非線性、自組織、混沌、分形、超循環、突變論、協同論、耗散結構，他們之間的關係是怎樣的？

01-18

我對自組織比較感興趣，簡單了解一下，覺得概念關係搞不清，希望有大牛來幫忙梳理一下~
目前的理解是非線性系統包含自組織、混沌、分形三部分。
而自組織系統又由突變論、耗散結構、協同論、超循環等理論構成。

謝謝邀請。

非線性可以是純粹數學概念，動力系統的一個分支領域。非線性也可指能用非線性動力系統描述的自然現象本身。因此數學家和物理學家都可能去研究非線性，但側重點或有不同。

提問中的：

目前的理解是非線性系統包含自組織、混沌、分形三部分。

這句話是錯的。非線性系統是一種描述系統動力學行為的數學語言，它可以用來描述各種行為，不僅僅是這些。而且混沌和分形在非線性系統中不是分別討論的話題。

我在之前的回答中提到過，一個動力系統：

$frac{dX}{dt} =Acdot X$
其中 $X=left[ x_1,x_2,x_3,... ight] ^{T}$ ，而A是一個常數矩陣，則這是一個線性的常微分動力系統。
與之相區別的非線性系統則是無法寫成以上形式的方程組所表徵的系統，比如有些是二階、三階、更高階的系統，或者說形式上矩陣A中的項跟X的各項有關。當然，非線性系統也包含偏微分方程中的非線性系統，比如可以形成Turing Pattern的帶有擴散項的系統。

自組織是指一類現象：即設定好了系統中局域的相互作用規則，一個初始狀態混亂的系統就可以自動演化成有序的形態。它可以從數學意義上講，也可以實際的觀察到一些自然現象。非線性系統可以具有自組織現象。比如純數學意義上的圖靈斑圖、現實中生物的生長、動物身上的體節，都是非線性系統的自組織現象。通常這樣的系統都是從外界攝取能量，以維持低熵的狀態。

混沌是三維及以上的非線性系統的動力學行為或其存在形式的一種。它指的只是兩個相鄰的軌道在相空間中隨著時間發展會很快速的互相遠離的現象。與之相比，對於一般的非線性體系而言，軌道往往會被其鄰近的吸引子」吸」過去或「排斥」走，因而在吸引子周邊的一塊相空間的區域內出發的相鄰的相點，它們的行為趨勢是一致的。也可以有暫態混沌存在，即在一個吸引子周圍繞了很多圈，有chaotic的行為，但最終還是跑到了其他的正常吸引子那裡。

分形指一種有自相似性的結構，不一定在非線性系統中才有。非線性中所說的分形一般指的是混沌系統中的吸引子（奇異吸引子）具有分形結構。

耗散結構理論指的是一種關於耗散系統的理論，這個系統是不在熱力學平衡態的開放系統，它不在熱力學平衡態即不滿足細緻平衡，其內部是有能量流動的。它可以通過與外界交換能量來維持穩定的動力學狀態。比如一個需要從外界不斷吸收能量來維持一個極限環這個吸引子存在的狀態的系統，就是個耗散結構，由此應該很容易想到生物的晝夜節律，或是細胞周期等自然現象。研究耗散系統可以用到非線性動力學，但是耗散系統不全是非線性的。

超循環、突變論、協同論都是對複雜系統的研究，可以用到非線性框架內的手段。不過我沒做過這方面的具體研究，所以不敢妄談。

不客氣地說一句，你基本上還停留在名詞黨的程度。後面回答的裡面也有名詞黨，比如說KPZ universality class是有特定含義的，指的是KPZ/fixed point of KPZ和GUE（隨機矩陣特徵值）、percolation（滲透模型？？）、還有一些隨機過程的continuum limit（不好意思不知道怎麼翻譯這個詞）之間的深刻聯繫，和混沌、分形什麼的實在不怎麼沾邊。

我假設你指的是數學上能夠嚴格證明出來的關係，而不是腦洞一開「啊，某某和某某一定有聯繫」。

首先非線性就是非線性，非線性不見得就有混沌，奇異吸引子什麼的。我們對線性方程，不管是常微分方程還是偏微分方程，基本上是有一套完整理論的，解的特性也比較好，但是如果是非線性方程，問題就很多了，解的特性可以簡單，但也可以非常非常複雜。

