數學中，定義極限的目的是什麼？是為了解決什麼問題？為什麼極限理論能很好的解決這類問題並被大家所接受？

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定義極限的目的是為了以一種數學上嚴格的方式描述「無窮小」這個概念，進而建立嚴格的微積分體系。

以前的微積分完全建立在無窮小這個不太嚴格的概念上，引入極限解決了這個問題。

能被大家所接受是因為這東西解決了上面那個問題，理論角度上說是嚴格的，又不影響使用價值。

而數學分析這個學科的名稱則來自於無窮小分析。「分析玩的就是不等式」，我的數學老師曾經這麼講過。

初讀《數學分析》時，對極限部分感到十分驚異：這麼簡單的問題，何至於被數學家們搞的如此複雜？

不知何時看過一本書，書中談到牛頓在使用微積分時，一會兒讓無窮小等於零，一會兒又不讓無窮小等於零，於是無窮小成為一個數學怪物，稱為微積分的惱人問題，似乎還和第二次數學危機有關。

儘管人們討厭無窮小，但微積分真能解決問題。於是，當時的大主教就把無窮小當成鬼魂，用來作為神靈存在的證明。

後來，在柯西等人的努力下，用極限論的方法解決了無窮小的問題，從此，微積分的惱人問題就給徹底地解決了。

這本書好像叫做《數學的三次大危機》，書名不是很準確。

有了這些鋪墊，再回頭看極限論，才發現它的嚴謹如此了得，而且帶有很濃的哲理性。從此，我對基礎數學的看法就完全不同了。

可見科普的重要性。

在電氣知識中，對極限的應用也淋漓盡致，當然也包括微分方程在內。

有的時候忍不住會想，這些偉人何至於如此厲害？！感覺大學物理中相當多的內容都是牛頓時代和麥克斯韋時代的研究成果。真的很佩服他們。

在有關極限的證明中，最有意思的是函數的極限：我們看到函數自變數與某值的差的絕對值是一個無窮小，而且這個差值可以小於任意給定的小正數 $delta$ 。同時函數與某值的差的絕對值也是一個無窮小，而且這個差值也可以小於任意給定的小正數 $varepsilon$ 。由此出發，還可以得出函數的連續性充分必要條件，也即上述這兩個差值可以等於零。

開始我覺得有點多此一舉，後來發現這一點很重要，知道為什麼？這是我在繪製函數圖像時發現的。

我讀書的時普通計算機只能運行在DOS下，WINDOWS3.0剛剛出現，但並不妨礙我用BASIC語言編了一個小程序來繪製函數的極限，並非常明確地認識到極限的真正意義。

多年後，在一次度假時遇見一位大學的數學教授，我和他談到極限論的問題。這位教授告訴我：極限論造就了高等數學，並由此構建了整個近代和現代物理學，是人類非凡思維能力的集中體現。我很同意這位教授的說法。

數學定理，其實它們都是客觀存在的，關鍵是如何去發現它們。極限論，就是人們最偉大的發現，同時也是構建現代科學技術的最基礎的磚石之一。

看到評論區有談到極限與實數連續性等價，有點意思。這個問題與實數稠密性有關，和第一次數學危機也有關。事實上，這也是我當年學習時最感到驚異的問題。

為了求得 $sqrt{2}$ ，我們可以構建兩個數列，其中一個是不足數列，它的值從小於 $sqrt{2}$ 的方向不斷地逼近它，例如1.4，1.414，……，等等。另一個從大於 $sqrt{2}$ 的方向不斷地逼近它，例如1.5,1.42，……，等等。隨著項數的增加，這兩個數列均具有單調性，前者不斷增加，後者不斷減少。我們會發現，它們與 $sqrt{2}$ 偏差的絕對值越來越小，其實就是無窮小，而它們的極限自然就是 $sqrt{2}$ 了。

由此得出幾個結論：

第一：無理數是有理數列的極限。
第二：有理數數系和無理數數系均是稠密的，但不連續。

所謂稠密，指的是任意兩個數中間還有數。我們只需要把這兩個數相加，然後再除以2即可。

有理數數系的中間被無窮多的無理數給隔開了，而無理數數系同樣也被無窮多的有理數給隔開了，因此這兩個數系是稠密的，但不連續。

第三：實數為有理數及無理數的統一體，因此實數數系是稠密的，而且連續。
第四：數列極限存在的充分必要條件是：它的不足數列極限和過盈數列極限存在且相等。

如此簡潔，如此明確，如此富有哲理性。它是數學精髓之所在，是數學的世界觀。

我對數學其實有些反感，但自從發現了 $sqrt{2}$ ，我愛上了數學。當時我不再願意按老師的講課步驟一步步來，自己到圖書館去看了大量的書，並由此開竅，順帶地培養了我的自學能力。

