「分球怪論」是什麼？

01-19

發現樓上幾位回答都在關注的是他的證明，卻首先沒有人起碼將其嚴格表述一遍。我的回答想要談到的是：分球悖論(Banach-Tarski定理)的嚴格表述及重要意義。至於證明，在此任何文字描寫，已比不上網路上一個十分經典的視頻。本回答也將指出它。最後，再補充一些額外的有趣結論。

一種嚴格描述Banach-Tarski的方式是用到equidecomposable sets的概念。英文維基百科中對此有詳細描述，其實不難，我將相關部分摘錄附在結尾，翻譯就不提供了。

那麼，簡單(而又嚴格地)來講，Banach-Tarski定理說的是這樣一件事：

3維歐幾里德空間中一個球可以被變為兩個球，變換的方式限於如下：

1，將原球體分割為有限個互不相交的子集合。(當然，「分割」的意思就是他們的並集正好是原球體。)

2，對每個子集，允許且僅允許的操作是平移和旋轉。(比如，不可以做任何拉伸。)操作之後所有子集必須依舊互不相交，且其並集正好為兩個和原球體等大的球。

其實這裡我幾乎還是將equidecomposable給概括了一遍。各種為了嚴謹而添加的限制性描述，在附錄中equidecomposable的概念里都可以找得到對應。

Banach-Tarski定理的重要意義在於讓人們意識到了測度的概念的存在，以及，不可度量集合的存在。這是因為可度量集合在平移和旋轉操作下度量不變。（顯而易見，在3維空間中度量指的就是它們的體積。）而這樣的定理得以成立的前提卻是變換之後的體積翻了一倍，因此不得不涉及到不可度量的集合。

定理的證明用到了選擇公理。

一些額外的有趣結論：

1，2005年人們證明了，上述對三維球體的操作，可以在使分割之後的各子集連續變換移動而互不衝撞的情況下完成。

It was shown in 2005 that the pieces in the decomposition can be chosen in such a way that they can be moved continuously into place without running into one another.

Wilson, Trevor M. (September 2005). "A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot"s problem". Journal of Symbolic Logic. 70 (3): 946–952.

2，可以通過將三維球體分為5個子集來完成定理。而少於5個的話，則一定不可以。

In fact, there is a sharp result in this case, due to R. M. Robinson: doubling the ball can be accomplished with five pieces, and fewer than five pieces will not suffice.

Robinson, Raphael M. (1947). "On the Decomposition of Spheres". Fund. Math. 34: 246–260.

關於證明，前面的回答已經反覆提到了那個幾乎不可超越的視頻。我想，我們能在這裡表述的任何公式其實都比不上那個視頻里對於整個證明的完整嚴謹的展現。

http://www.bilibili.com/video/av2674104

附錄：equidecomposable的嚴格描述

Suppose that G is a group acting on a set X. In the most important special case, X is an n-dimensional Euclidean space, and G consists of all isometries of X, i.e. the transformations of X into itself that preserve the distances, usually denoted E(n). Two geometric figures that can be transformed into each other are called congruent, and this terminology will be extended to the general G-action. Two subsets A and B of X are called G-equidecomposable, or equidecomposable with respect to G, if A and B can be partitioned into the same finite number of respectively G-congruent pieces. This defines an equivalencerelation among all subsets of X. Formally, if
then we will say that A and B are G-equidecomposable using k pieces.
Using this terminology, the Banach–Tarski paradox can be reformulated as follows:
A three-dimensional Euclidean ball is equidecomposable with two copies of itself.

有一個視頻很好地解釋了這個悖論

http://www.bilibili.com/video/av2801710

一個球可以拆分成有限個部分（雖然每個部分都長的很奇怪）後通過平移旋轉操作，拼成兩個完整的，半徑相同的球。

證明的思路是這樣的：

我們考慮用 ↑↓←→ 構造字元串，唯一的要求是：↑↓（或者↓↑）不能相鄰，←→（→←）不能相鄰，如果相鄰了，就把這一對箭頭去掉。於是我們製造了一個叫做 F2 自由群的東西。
我們需要把 F2 自由群映射到旋轉操作上，這不困難——把↑↓定義成繞著 x 軸旋轉 1 弧度、←→ 定義成繞著 z 軸旋轉 1 弧度就行了。這樣，F2 自由群裡面的每個字串都被映射成了一個旋轉操作。我們把這個旋轉操作組成的群記作 H。
H 上面每個操作（除不動外）都會有兩個不動點，這些不動點（包含球心）比較煩人，我們先挖掉，記作集合 P。P 的數量「足夠少」以至於我們可以在之後把它給補全。球體除開 P 的部分記作結合 S。
因為 H 上的每個操作都有對應點逆操作，所以兩個點可以通過 H 里的操作聯繫起來是一個等價關係，根據選擇公理，我們可以在 S 內給這個等價操作選取一組「代表」，使得 S 種的每個點都可以通過 H 上唯一的一個操作變換到某個代表上。我們把代表記作集合 M。
我們考察從 M 變換到 S 上其他點的過程，這樣可以把其他的點拆成四個組：

從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「←」的點集 L
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「→」的點集 R
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「↑」的點集 U
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「↓」的點集 D

那麼我們把集合 L 應用一次「→」旋轉，根據自由群的性質，我們相當於在 L 種對應的每個操作末尾增加了一個箭頭「→」，它和左邊的「←」相互抵消了，於是我們相當於擦掉了 L 集末尾的一個箭頭——於是它變成了 $Mcup Lcup Ucup D$ ，於是我們可以用它和 R 重建一個「缺了一些」的球 S。
根據前面的推導，「U↓」應該等於 $Mcup Ucup Lcup R$ ，多了一個 M。不過不要緊，我們可以取出 U 裡面所有從 M 開始，完全用「↑」得到的點 U"，集合「（U-U")↓」將會得到 $(U-U$ ，配合剛才抽出來的 U", D 和 M，我們也重建了 S。
缺少的 P 並不是個大問題——對於第一個球，我們可以把 P 直接塞進去；第二個球稍微麻煩一些，此時 P 可以對應成若干個圓形「軌道」上面缺的洞，很容易通過旋轉 1 弧度補上。

除了常見的測度論或者選擇公理的闡釋角度，塔斯基悖論也可以用歐式變換群的不可均性（Nonamenable）來解釋。

這個問題以前知乎上已經有很好的答案了：如何理解banach tarski悖論？

不過還是看視頻最清楚：分球悖論：巴拿赫-塔斯基悖論【雙語字幕】

（這個字幕翻譯更用心，更好懂）

配合視頻中提供的鏈接進一步理解之後，就更容易明白這個看似悖論的結果其實一點都不奇怪。