轉動慣量到底是個表示什麼的物理量？

01-19

剛體定軸轉動中的轉動慣量，其地位相當於剛體平動中的質量，是衡量剛體抵抗旋轉運動的慣性的物理量。或者理解為質量的轉動形式。

下面用一些平動和轉動中，對應的物理量關係來說明一下：

（左邊是剛體平動，右邊是剛體定軸轉動）

質量 $m=int_{m}^{} dm$ 　轉動慣量 $J=int_{m}^{}r^{2}dm$ （其中r是每個微元到轉軸的距離）
位移 $x$ 　　　　　　　角位移 $heta$
（其中有 $x=r heta$ ）
速度 $v=frac {dx}{dt}$ 　　　　角速度 $omega =frac{d heta }{dt}$
（其中有 $v=romega$ ）
加速度 $a=frac{dv}{dt}=frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ 角加速度 $eta=frac{domega }{dt}=frac{d^{2} heta }{dt^{2}}$
（其中有 $a=reta$ ）

動量 $P=mv$ 　　　　角動量 $L=Jomega$
（剛體平動中有動量守恆，剛體轉動中對應角動量守恆）
動能 $E_{k}=frac{1}{2}mv^{2}$ 　　轉動動能 $E_{kr}=frac{1}{2}Jomega ^{2}$

力與力矩的關係 $M=r imes F$ （注意這三個都是矢量，×是叉乘）
牛頓第二定律：
平動形式 $F=frac{dP}{dt}=ma$ 轉動形式 $M=frac{dL}{dt}=Jeta$

是一個描述剛體慣性的物理量。剛體具有旋轉不變性，因此具有不變數角動量。描述角動量變化需要受到的力（力矩）的量就是轉動慣量。

先簡單的介紹一下給題主一個比較直觀的感受。類比一下，你用同樣的力在兩個不同的物體上作用，質量重的那個物體速度變化慢。同樣你用相同的力矩（注意讓物體平動的叫做力，讓物體轉動的叫做力矩）作用在一個物體上想讓他轉動，不同的物體角速度變化的快慢也是不一樣的，影響角速度變化快慢的這個因素就是轉動慣量。

按照生活經驗來看形狀大小體積相同的兩個物體，在相同的力矩作用相同的時間後質量重的那個物體角速度改變的較慢。所以可能有一種轉動慣量就跟質量差不多這種感覺，實際上形狀體積大小完全相同的兩個物體也有可能有不同的轉動慣量的，關鍵就在於質量分布的均勻程度是否相同。

舉個例子：

假設有這樣兩個物體，質量大小體積完全相同，陰影部分密度比空白部分大。但是你把他們放在坡度相同的坡面上會發現他們滾動的速度變化不一樣，右邊那個角速度變化更快，這是為什麼呢？答案就是因為它的質量集中在轉動軸，所以右邊那個轉動慣量小角速度變化自然就大咯。為什麼右邊那個轉動慣量就小呢？這個我就要來看轉動慣量的計算公式了。

如圖，J就代表轉動慣量，m（i）代表該物體內一個極小的單位（質元）的質量，r（i）代表該質元與轉軸距離。也就是說，把這個物體分成很多微小的等份，每一等份的質量乘以距離平方的和就是轉動慣量，這樣就能解釋為什麼上圖右邊那個轉動慣量小了，右圖的質量分布更集中於轉軸，雖然m（i）相同，但是r（i）更小，所以乘積的大小更小，所以轉動慣量也更小。

以上就是我個人對於轉動慣量的理解，如果有不對的地方歡迎指正。

先說轉動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv^2，

動能的實際物理意義是：物體相對某個系統（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統運動的可能轉化為運動的實際能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方）

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這裡對任何物體來說是把物體微分化分為無數個質點，質點與運動整體的重心的距離為r,而再把不同質點積分化得到實際等效的r)

得到E=(1/2)m(wr)^2

由於某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關於m、r的變數用一個變數K代替,

K=mr^2

得到E=(1/2)Kw^2

K就是轉動慣量，分析實際情況中的作用相當於牛頓運動平動分析中的質量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個轉動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥於只從純運動角度分析轉動問題。

為什麼變換一下公式就可以從能量角度分析轉動問題呢？

1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究對象的運動能量

2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析轉動物體的問題，是因為其中不包含轉動物體的任何轉動信息。

3、E=(1/2)mv^2除了不包含轉動信息，而且還不包含體現局部運動的信息，因為裡面的速度v只代表那個物體的質心運動情況。

4、E=(1/2)Kw^2之所以利於分析，是因為包含了一個物體的所有轉動信息，因為轉動慣量K=mr^2本身就是一種積分得到的數，更細一些講就是

綜合了轉動物體的轉動不變的信息的等效結果K=∑ mr^2

所以，就是因為發現了轉動慣量，從能量的角度分析轉動問題，就有了價值。

轉自百度知道

簡單地說「轉動慣量」就是一個物體保持其轉動狀態能力大小的物理量！轉動慣量大小完全由這個物體自身決定。

其實這個問題在幾乎任何一本理論力學教材中都可以找到相當嚴謹的答案，如果通俗的解釋的話，我直接搬運我在另一個問題（求解空間薄板的轉動慣量？ - Giaro 的回答）中的答案：

