有哪些時刻，讓你覺得數學很美？

01-19

社會的進步是靠自然科學，自然科學的基石是數學，那麼，有哪些時刻讓你覺得數學很美呢？

儘管我不認為我是數論粉絲，但是我當年確實被下圖感動了，還寫了一本微小的科普書。用我的話說，體現了數學的深刻與神奇，或許還包含著另類數學之美吧。模群的某個子群與橢圓曲線通過modular form神奇地聯繫起來。

考慮到讀者可能不知道上圖含義，貼一段說明吧，這就是當年吸引我的原因。當年被其深刻與神奇折服，至今仍然依舊。

當我們發現數學不需要文字的時候是真的美，然而絕大部分數學的結果都是由嚴謹的邏輯推理書寫而成的，我想應該就是這些阻礙了很多人學數學。領悟數學美的過程我覺得就是這一句所描述的：學乎淺者始覺形美，學乎深者方覺意真。

最開始讓我驚訝的是這個證明：

下圖是由小三角形組成的正六邊形棋盤，請用右邊三種菱形填滿整個棋盤，證明當擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量相等。

在美國數學月刊文末提供了一個讓人讚嘆不已的「證明」：

他把每種菱形都塗成一種顏色，然後整個平面圖形看起來就像立體一樣，答案就顯而易見了。我想大家對這個都很熟悉了，由於這個太經典導致stackexchange的用戶頭像就是它。

在平面幾何中的托密勒定理也有如此漂亮的證明。托密勒定理是這樣的：圓內接四邊形的對邊乘積之和等於對角線的乘積。

說明一下：藍色字母表示對應線段，紅色字母表示對應角度。（經知友提醒，圖中b和d的標示需互換一下，答主當時畫圖時眼睛有點花所以標錯了請體諒_(:з」∠)_ ）

托密勒定理也就是要證明ac+bd=ef.喜歡幾何證明的同學看起來是要大幹一場了，然後且看下圖：

這張圖就能證明該定理。我覺得你們能看出來，所以我們繼續往前看看還有哪些更美的東西。

對於斐波那契數列大家都很熟了，假設Fn表示數列的第n項，下面這個公式大家可能有種熟悉的陌生感： $F_0^2+F_1^2+...+F_n^2=F_nF_{n+1}$ ，F0=1.也就是說斐波那契數列前n項的平方和等於第n項與第n+1項的乘積。下圖就說明一切：

每個正方形的數字表示的是邊長前n項的平方和就是這n個正方形面積之和，而這n個正方形正好構成了整個矩形，矩形的邊長分別就是就是第n項與第n+1項，所以等式成立。

在實分析中，線段上的點和直線上的點是「一樣多」（即等勢）用一張圖也能說明：

這張圖的巧妙之處就是通過一個圓的過渡將線段與直線之間的點一一對應了起來。

還有大家熟悉的立方和公式： $1^3+2^3+...+n^3=dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ，一般是採用數學歸納法來證明，其實這裡同樣有一個圖形證明。

我先拿15格的正方形網格為例，正方形網格里有5個塗色的小正方形，小正方形的長度分別對應到邊上的顏色，可以看到整個正方形的面積就是右邊和下邊顏色條的乘積，顏色條的長度就是1+2+3+4+5，小正方形的面積分別為 $1^2$ 、 $2^2$ 、 $3^2$ 、 $4^2$ 、 $5^2$ .

下面我們將空白網格都塗上對應的顏色：

可以看到整個正方形的面積為 $1cdot1^2+2cdot2^2+3cdot3^2+4cdot4^2+5cdot5^2$ ，於是就有了 $1cdot1^2+2cdot2^2+3cdot3^2+4cdot4^2+5cdot5^2=(1+2+3+4+5)(1+2+3+4+5)$

所以立方和公式也就被「證明」了。

圖形的力量不可低估，它連很多不等式都能證明，比如：

$frac{x_1^n}{n}+frac{x_2^n}{n}+...frac{x_n^n}{n}ge{x_1x_2..x_n}$

我們先來看看n=3的情形： $frac{x^3}{3}+frac{y^3}{3}+frac{z^3}{3}ge{xyz}$ ，(不妨設 $zge{y}ge{x}$ )且看下圖

$frac{x^3}{3}$ 、 $frac{y^3}{3}$ 、 $frac{z^3}{3}$ 分別表示表示的是以x、y、z為邊的稜錐體積，明顯是大於長方體的體積即xyz.

