以現在人類的能力，可以挖掘出一條貫穿地球的隧道嗎？另外，地球中心的引力是什麼樣的？

01-19

你可以看劉慈欣《地球大炮》對未來材料科學的設定到啥程度才編出了打洞故事。。

這個問題挺有意思，慢慢來……好久不用數學工具，手生得很，平時也不大有空，所以更新會比較慢，見諒。

第〇章：均勻球體模型。

忽略地球自轉、忽略空氣阻力、把地球看成一個均勻球體。這樣的模型可以在中學課本里找到，結論是簡諧運動，半周期約42分鐘，無須贅述。

第一章：考慮地球的密度分布。

地球的結構並非一個均勻的球體，除去外層薄薄的地殼，同一深度上的密度是大致均勻的，我們把它看成一個密度隨深度變化的多層殼結構。

感謝維基百科，很容易的找到了地球的密度分布。

把圖表進行數字化，根據高斯定理和萬有引力公式，經過簡單的積分運算，就可以得到重力加速度與地心距離R的關係。

從上面的曲線中可以看出，由於密度分布梯度的存在，地表以下直到地幔，重力加速度要比均勻球體模型來的大。在古騰堡不連續面，重力加速度將達到最大值。而對於均勻球體模型，重力加速度則是一條直線，與實際情況還是存在不小差別的。

下面我們勇敢的某君將開始他的地心之旅——本著向前輩致(e)敬(gao)精神，我們考證出這位英勇的先驅正是伽利略第20世孫伽小略。

暫且不考慮地球的自轉，小略從靜止狀態開始自由下落。

在Mathematica中求解微分方程，得到小略的位置（單位：米）對時間（單位：秒）的曲線。

其中紅色是均勻球模型的運動曲線，藍色是考慮到實際地球密度分布的曲線。

似乎跟正弦曲線差不多？換成速度-時間曲線，差別就明顯了。

從速度曲線上，可以清楚地看到，考慮了地球的密度分布，使得第二個速度的零點，即伽小略到達對側的時間，由大約2520秒（約42分鐘）縮短到大約2290秒（約38分鐘）。

考慮地球密度分布後，小略最大速度將達到每秒10公里。在劉慈欣老師的《地球大炮》中，沈華北經過地心的速度為每秒8公里，到達南極點經過了42分鐘，所以，這部小說里引用的應該是均勻球模型。

第二章：考慮地球自轉的影響。

伽小略在隧道中只受重力，自由「下落」，由於地球自轉的存在，伽小略進入隧道時有一個初速度。

先考慮赤道平面開鑿隧道，求出運動方程的數值解，得到小略的運動軌跡：

小略沿著詭異的花瓣形軌跡繞地心旋轉（時長5小時）。

在地球坐標系中，進行旋轉變換，可得到隧道形狀如下圖：

小略到地心的距離隨時間變化：

小略進入隧道1145.7秒後，以9983m/s的高速在距地心29.8公里處掠過，2291.4秒後，抵達對側。

如果把隧道開口開在深圳市民中心地鐵站（22°32′40″N 114°3′24″E）

把經緯度代入偏微分方程重新求解，得到隧道出口坐標：（南緯22.544444度，西經73.215555度）

智利附近海域。更新中……

沒有。

在地球內部收到的引力等於距離地心比你近的所有物質給你的引力的和。

比如你離地心3000km，那你收到的引力等於把地球剝掉外面3400km的皮，你直接站在一個半徑3000km的球上收到的引力。會小一點，方向永遠指向地心。事實上這個力的大小正比於你到地心的距離。

另，挖一條直的隧道不管是否過地心，如果抽真空你在裡面的運動都是簡協振動，從一頭到另一頭都是42min多一點。