離散型隨機變數有沒有概率密度？

01-19

其實有這個定理……

在這個定理下：

（因為N是μ的零測集，μ是P的domination measure，因此N也是P的零測集，所以Theorem 1中等式右側的第一項為0）。以及看到with respect to μ了嗎？

離散型隨機變數就是domination measure為counting measure的變數，只要我們能夠定義對counting measure的積分，就存在相應的概率密度函數。

我們平時用的「概率密度函數」可以寫成積分的形式，其實只是因為連續性隨機變數的domination measure為Lebesgue measure（或者應該反過來說……連續性隨機變數就是domination measure為Lebesgue measure的變數……），再加上abuse of notation，即我們通常把Lebesgue積分寫成Riemann積分的形式而已。

當然，如果題主學的概率論不是從測度角度入手的，那答案就是沒有……

如果從概率密度的定義出發， $P(xi，即概率=密度的積分，我們可以認為離散型隨機變數的概率密度函數是多個離散Dirac函數<img src=$ 的和，比如說一個離散隨機變數 $xi$ 定義如下：

$P(xi=0)=frac{1}{2},P(xi=1)=frac{1}{2}$

那麼可以寫出概率密度函數為： $f(x)=frac{1}{2}delta(x)+frac{1}{2}delta(x-1)$

一般而言，概率密度函數（Probability Distribution Function）是針對連續型隨機變數的，相應針對離散型隨機變數有概率質量函數（Probability Mass Function）。

概率質量函數即隨機變數在各個可能值上對應的概率，你可以把它想像成一個直方圖。

但是@鄧永哲的答案很有意思。

連續隨機變數的密度是他的分布函數關於Lebesgue測度的導數

你要的密度大概就可以看成關於計數測度的Radon-Nikodym導數

沒有。

定義黎曼-斯蒂爾切斯積分之後，離散型和連續型隨機變數的概率累計函數可以在統一形式下得以表達。

有啊有啊，不好意思本人英語不甚好，但可以給出幾個德語關鍵詞和相關解釋。Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion 概率分布函數。Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichtefunktion 概率密度函數(此處對應連續隨機變數)。Wahrscheinlichkeitsmassefunktion 概率質量函數。書上給出的解釋是：Eine zur Verteilungsdichtefunktion diskreter Zufallsvariablen aequicalente Darstellung ist die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion. 譯為：一個對離散隨機變數分布密度函數的等效表達方式。谷歌直接的搜索結果給出的維基頁面是概率函數(德語直譯)，其跳轉後的中文頁面為：概率質量函數，跳轉後的英文頁面為：Probability mass function。這裡再給本德語文獻：Klaus D. Schmidt: Ma? und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

沒有啊，有的話也沒有辦法表示，

有PMF，正如王捷所講，是國際通用的稱呼。

浙大第四版叫做，離散變數的分布律

當我看到這個問題是

我正對著概率論課本

為下周的月考發愁……

【冷漠臉】