以上都是無字證明給人的美感，應該是屬於數學的外在美。

下面將是數學的內在美了，內在美是數學美永恆的主題！她之所以能吸引很多數學工作者畢其生而為其事，是在於她能將許許多多不同的分支相互聯繫相互影響。我將舉三個簡單的例子加以說明。

首先我先從群論中眾所周知的事說起。在環 $Z[sqrt{-5}]$ (由元素 $a+bsqrt{-5}$ 構成，a、b為整數)中，因子分解的唯一性不成立。比如 $9=3^2=(2-sqrt{-5})(2+sqrt{-5})$ ，如果我們引進理想元素

p=( $3,2-sqrt{-5}$ )
q=( $3,2+sqrt{-5}$ )

它們的乘積由下式給出：

pq=(3)

$p^2=(2-sqrt{-5})$
$q^2=(2+sqrt{-5})$

那麼就可以恢復因式分解的唯一性。

其次我們取一個非常有名的幾何對象——mobius帶，通常對它的描述就是把一個長方形的對邊扭一下再粘在一起，如果不扭則得到的是圓柱面，人們對mobius帶的興趣就是由於它與柱面完全不一樣。

最後從分析中選出一個方程：

這是一個微分方程，它依賴核a(x,y).待會我們將看到這三個分別來自群論、幾何和分析的三個例子是如何自然的聯繫到一起的。

要將群論中的環和mobius帶聯繫在一起，很自然地想到介於這兩者的對象——圓：

$x^2+y^2=1$ ————————(1)

我們考慮以x為變數的實多項式環R[x]，它與整數環Z有些相像，比如唯一分解定理都成立。我們可以把 $y=sqrt{1-x^2}$ 看成與 $sqrt{-5}$ 類似。把(1)當作等價關係，在環R[x,y]中，有

$x^2=(1-y)(1+y)$ ————(2)

正如上例所示此時因子分解的唯一性不成立。我們再仿照上例，引進理想元素：

p=(x,1-y)
(2.1)
q=(x,1+y)

乘積由下式表出：

pq=(x)
p^2=(1-y) (2.2)
q^2=(1+y)

與 $Z[sqrt{-5}]$ 相比，環 $R[x,sqrt{1-x^2}]$ 的妙處在於有幾何參照——圓。

理想元素p、q可以表示為圖中的p、q兩點。實際上p是滿足兩個方程x=0，1-y=0的唯一點，q是滿足x=0，1+y=0的唯一點。關係(2.2)從幾何上解釋就是x=0與圓相交於p、q兩點。1-y=0是p點的切線，1+y=0是q點的切線，所以在 $R[x,sqrt{1-x^2}]$ 中因子分解的唯一性不成立就和下面的事實相關：圓上的一個單點不能只有一個額外的f(x,y)=0決定。

如果令 $x=cos heta$ ， $y=sin heta$ 則任何多項式都變成連續函數 $f( heta)=f(cos heta,sin heta)$ ,它是周期函數。f的圖形通常可以這樣畫（見下圖），或者來點變化，把 $heta=0$ 和 $heta=2pi$ 「粘在一起」，f的圖象則展現在圓柱面上（見下圖），於是可以直觀的看出，f的圖象必通過f=0偶數次。

（畫圖不要太介意哈。。。）

因此一個點不能用單獨一個方程表示出來本質上是一個拓撲性質。假如，我們考慮的不是周期函數而是反周期函數，也就是f滿足 $f( heta+2pi)=-f( heta)$ ,那麼函數圖像便可以自然地畫在mobius帶上了（見下圖），並且這種f在 $[0,2pi]$ 上可以有單一零點，例如 $f( heta)= heta-x$ （如下圖）

