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拉格朗日定理與羅爾定理，柯西定理啥關係?

01-19

1 割線與切線——變化率

割線是曲線的平均變化率

切線的斜率是曲線的瞬時變化率

關於切線、導數、微分更多的內容，可以看這篇文章：

微分和導數的關係是什麼？兩者的幾何意義有什麼不同？

2 位移—時間圖像,s-t圖像

用物理中的位移——時間圖像來理解割線與切線的意義，那麼：

割線——————平均變化率——————平均速度

切線——————瞬時變化率——————瞬時速度

3 羅爾中值定理

如果函數f(x)滿足以下條件，(1)在閉區間 [a,b] 上連續(2)在(a,b)內可導(3)f(a)=f(b),則至少存在一個 xi in (a,b) ,使f"( xi )=0

4 拉格朗日中值定理

如果函數f(x)滿足以下條件，(1)在閉區間 [a,b] 上連續(2)在(a,b)內可導(3)那麼存在一點 xi in (a,b) ,使等式f"( xi )= frac{f(b)-f(a)}{b-a} 成立

5 柯西中值定理

如果函數f(x)與g(x)滿足以下條件，(1)在閉區間 [a,b] 上連續(2)在(a,b)內可導(3)對任意 xin (a,b),g 則在(a,b)內至少存在一點 xi ,使 frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f

6 以跑步為模型來考慮三者關係

先來講講三者都有的條件：在［a,b］連續，在(a,b)可導

對應跑步就是 禁止使用瞬移，禁止瞬時速度突變

將上圖中羅爾中值定理的圖形變為s-t的圖

可以抽取這樣一個模型，羅爾中值定理我將它理解為在做往返跑

看一下s-t圖

我們可以看到，f(a)=f(b)那麼在(a,b)間一定有轉向的點，在這點的導數值為0

羅爾發現了往返跑時，一定有某時間點瞬時速度為0。

拉格朗日發現,往返跑時，一定存在一點瞬時速度為0，而平均速度也為0

往返跑時某時刻瞬時速度等於平均速度。

那麼平均速度不為0，也能滿足這樣的結論嗎？

拉格朗日中值定理模型————百米跑

s-t圖

拉格朗日發現在跑步時，一定存在一個時間點，該點的瞬時速度等於平均速度。

frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f

柯西將研究從一個人跑步拓展到了兩個人跑步。他使用了模型——定時跑

兩個人同時出發，延直線跑1分鐘。

他發現拉格朗日中值定理其實是這樣的

為什麼乙要勻速跑啊，跑步都不能自由的想跑就跑了嗎？然後就變成了這樣

甲乙兩人平均速度如果不同呢？

s-t圖

柯西證明了存在這樣的點，使甲乙瞬時速度之比等於平均速度之比

瞬時速度之比: g

平均速度之比: frac{g(b)-g(a)}{b-a}:frac{f(b)-f(a)}{b-a}

所以得到 frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}=frac{g

7 三者的關係

羅爾發現了在往返跑時，一定有一點瞬時速度為0。

拉格朗日對羅爾說：「兄弟，你說的情況太特殊了，不用做往返跑，某一點的瞬時速度一定等於平均速度」。

柯西對拉格朗日說:"兄弟，你說的情況太特殊了，兩個人跑同樣的時間，平均速度相同，他們在某一點的速度一定相同。我還可以更近一步，平均速度不同，也有一點，瞬時速度的比值等於平均速度的比值"

他們的關係就在於"兄弟，你說的情況太特殊了"，有這麼一個說法：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

以後說不定還有xx中值定理，xx對柯西說:"兄弟，你說的情況太特殊了"。

我簡單說下證明，要掌握這幾個定理，是在明確下面四個定理的基礎上的，即，如果f(x)在閉區間連續，那麼

1必有界 2必有最大值M和最小值m 3介值定理，當一個數u ，m&o f(b)&

費馬定理，閉區間連續，開區間可導，那麼極值點的導數為零，注意這個導數為零不能反推是極值。

費馬定理是用定義算極值點的左右極限，假設極大值，那麼左右極限的分子都小於等於零，左極限分母小於零，右極限分母大於零，所以總的左右極限一個大於等於零一個小於等於零，由於極限的存在，那麼左右極限必相等，所有極限等於零

羅爾定理，閉區間連續，開區間可導，端點函數值相等，則開區間至少有一點，這一點的導數為零。

這裡首先用定理2，則有最大值和最小值Mm，首先如果它倆相等，那麼這個函數就是一個常函數，處處極限為零。如果它倆不想等，至少就一個不是端點的函數值，你隨便假設一個不是，那麼這個函數至少就有一個極值，所以至少有一點導函數為零，就用到了費馬定理。

拉格朗日中值定理，就是在羅爾的基礎上去掉了端點函數值相等的情況，這時候你需要構造輔助函數函數讓它達到羅爾的效果。

圖就是這麼個圖了，區間ab，端點叫做AB的話，那麼先弄出AB直線的表達式，

就是L(AB)=[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)+f(a)

到這裡就明顯了，f(x)減去L(AB)這個輔助函數的端點值就是相等的了，再用羅爾定理，求導即可。

柯西中值定理就是在拉格朗日上的進一步拓展，在證明上就是將xy分別定義為參數方程x=f(x),y=F(x),然後構造函數等等方法與拉格朗日一樣，需要注意的就是你不能用兩個拉格朗日得出，因為兩個拉格朗日就存在了兩個中間值了

羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況，拉格朗日定理是柯西定理的特殊情況

費馬定理推導出羅爾定理，羅爾定理定義域是[a,b]，特殊條件是f(a)=f(b)。拉格朗日定理把特殊條件變為一般條件，函數在a、b兩點處的值不必相等。拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊形式。

羅爾定理是使拉格朗日定理中的f"(ξ)＝0

拉格朗日定理是使柯西定理中的g(x)[分母那個函數]等於x

一樓的回答和我的想法差不多：

我這麼理解柯西中值定理：

若f和g兩個人要在相同的時間t跑各自的距離d1和d2（d1和d2可以相等也可以不相等）：

1. 如果兩個人都勻速跑，各自的速度為常數，相當於f"和g"在t時間段內為常數，其比值就等於各自距離的比值。

2. 如果其中一個人勻速跑，另一個變速跑，則變速跑的那個人必然有一個時間點的速度為其勻速跑的速度，這個時間點就是xi點。

3. 如果兩個人都變速跑，他們各自也都必然在至少一個時間點的速度為各自的勻速跑速度，不過這兩個時間點不一定相同。。。

這時如果考慮兩個人瞬時速度的比值和各自勻速跑速度比值的關係，問題又回到上面的1和2：

1". 如果比值一直都是勻速地比值，這自然也是各自距離的比值

2". 如果比值不是常數，那這個比值必然要在某一個時間點回到勻速的比值，不然兩個人不可能同時達到各自的目的地。

當然在對羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的理解中只需要考慮一個人跑的情況。其中羅爾的情況是跑回原來的位置：他可以不跑，保持速度為0；但如果跑的話，必然會在某個時間點折返，而這時其速度為0。

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