

$langle H_m, H_n angle = int_{-infty}^{infty} dx cdot H_m(x) H_n(x) e^{-x^2}$

至於這種連續函數的內積的定義，我是這樣看的：每一個函數都是一個矢量，而矢量中每一值是在不同的x的值，即

$f(x) = [f(x_0), f(x_1), f(x_2), ldots]^T$

內積就是兩普通矢量的內積，即

$langle f, g angle = [f(x_0), f(x_1), f(x_2), ldots] [g^*(x_0), g^*(x_1), g^*(x_2), ldots]^T \ = sum_i f(x_i) g^*(x_i)$

把這轉成積分，加上權重，就成了一般所見的函數的內積定義。

一個內積即是一個雙線性函數f，且這個雙線性函數必須是正定的，也就是自己和自己做內積一定大於零，用數學語言表示，就是說當 $alpha _{1} alpha _{2} in C$ 時， $f(alpha _{1},alpha _{2} )>0$ ,如果f對 $alpha _{1} alpha _{2}$ 均線性，那麼 $f(ialpha _{1},ialpha _{2} )=i^{2}f(alpha _{1},alpha_2) =-f(alpha _{1},alpha_2)<0$ ,，如此不滿足正定性，退一步，我們不要求對第二個變數非線性， $f(ialpha _{1},ialpha _{2} )=icdot ar{i} f(alpha _{1},alpha_2) =f(alpha _{1},alpha_2)>0$ ，我們不妨稱f對第二個變數滿足共軛線性，如此則f滿足正定性。

當然你也看出來了，其實也可以定義只對第一個變數不滿足線性，而滿足共軛線性。

推到你的問題上來就是

也可以是 $<f,g>=int_{a}^{b} ar{f} gdt$ 不過一般不這麼定義罷了。

鑒於題主提到了「內積」，不妨設題主了解線性空間中的內積。這裡只講講動機和理解方式，並不嚴謹（唯一嚴謹的只有定義）。

從有限維線性空間的角度出發，我們知道它裡面的一個內積 $left langle mathbf{x} , mathbf{y} ight angle$ 總能寫成 $mathbf{x}^Tmathbf{M} mathbf{y}$ 的形式，其中 $mathbf{M}$ 是一個矩陣；而且如果 $mathbf{M} = Id$ ，即退化為點乘，那直接把各個維度的係數相乘再加起來就好了。

回到函數。函數不就是一種映射么？從 $left[ a, b ight]$ 到 $mathbb{R}$ 的一個函數不就是給每一個 $left[ a, b ight]$ 里的數安排一個實數么？所以這個（單值）函數空間我們也表為 $mathbb{R}^{left[ a, b ight] }$ （回想，冪集的定義亦可看作映射），意思就是這個集合里每一個元素都是一套規則，這個規則把實數賦給 $left[ a, b ight]$ 上的每一個數。這樣的話不妨把每套規則都看成是基於 $mathbb{R}$ 的 $left[ a, b ight]$ -維線性空間中的一個向量，而它每一個維度上的係數就是對應的 $left[ a, b ight]$ 中的數的函數取值。例，取 $fleft( x ight) =x in mathbb{R}^{left[0, 1 ight] }$ ，它的第 $0.5$ 維上的係數就是 $0.5$ 。這是自然的。

這樣我們有兩個函數 $f, gin mathbb{R}^{left[ a, b ight] }$ ，給它們做一個特殊的內積，即點乘，不就是把各個維度的數乘起來求和么？連續求和即積分 $int_{a}^{b} fg dmu$ 。至於可積與否就是另外一件事情了。這就是函數內積的動機/腦補方式。

如果取複數域的話在對應的函數上做共軛變換即可，道理一樣( $int_{a}^{b} far{g} dmu$ or $int_{a}^{b} ar{f}g dmu$ ,whatever)。

不妨這樣來看，如果函數不是定義在區間上而是定義在一個集合

$[n]={1,2,cdots,n}$

上，那集合上的函數

$f:[n] omathbb{C}$

組成的空間典型地同構於線性空間 $mathbb{C}^n$ ，並且函數

$f_k(m)=egin{cases} 1 extrm{ if }m=k\ 0 extrm{ otherwise}end{cases}$

對應於 $mathbb{C}^n$ 的標準正交基底的第 $k$ 個單位向量 $e_k$ 。這時候，函數空間上的內積表達式就變成

$langle f,g angle,=,sum_{m=1}^n f(m)overline{g(m)}$ ，

恰好對應於 $mathbb{C}^n$ 的標準內積。區間上函數的內積可以看成上述觀點的推廣。

這樣的內積的特點是在區間的保測變換下不變。即如果映射

$T:[a,b] o[a,b]$

對於任何 Lebesgue 可測集 $Esubset[a,b]$ 滿足 $T^{-1}(E)$ 的測度和 $E$ 相等，那麼

$int_a^b f(Tx)overline{g(Tx)}mathrm{d}x=int_a^bf(x)overline{g(x)}mathrm{d}x$

成立。對於區間 $[0,1]$ ，保測變換的例子有：

$T(x)=(x+0.3) mod 1$ ，

$T(x)=2xmod 1$ ，

等等。（嚴格說這裡 $T$ 首先定義在 $[0,1)$ ，但端點 $1$ 是零測集，可以隨便定義一個值。）

至於為什麼這麼定義內積，猜測主要還是因為它來自對三角函數的觀察。即先發現了一些三角函數乘積在周期上積分的恆等式，後來才有正交關係的解釋。

謝謝邀請。

@Corollary 的答案別出機杼講得很好了，由他的答案提醒我想到了一個開腦洞的解釋。

題主沒有給更多的信息所以我假設函數定義在 $mathbb{R}^n$ 上，那麼上述的Hermitian內積就是在 $L^2(mathbb{R}^n)$ 上與L^2範數唯一相容的內積。

具體說，一個Banach空間能夠成為一個Hilbert空間的條件就是其範數滿足平行四邊形等式： $|a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2$ ，而且在這個等式成立的條件下內積是被範數唯一確定的。而我們知道 $L^p(mathbb{R}^n)$ 只有當p＝2的時候是一個Hilbert空間，那麼對應於L^2範數 $|f|_p=Bigl(int|f|^pBigr)^{1/p},quad p=2mbox{ }$ 的內積就是題主所提到的定義。

————

那麼現在問題來了：為什麼L^p上面的範數是那樣定義的呢？

這個我也沒什麼好答案，反正挺好用的……

另：這個定義絕不是一個一般（標準）的定義。比如 @何史提答案中提到的定義也是一個內積。一般來說對於非緊支的函數的內積定義來說在積分里乘一個bump function (cutting-off function)也是常用的手段。個人淺見，定義主要還是為了好用，用著方便的。

其實這個定義是一個對向量內積的很自然的擴張嘛。想想兩個向量的內積是怎麼定義的？兩個向量逐項相乘再求和。其實就是兩個動作，相乘和求和。很自然的，兩個函數取內積，就是兩個函數先相乘，然後再取integral（求和，因為這裡不是有限分量求和，甚至不是可數多的分量）。integral的符號其實就是求和符號，或者說integral的符號就是廣義的求和符號，你把sum符號拉直了就是integral的符號啦：）

有限維：