綜上mobius帶的存在與 $R[x,sqrt{1-x^2}]$ 的因子分解的不唯一性緊密關聯！而且它的形式又與 $R[sqrt{-5}]$ 十分相似！

現在我們把mobius帶（通過反周期函數）和前面的微分方程聯繫起來。首先我們定義運算元：

假設a(x,y)是反對稱連續實函數（即a(x,y)=-a(y,x)）,我們進一步假設：

(i)a(x,y)對每個變元是周期函數
(ii)a(x,y)對每個變元是反周期函數

情形(i)A作用在周期函數上，(ii)則作用在反周期函數上，然而在這兩種情況下它都是飯對稱運算元即 $int{(Af)g}=-int{f(Ag)}$

且在一般情況下，Af=0的解空間的維數在周期函數情形是奇數，在反周期函數情形是偶數。這表明了mobius帶和圓柱面的拓撲差別反映在運算元A的奇偶性上！

多麼美妙的結論！！！是數學將這不同分支的三者聯繫了起來，我覺得發現了這一刻就非常美了。

謝邀。

最近一直在看群作用與正（非負）曲率相關的論文。給大家分享一個形式很簡單的公式：

假設G是一個帶雙不變度量的李群（把它看成一個黎曼流形），X,Y是它的李代數（也就是原點處切空間）里的兩個相互正交的單位向量，那麼由這兩個切向量張成的2平面的截面曲率sec(X,Y)為

$sec(X,Y)=frac{1}{4}left||[X,Y] ight||^2.$

其中[X,Y]是李括弧。

這個公式看上去很簡單，卻特別重要。因為它告訴我們，帶雙不變度量的李群的截面曲率總是非負的。特別的，緊李群總會容許一個帶非負截面曲率的度量（因為緊李群都容許一個雙不變度量，這個可以先隨便取一個度量再對它通過Haar measure進行積分求平均得到）。這幾乎是當今所有（緊）非負截面曲率流形的構造方式的出發點——尤其是對（緊）正曲率流形的構造。我們總是先取一個緊李群，然後再取quotient或者別的什麼操作來保持它的非負曲率。這也是為什麼非負（正）截面曲率流形和李群理論關係如此密切的一個重要原因。

最後再提一下，緊李群上左不變度量的截面曲率公式也是有的，不過比雙不變度量的情形複雜很多，也理所當然推不出非負曲率。然後知道了李群的曲率公式，可以通過Riemannian submersion的O"Neill formula來得到響應的homogeneous spaces的曲率公式，不過那個就更複雜了，但是應用範圍也更廣泛。

介紹一道比較簡單基礎的趣題吧，這道題被許多人包裝過，其比較有趣的一個是談祥柏的一個包裝。我就借鑒一下吧，當然由於是包裝，所以肯定有不符事實的部分，請諒解。

一個孤軍深入敵軍的游擊隊秘密伏擊消滅了敵軍佔據城市附近的一個小據點，在據點處發現了一門固定巨炮。游擊隊想趁勢用這門大炮轟炸敵方城市，但距離敵方城市尚遠，而且由於孤軍深入，在戰鬥過程中失去了大部分物資，地圖、望遠鏡及測繪儀器等等全部喪失了。而且巨炮由於是固定的，只能旋轉方向不能移動。不過巨炮附近有兩條筆直的鐵路，游擊隊知道這兩條鐵路都是筆直通往敵方城市，即鐵路在敵城相交。游擊隊靠著僅存的筆紙和直尺匯出了大致草圖，那麼請問，只憑直尺，我們能確定巨炮該向哪個方向轟炸嗎？

抽象出來，我們即是想僅用直尺（無刻度），找到通過一個固定點的直線，使其通過兩條線的交點。不過這兩條直線近乎平行，所以難以直接在比較小的紙片上延長找到交點。

答案見下：

。

假設我們的點為E，在兩條直線上任意找四個點F,H,I,G，連接FG與IH交於J。過J作任意一條不過E的直線，連結FE和GE並延長交這條直線於L,M，連結IL與HM並延長交於N，那麼NE確定的直線就必定通過兩條直線的交點。

這神奇而優美的解法完美地利用了另一個神奇而優美的定理：笛沙格(Desargues)定理。這個定理由於其漂亮的結論為許多人所了解，它聲稱：兩個三角形對應的三條邊的交點三點共線，當且僅當對應的三個頂點的連線三線共點。

它的一個直觀證明的優美性不亞於上面的題目解答，見下圖，我們把一個三稜錐O-A"B"C"投影到二維平面，其中的一個截面是ABC。那麼ABC是一個截面，當且僅當三線共點條件成立。而由於兩個平面ABC與A"B"C"交於一條線，如果我們把這個三維圖映到二維，即是三點共線條件成立。