我們說的混沌，一般指的是有正的Lyapunov指數，也就是對初值敏感。當然這裡還有個隱含條件就是解是有界的，不然就亂套了。分形一般來說指的是非整數維的集合或者測度。這裡我們有各種維數的定義，基本思路是估計這個集合在空間內填充的程度，比如前面有人貼的Hausdorff dimension, 還有boxing counting dimension, Renyi dimension什麼的。這兩個東西數學上的定義應該是比較清楚了，也比較淺顯，一般的本科生看看維基百科基本上都能懂。

但是就是這麼簡單的東西，你說他們之間到底有什麼關係？不好意思，真要證明起來還是挺困難的。你用MATLAB畫幾個奇異吸引子當然容易得很，看看形狀，扯扯「分形之美」當然也容易，但是你要說為什麼對初值敏感的系統，吸引子一般都是奇異的，非整數維的？不好意思，其實不那麼容易。有個猜想叫做Kaplan-Yorke Conjecture，猜想Lyapunov指數和吸引子的維數滿足某些聯繫，懶得輸入公式，自己上網搜吧。這麼多年過去對這個猜想確實有一些部分的結果，但一直也證不出一般情況來。如果你知道什麼是Smale Horseshoe的話你可以用Smale Horseshoe對著這個猜想驗證一下，驗證完了自然就知道了為什麼Lyapunov指數和分形的維數會產生這樣的聯繫。但是呢，產生混沌的機制其實是多種多樣的，Smale Horseshoe只是其中的一種，所以是不是所有的混沌系統都滿足這個關係，不好意思，不知道。

至於什麼耗散結構，自組織之類的東西，怎麼說呢，你要是從嚴格的數學角度考慮的話，近平衡態的非平衡統計力學都是問題一堆呢，這種遠離平衡態的情況只怕很難有什麼一般的數學結果，基本上只能停留在做做反應擴散方程的pattern formation這種層次上。炒炒概念，嘴上掛兩個名詞是一回事，真正滴水不漏地把東西證出來那是另一回事。比如就說近平衡態統計力學，有人能從經典力學（粒子的運動）推出Onsager倒易關係、最小熵產生之類的東西嗎？沒有，恐怕可預見的時間內也沒人做的到。到現在為止能對熵產生、Onsager倒易關係之類東西有一點嚴格證明的都是一些簡單的不行的模型。

我建議立法禁止看不懂以下公式的人討論分形（你看你連名字都拼錯）。

$H^d_delta(S)=infBigl{sum_{i=1}^infty (operatorname{diam};U_i)^d: igcup_{i=1}^infty U_isupseteq S,,operatorname{diam};U_i<deltaBigr}$

從總體上看，耗散結構對於理解系統演化的前提條件有基本的重要性。

協同學闡述了子系統之間的競爭和協同推動系統從無序到有序的演化，總體上推動了我們對於系統自組織演化內部機制和動力的認識。

超循環論指出相互作用構成循環，提出了循環等級學說，從低級循環到高級循環，不同的循環層次與一定的發展水平相聯繫，揭示了系統的自組織演化發展採取了循環發展形式。

突變論與系統自組織演化的相變理論密切聯繫在一起，揭示原因連續的作用有可能導致結果的突然變化，揭示出相變的方式和途徑、相變的多樣性。

對混沌和分形的研究，使得我們對於系統自組織的複雜性、系統自組織的發展的整個過程有了更深刻的理解。

於是這些系統自組織理論使我們認識到，充分開放是系統自組織演化的前提條件，非線性相互作用是自組織系統演化的內在動力，漲落成為系統自組織演化的原初誘因，循環是系統自組織演化的組織形式，相變和分叉體現了系統自組織演化方式的多樣性，混沌和分形揭示了從簡單到複雜的系統自組織演化的圖景。

————————摘自魏宏森、曾國屏《系統論——系統科學哲學》系統自組織原理一章清華大學出版社 1995年版第267頁

所有人同時但是獨立地探索著複雜系統這個未知領域，你把你發現規律叫做協同學，我把我發現的規律叫做耗散結構論，還有一些人把他們發現的規律取名突變論，混沌理論，分形理論，超循環理論。數學家，哲學家，物理學家，化學家，生物學家，計算機學家都在努力用自己手中的鎚子敲打著新科學的大門，大家都希望自己發現的規律能夠成為這個未知領域的奠基理論，都希望自己能夠成為這門新科學的開創人。在一切塵埃未定之時，誰也不願多提及別人領域的概念。這可能就是他們之間的關係吧。

