Barro Regression 是什麼樣的回歸？和一般的 OLS 回歸有什麼區別？

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Barro QJE 1991 年的那篇Economic Growth in a Cross Section of Countries裡面這麼寫的

1) $log y_{i,t}-log y_{i,t-1}=eta_{0}+eta_{1}log y_{i,t-1}+eta_{2}edu_{i,t-1}+varepsilon_{i,t}$

其中， $y_{i,t}$ 是i國家在t時刻的人均gdp。加了log之後， $log y_{i,t}-log y_{i,t-1}$ 就近似是i國家從t-1 到t時刻的人均gdp增長率。edu是一個衡量該國人力資本存量的變數，可用諸如該國有多少比例的人上過中學之類的變數來代替。

這就是OLS啊。

Barro regression高明的地方在於，在回歸式裡面首次加入了「教育」這一項，而「教育」這一項起到一個proxy variable的作用：用來代表各個國家的某種「自身特質」。

如果不加如edu這一項， $eta_1$ t檢驗過不了，t檢驗過不了當然就發不了paper。但是Barro發現加入教育之後， $eta_1$ 居然顯著為負了，完全符合solow模型的預測！

這裡提一下1）是怎麼來的。1）不是瞎編的，是從Solow模型在均衡點的擾動推出來的（經過所謂的log-linearization）， $eta_1$ &<0 反映的是solow系統的收斂。原始的solow模型，推出來是這樣的，

2） $log y_{i,t}-log y_{i,t-1}=eta_{0}+eta_{1}log y_{i,t-1}+u_{i,t}$

人們OLS一下，發現 $eta_{1}$ 基本就是0啊，根本不收斂啊。為什麼會這樣呢？是因為誤差項u 是會和自變數y 相關的。這個相關性正好抵消了回歸係數。

更本質原因在於，原始solow模型的絕對convergence是不可能存在的，國家的經濟發展會收斂到一個由國家自身特質決定的值上。這個「自身特質」是什麼？Barro的研究說明教育水平，就是一個衡量這個「自身特質」的指標。所以當加入這個指標時，奇蹟就發生了啊。

最後，說點題外話。Barro的這個發現後來明顯有被濫用的趨勢（部分原因也是這個發現太有名了），不少人直接把回歸結果解釋成：教育對國家發展有積極促進作用（證據就是 $eta_{2}>0$ 顯著)。剛才說了，教育其實是起到proxy某種國家的「自身特質」的作用，這個「自身特質」，可能是文化、人們對工作積極的態度、政治清明、社會組織效率、上帝的眷顧、等等。這些因素都會正面影響教育，同時正面影響gdp增長率。所以這個統計模型是無法告訴我們因果關係的。

再後來，有兩個大神Mark Bils and Peter J. Klenow 開始想這個問題：教育是不是直接促進了經濟發展呢？他們在AER 2000 年寫了Does schooling cause growth?有興趣的可以參考這篇。他們經過大量數據工作，指出了這麼一個違反人類直覺的結論：就是教育其實是被經濟發展決定的，而不是決定經濟發展。