能在如此基礎的定理中發現一個漂亮的結論，實在是難能可貴的。

說兩個具體例子：老師讓我在班上介紹有限單群分類定理（科普層次的），雖然講的不怎麼樣，但是準備過程中發現看似毫無章法的有限單群最後就落到四大類裡面，這個讓我覺得特別震撼。因此還肝了一年代數雖然學的並不好TAT。再有一個是微分流形課上，發現了一些有關於拓撲結構和微分結構關聯的定理。比如說Cartan閉子群定理，即李群的閉子群是李子群。這個就是拓撲性質導出微分性質。另外一個是de Rham定理，即從微分形式定義出來的de Rham上同調群和從拓撲出發定義的奇異上同調群是一樣。分類問題和建立兩種結構之間聯繫這樣的數學定理格外吸引我吧。

大家都說了蠻多數學方面的羈絆，我來點統計學上的。

用今天UC標題來說的話，可以稱為：「驚人之作！大數據打敗法西斯！」

所以這是個發生在二戰時候的故事。

那是1940s早期，盟軍和納粹在歐洲大陸上打得死去活來，所以盟軍指揮官撿到德軍爆落或者投降的武器物資成為常態。終於有一天，不知誰突然發現，這些武器裝備，特別是重型裝備上，有一些奇怪的數字。由於德軍在強迫症方面擁有無與倫比的名聲，盟軍推測這些數字或許代表了這些裝備的生產序號。這些裝備從輪胎到 Mark-I 坦克到 V-2 火箭林林總總。

如果這個推測是真的話，那麼我們能不能通過繳獲或者擊毀的德軍武器上的生產序號，來估計德軍到底生產了多少件此類裝備呢？

這似乎是個不可完成的任務，已知的信息僅為： $k_1 < k_2 < dots < k_n$ 是 $1$ 到 $N$ 之間的序號，需要做的是估計出 $N$ 的值。

1943年，這個腦洞被位於倫敦的美國大使館經濟戰爭部門的同志傳回了華盛頓，高層找了一批統計學家，試試看能不能立個項，搞個大新聞。

後來，在看不見硝煙戰場上的統計學家們，真的給出了這個估計[1-3]：

$hat{N} = k_n + frac{1}{n-1}(k_n - k_1) - 1$

當然，通過這些數據我們總是可以隨便給若干個估計，但這個估計要命就要在，它竟然是無偏的！神TM是無偏的！這意味著， $mathbb{E}(hat{N}) = N$ 用這個統計量去估計是沒有系統偏差的。

在1942年，盟軍根據這種方法估計德軍當年生產了3400輛坦克。戰後，德軍的軍事資料逐漸揭秘，盟軍也查到了1942年坦克的真實產量，與這個數字極為相似。

要知道在這之前，盟軍對德軍的裝備情報主要來源於間諜和投降人員，

而間諜和其他情報人員給出的坦克估計是18000。

[1] 陳家鼎.數理統計學講義.

[2] Richard J Larsen. An Introduction to Mathematical Statistics and its Application.

[3] Goodman, Leo A. "Serial number analysis." Journal of the American Statistical Association 47.260 (1952): 622-634.

中國象棋其中至少一方有必不敗策略。

下面算是一個證明：

如果一個博弈（遊戲）滿足如下條件，那麼先手和後手其中至少一方有必不敗或者必勝策略：

1.遊戲採取雙方（或多人）輪流行動的形式進行。

2.遊戲必然在有限步內結束。（這點保證了遊戲不會進入一個循環而導致沒有勝負）

3.雙方（或多人）擁有整局遊戲的任何信息。（即，完美信息博弈）

4.沒有任何運氣成分。（就是說，你能夠完全地料到你進行了某行動之後，整個遊戲會發展成為怎樣的局面）

比如五子棋就是一個滿足上述條件的遊戲：

1.執黑執白雙方輪流落子。

2.722步內必分出勝負。（或者平局）

3.沒有任何信息是被隱藏的。

4.落子即為一步行動，指哪落哪。（手滑不算）

但是撲克牌不滿足上述條件。

1.幾人輪流出牌。

2.54步內分出勝負。

3.別人的牌你是看不到的，有信息隱藏。

4.出牌雖然是自己能完全決定的，但是發牌不是。

這個是博弈論的一條定理策梅洛定理，最先由他在1913年證明。但是無奈，在策梅洛定理_百度百科上沒有見到通俗易懂的證法。（事實上截止到筆者寫這段文字的時候，還沒有添加證明）並且知乎上似乎也偶有人詢問，於是我在下面給出一種該定理通俗易懂的證明方法。