這個問題提的太大，很難有比較對應的答案。類似於，講講數學是什麼？

題主，我隨便用中文搜了一下自組織系統，發現百度百科和MBA智庫百科的解釋很不清晰，也有很多完全不知道引用在哪的陳述。這裡提個建議：如果能看懂英語，還是直接搜英文的維基百科吧。

只提幾個我接觸過的幾個例子。（後面說的有哪些不對的話請指出）

首先說複雜系統Complex Systems，這個概念應該是由於近些年來越來越多交叉學科研究需求，很多科學家提出來的一個名詞。它本身跟所有學科的名字一樣，意義不大。由於沒有一個比較精確的定義，所以很少（或者沒有）聽說過以研究複雜系統自居的科學家。下面這幅圖大概能夠看出來複雜系統涉及的領域，主要是跟應用數學，物理，計算機，生物，化學，經濟等領域交叉的一些領域。

圖片來自維基百科詞條（Complex systems）"Complex systems organizational map" by Hiroki Sayama

圖片來自維基百科詞條（Complex systems）"Complexity Map" by Brian Castellani

可以看到，Complex Systems 包含的是非線性動力系統，因為有限維空間中的線性系統是相對比較簡單的，它不可能產生混沌效應。

混沌系統有個最主要的特徵就是對初值敏感性高，大家都知道的「蝴蝶效應」就是說的這個特徵。這裡可以看下以提出「蝴蝶效應」的洛倫茲命名的洛倫茲系統

可以看到後兩個式子含有高階項，是典型的非線性系統。

系統對初值敏感性可以用 Lyapunov exponent 來描述。

$delta r(t)approx e^ {lambda t}delta r_0$

$delta r_0$ 是初始誤差， $lambda$ 就是Lyapunov exponent.如果 $lambda >0$ , 誤差呈指數增長，該系統對初值敏感。舉個例子， $lambda =1$ 如果 $delta r_0 = 10^{-5}$ ，我們想要預測誤差在 $10^{-2}$ 以內，可以預測到t=6.9，然後我們降低初始誤差至 $10^{-7}$ ，仍然要求預測誤差在 $10^{-2}$ 以內，可以預測到t=11.5，預測長度增長了不到兩倍。可以看出，對於這樣的系統，即便我們有很高精度的測量誤差，還是很難去做長時間預測。這在實際應用中很難接受，現在天氣預報只能預測到2周以內，當然越往後的預報，可靠性越打折扣。當然天氣預報不只是由於非線性，還有超高維度的數據（ $10^6$ 以上），但是注意複雜系統不一定要高維。

自然界有很多自組織現象，生物學中的胚胎的形態發生學，統計物理學中的晶體，玻璃形成過程，尤其是玻璃體中的quenching theory,還有研究魚群，鳥群的collective behavior。

有空再更新一下模擬鳥群（flocking birds）的模型Viscek model [1]。

如果對公式理論興趣不大，就看看這個視頻吧，基本還是涉及到了上面提到的部分視頻封面 BBC.神秘的混沌理論視頻

更多請移步：

T. Vicsek, A. Czirók, E. Ben-Jacob, I. Cohen, and O. Shochet, Phys. Rev. Lett. 75, 1226-1229 (1995)
Self-organized criticality
Abelian sandpile model

以及搜索關鍵詞：KPZ Universality Class

樓主可以看看一本《複雜》的科普書

然後。。。。

然後就打住了。

直到你學會了概率論，圖論，離散，數學物理方法等，再回來（我也是這樣啊，共勉吧）

這些理論都是從不同思路和構型來研究複雜系統的特徵，各有側重點。加入小樂豆瓣小組來討論吧，非線性Nonlinear小組

呵呵，對這些概念感興趣，已經很牛了，組成學習小組吧。每周討論，我在北京海淀區小南庄路400號，我們在北大有個複雜系統討論學習小組，一起來吧

嗯……題主真的是簡單了解了一下就發問。希望你還是能夠初步了解一下再發問吧。非線性結構是數學上不成比例關係的元素的數學關係。自組織是一個系統組織方式。非線性引用到自組織裡面的作用就是告訴你自組織形成的條件是開放系統中元素的非線性關係，就是我們找不到元素之間的線性（比例）關係他才自組織。剩下的混沌分形突變等等等等就是目前提出的自組織系統中的一些理論吧。既然已經在提問中知道系統是由理論構成的為什麼還要問關係……這不就是關係嗎。

來自一個明天要考系統科學導論的少女的客戶端。

一切榮耀，歸於偉大的 Period three.

請問關於涉及上述概念的理解和進一步學習，有什麼好的書籍推薦，學習路徑？