首先澄清一個概念，剛體轉動慣量在一般意義上並不是相對於某一個轉動軸的，而且不是一個標量。它是相對於空間中某一點而言的，而且是一個二階張量，選定某一套基矢，例如在某笛卡爾坐標中，可以寫成：
$J_i = I_{ij} omega_j, quad (i,j=x, y, z)$
$I_{ij}$ 的物理意義是該剛體在沿著該i軸的定軸轉動產生的角動量在j軸上的投影
直觀一些可以寫成矩陣形式：
$left( egin{array}{c} J_x \ J_y \ J_z end{array} ight) = left( egin{array}{ccc} I_{xx} I_{xy} I_{xz} \ I_{yx} I_{yy} I_{yz} \ I_{zx} I_{zy} I_{zz} end{array} ight) left( egin{array}{c} omega_x \ omega_y \ omega_z end{array} ight) , quad f{J} = f{I} f{omega}$
另可以證明，轉動慣量張量是一個二階對稱張量，即 $I_{ij} = I_{ji}$ 。分量的計算公式為：
$I_{xx} = sum^n_{k = 1} m_k left(y^2_k + z^2_k ight),$
$I_{yy} = sum^n_{k = 1} m_k left(x^2_k + z^2_k ight),$
$I_{zz} = sum^n_{k = 1} m_k left(x^2_k +y^2_k ight),$

$I_{xy} = I_{yx} = sum^n_{k = 1} m_kx_ky_k,$
$I_{xz} = I_{zx} = sum^n_{k = 1} m_kx_kz_k,$
$I_{yz} = I_{zy} = sum^n_{k = 1} m_ky_kz_k,$
（註：連續介質將求和化為積分）
我們所說的相對於某一個轉動軸的轉動慣量標量的意義是：該剛體在沿著該轉動軸的定軸轉動產生的角動量在該轉動軸上的投影。假設在笛卡爾坐標系中該對稱軸是 $z$ 軸，那麼相對於該轉動軸的轉動慣量標量為轉動慣量張量中的 $I_{zz}$ 分量。

希望可以幫到題主。

一個剛體對於某轉軸的轉動慣量決定了對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。——Wikipedia

從字面上看，一個「慣」字就可以了解到大體的意思——衡量保持某種狀態的量。可把直線運動與轉動類比起來，那轉動慣量就可類比於直線運動中我們很熟悉的用於度量慣性大小的量——質量。同理，轉動慣量就是衡量旋轉運動中的慣性大小的度量。

計算方法：對於一個質點，I = mr2，對於剛體，則用積分形式，每一個質量微元乘以其到轉軸的距離平方，然後積分。

看一個例子，直觀的感受下：

過重心沿 X軸的轉動慣量為 58527.9 kg·m2；過重心沿 Y軸的轉動慣量為 87791.9 kg·m2。

顯然，飛機質量集中在X軸上，所以對X軸求轉動慣量時，質量塊到X軸的距離平方都比較小，積分起來也比較小，而對Y軸求取轉動慣量時，大量的質量塊到Y軸距離的平方都很大，最終積分也就大得多。直觀地想像一下，讓它繞X軸旋轉確實會是最輕鬆的。

參考文獻：Liang, Lei, et al. "Simulation Analysis of Aircraft Taxiing Dynamic Load on Random Road Roughness." Procedia Engineering 12 (2011): 163-169.

前面的答主將慣性質量和轉動慣量對比來解釋，理解起來很方便。在中國科學技術館裡面有演示轉動慣量的實驗器材。名字叫《哪個轉的快》：「將兩個直徑相等、質量相等，但三個質量塊分布不同的兩個圓輪（一個是集中在圓輪中間，另一個是分布在圓輪邊緣），放在傾斜的軌道高端，操作釋放機構，對比它們滾動速度的差異，探索質量分布對於轉動慣量大小的影響，在軌道高端需設置釋放機構，實現兩個輪子同時滾落。」

對於實驗中的圓輪，將相同的重力勢能轉化為轉動的動能，其轉動慣量越小時，轉動速度越快。也就是用較小的能量就可以達到較快的轉動速度。

例如，這個陀螺的質量相對集中在轉軸附近，以很小的力可以獲得很高的轉速。

廣場上玩傳統陀螺的人，為了將較大的陀螺轉起來，需要用更長時間的鞭打去給陀螺不斷的加速。在同樣的地面情況和轉速情況下，轉動慣量大的陀螺可持續旋轉的時間應該更長。