我們先考慮下面這個例子：

兩個人甲和乙玩遊戲，從甲開始從1輪流報數，每個人可以報1個，2個，或者3個。第二個人接著上一個人報的最後一個數的下一個數開始報。先報到6的人輸。例：甲報1，2。乙報3，4，5。甲報6，甲輸。問甲有必勝策略嗎？

答案是，甲有必勝策略。

甲只需一開始報1，之後不管乙報多少，甲都報到5。這樣最後乙只能報6然後輸掉比賽。

我們不妨將部分遊戲流程繪製如下：

藍色箭頭表示甲的回合，紅色則表示乙的。文字分別是兩人可能的行動。甲一開始只報1的情況沒有列出來。

我們將輸掉遊戲的箭頭上標上點：藍色的點代表甲贏，紅色的點代表乙贏：

我么發現，有的時候，比如最上面那種情況，甲只能報6然後輸掉比賽。

這種時候，我們認為乙報5的時候，甲已經輸掉了比賽。

即，如果甲沒有選擇只能行動至紅色的點（乙贏），那麼甲已經輸了。

所以，我們將這種「單行線」之前也染上色：

注意此情況：

因為在甲報4之後，是乙的行動回合，所以如果有紅色的點，那麼乙一定會行動至紅色的點（甲輸）。所以，當有一個點和箭頭同色時，箭頭來源的那個點也是這個顏色的。

將圖中所有情況標上有顏色的點：

此時，我們能夠看到：只要甲不報1，那麼乙就報到5，隨後甲輸掉遊戲。可見，只要甲報1，那麼不管乙報幾個數，甲都報（4-乙報的數字個數）個數，保證報到5，隨即乙報6輸掉比賽。

此為甲的必勝策略。

其實說到這兒，命題已經證明完成了。由題給信息，我們總能找到這樣一個「樹」，從「根」開始，每條有色「邊」代表不同玩家的不同行動，最後會在有限的「深度」和「度」內結束。在「葉節點」處，染上代表勝負的顏色，然後依據上述規律依次將其「父節點」染上相應的顏色。最終，在「根」上也染上相應的顏色，代表了誰有必勝/必不敗策略。

還有一個是高票答案啟發的：

平面內給定一半徑大於零且標出圓心的圓，那麼理論上可以只用不帶刻度的直尺和無限細的筆在有限步內做出任意尺規作圖有限步內能做出的點。

初等證明比較長，有人有興趣再更。

舉個圖論的例子。

一筆畫應該都玩過吧？你不妨試試看把下圖一筆畫出來。

當然。。

你是畫不出的，因為它不符合一筆畫的規則。

一筆畫的規則是，一張連通圖，沒有奇點或者只有兩個奇點，其它均為偶點。

奇點就是與奇數條線相連的點。

偶點就是與偶數條線相連的點。

如上圖，紅色的是偶點，綠色的是奇點。奇點有4個，因此該圖無法一筆畫。

這幾乎是我們每個人都玩過的遊戲。其中一部分人對此產生了好奇心，鑽研一筆畫背後的規律。其中再有那麼一小部分人在得出規律後試圖用嚴謹的語言將它證明出來，把這種規律奉為真理。

數學的美，大概就是它接納任何人。任何人都會一點數學，卻沒有人敢說自己懂了數學。

和上面一些圖形的題目類似，我高中也見過一個，是當時的數學老師在黑板上寫的。

在一個等邊三角形內部任選一點，分別做三條垂線，再分別連接三個頂點，現在證明面積：

S1+S3+S5=S2+S4+S6

當然這個題不是很難，用代數或者坐標計算的方法，就可以算出來。但老師給出的解法，令我記憶猶新，十幾年過去了，依然念念不忘。

老師一句話也沒說，一個字也沒寫，只是畫了三條輔助線。

這樣的數學，難道還不夠美嗎？

太多了。

黎曼ζ函數的變換（圖片截自https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw）

Mandelbrot Set的圖像

發現整個數學系統都是嚴謹的建立在公理之上的時候

去年參加了一個夏令營，從最初的環和整數公理出發慢慢推導出新的定理，證出了費馬小定理什麼的，最後證出了二次互反律。第一次知道看起來很高大上的定理也是從樸素的初設公理一步一步推出來的，感覺走了一段神奇的旅途，才感受到數學很漂亮。