事實上，我的大學生涯絕大部分課程都是自學的。當然，這一點不值得推薦，作為學生還是按課程安排一步步學習為好，比較紮實。

這 $sqrt{2}$ 和無理數，可不就是一盞明燈嗎？為我照亮了學習數學的方法和路徑，並啟迪了我如何理解極限的本質。

最後，我們來看一個在電學方面的問題，如下：

我們知道，如果線路中只有一隻電阻R，則它的總電阻當然也等於R。

現在我們拿兩隻電阻R去並聯，於是總電阻為R/2；如果我們取N只阻值均為R的電阻並聯，則總電阻等於多少？

$R_{Z} =lim_{N ightarrow infty }{frac{R}{N} } =0$

也即，總電阻其實是一個無窮小量。

我們來看下圖：

圖1中我們看到了一隻電阻R，以及前接的線路電阻，或者儀錶的接觸電阻。

我們把線路電阻合併為r，於是就變成了圖2。

現在，我們在電阻R的後面並聯上N組（r+R)，結果會怎樣呢？

因為這N組（r+R）並聯後的總電阻為：

$lim_{N ightarrow infty }{frac{r+R}{N} } =0$

因此這N組（r+R）與最左邊的電阻R並聯後的總電阻為：

$frac{R imes 0}{R+ 0} =0$

由此可知，線路的總電阻為：

$R_{Z} =r+0=r$

也就是說，線路最後的總電阻為最左側的線路電阻或者儀錶測量接觸電阻。

這也是測量小電阻時必須採取專門措施的原因，否則，測量值只是接觸電阻而已。

有點意思吧？！

這個事兒不太敢亂說，有問題歡迎指出

通俗解釋：

極限現在的定義是為了使微積分這門數學學科成立而給出的定義

通俗的說，函數極限就好像孫悟空ε與如來佛δ。

孫悟空ε不管怎麼努力，都逃不過如來佛δ的掌心。只要|x－x0|＜δ，則|f(x)－A|＜ε。如來佛δ通過控制自己的大小，可以讓孫悟空ε任意的小。

在數學中極限概念的重要性在於這樣一個事實：很多數只能由極限來定義。《什麼是數學》

我的高等數學剛剛結課一年，根據我的印象，最開始先有了積分，之後有了求導，最後才有了極限。過程上講，剛開始的微積分是不那麼嚴謹的，數學家們都是處女座，任何有問題的地方都會讓他們非常難受。所以大概經歷就是為了解釋積分有了求導，為了解釋導數有了無窮小，為了解釋無窮小到底怎麼運算以及嚴格定義有了無窮小的嚴格表述。到此有了嚴格的微積分學科，這使得這門科學的所有內容變得嚴謹而有依據，也解決了很多自相矛盾的問題。雖然過程上極限是最後才定義的，但是它在微積分中的重要性，或者說必要性是應該排在第一的。如果沒有嚴格的極限定義，那麼微積分的理論就會出現漏洞。

書上編排的順序也是有道理的，理解極限這個事情是挺好的一個從初等數學思維邁向高等數學思維的方法。理解了極限這個概念以後可以有助於理解之後引進的問題。雖然我作為一個非數學專業學生好像的確沒有怎麼遇到過嚴格定義會用在哪裡，不過我還是隱隱覺得，它一定會有用的，而且很重要。

根據我的理解

極限理論是用來把微積分系統化規範化的，微積分的嚴格定義就是由極限給出的。

極限理論把微積分變成了嚴格的數學體系，而不是牛頓時代的「誒呀這種能求面積能求做功的神奇的逆求導真的好好用啊但它為什麼是對的呢管他呢我就這麼用了！」

不是為了回答小時候誰更厲害的問題嗎？

A：「我的力量是無窮的」。B：「我的力氣比你大十倍」

那麼問題來了。。。誰的力量更大

這樣才能嚴格的處理「無窮」這個概念，不過這也僅僅是面對無窮的開始。

高數課本的課程安排都告訴你了啊，接下來就是微積分

嗯，感覺說了這麼多，還是沒說到點子上呢。。。簡單說，極限是就是 $varepsilon$ $delta$ 語言，無窮小，連續函數，導數，微分，積分，級數收斂/一致收斂，你就找吧，，，數學分析里哪個概念不是用 $varepsilon$ $delta$ 語言來描述的。以前是」要多大有多大「，」要多小有多小「這樣的字眼來描述，現在你看， $varepsilon$ $delta$ 語言里摒棄了任何運動的、物理的、口語化的描述， $varepsilon$ $delta$ 語言就是一個純粹的嚴格的精確的數學化的描述。如果你找到其他的嚴格的語言來代替 $varepsilon$ $delta$ 語言，那沒問題，但是看起來目前應該沒有。

不過為什麼數學家在微積分出現200多年後才把這個基礎嚴格地建立起來呢？這個我也不知道，只能說數學家也是凡人吧，這個真不能算是高效率了。

另外多說幾句，這個極限這個東西是用來補漏洞的，用來說清楚基本的概念的，用來證明的，沒有他不影響你直觀理解微積分，當然數學專業的肯定還是要熟練掌握 $varepsilon$ $delta$ 的計算技巧，也就是不等式，為什麼？因為證明需要啊。。