柯西-施瓦茨不等式。

這個東西相信很多人挺熟悉的，因為這是數學裡面最重要的不等式之一。

對於所有在一個內積空間中的向量u和v，有如下不等式：

${displaystyle |langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle |^{2}leq langle mathbf {u} ,mathbf {u} angle cdot langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle }$

其實一直都覺得這個不等式很顯然的樣子，而且平淡無奇，直到了解到她在概率論里的應用：

感覺這個不等式真的太美，太奇妙了。

還不止這一處，後來學習machine learning的時候，發現kernel這個東西，亦有神奇的不等式。

頓時對這個不等式心生情愫，其證明還融合了矩陣論的知識。

瀉藥。

大概就是尺規作圖的時候吧，從一年多前尺規作圖正五邊形開始，我就發現只用一把直尺，一個圓規，就能做出這麼多既美麗又標準的圖形時，是多麼完美與奇妙。還有單規作圖和單尺作圖，也是十分有趣。可能正如羅素所說：歐氏幾何美好如初戀。

永垂不朽的五點共圓

均值不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式幫你精打細算財源滾滾；重心、垂心、外心、內心、旁心讓你事事順心；九點圓、外接圓、旁切圓、內切圓讓你圓圓滿滿；調和點列，調和數列，調和級數幫你風調雨順，家和萬事興，數學助你雞年吉祥發達。

福是可導的，時間是可微的，所以我對你們的祝福是連續的！是羅爾定理所不能證明的，是拉格朗日無法求導的，又因為記憶的曲線是凸的，思念的曲線是凹的，所以遺忘你們的點是不存在的。綜上所述，快樂是收斂的，我對你們的祝福是單調遞增的。祝你們煩惱高階無窮小，好運連續且可導，理想一定洛必達，拉格朗日天天照，生活不單調，道路不凸凹，f"（心情）&>0，lim快樂=無窮大！新年新氣象，祝大家新年好！平安吉祥，快樂開心

謝邀，比如zorich某道證明題想了一個月最後終於證出來了。

玩歐幾里得的時候，自己用尺規畫出圖來感覺很美。

曼德勃羅特集

曼德勃羅特集是人類有史以來做出的最奇異,最瑰麗的幾何圖形.曾被稱為「上帝的指紋」。這個點集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C,

這是一個迭代公式,式中的變數都是複數.這是一個大千世界,從他出發可以產生無窮無盡美麗圖案,他是曼德勃羅特教授在二十世紀七十年代發現的.你看上圖中,有的地方象日冕,有的地方象燃燒的火焰,只要你計算的點足夠多,不管你把圖案放大多少倍,都能顯示出更加複雜的局部.這些局部既與整體不同,又有某種相似的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細節和自相似性.曼德勃羅特教授稱此為"魔鬼的聚合物".為此,曼德勃羅特在1988年獲得了"科學為藝術大獎".

圖形是由美國數學家曼徳勃羅特教授於1975年夏天一個寂靜的夜晚，在冥思苦想之餘翻看兒子的拉丁文字典是想到的，起拉丁文的原意是「產生無規則的碎片」

最近看了一本書費馬大定理

我覺得費馬大定理一定程度上是數學的代表了。

初看這個定理，十分簡單明了，然而越發研究，越覺得難以解決

而最後竭盡全力將它解決了，才發現我們得到的回報超過了這個定理本身

數學亦是如此，它帶給我們的不僅是在各個領域的應用，在研究過程中，我們也強大了。

突然想到和顏淵嘆夫子相似

仰之彌高，鑽之彌堅。瞻之在前，忽焉在後。夫子循循然善誘人，博我以文，約我以禮，欲罷不能，既竭吾才。