拿10元去賭，兩種玩法，一種每次賭十塊，另一種每次賭一塊，直到輸光或贏到100才走。哪種輸光概率大？

01-18

腦補莊家有90塊和你玩,比的是誰先輸光,這就是一個隨機遊動.
只有在勝負對半開,即勝率P=0.5的時候,兩種賭法是一樣的.
P&<0.5傾向於每次賭10塊(莽克狗)
P&>0.5每次賭一塊容易贏(穩克諧)

當然如果你覺得自己優勢很大那怎麼賭都一樣,反正都贏不了(奶克一切)

取決於單次賭博的概率P。基本上，@舒自均是對的。
以下是針對1-10元每種賭法以及不同的P，分別跑了10萬次的結果：

同意 @舒自均 @夏洋的答案
具體推導如下
設 $P_{i}^{j}$ ， $j=1,2$ 分別為兩種策略下起始時手上有本金 $i$ ，贏到 $N$ 元勝利的概率。每次賭博勝利的幾率為 $p$ ，失敗的幾率為 $q=1-p$ 。
如果每次押注一元的話，我們有

$P_{i}^{1} =pP_{i+1}^{1}+qP_{i-1}^{1}$
可得， $P_{i+1}^{1}-P_{i}^{1}=frac{q}{p} (P_{i}^{1}-P_{i-1}^{1})$
由 $P_{0}^{1}=0$ ， $P_{N}^{1}=1$ ，遞推可得
當 $p=q=frac{1}{2}$ 時， $P_{i}^{1}=frac{i}{N}$
當 $p e q$ 時， $P_{i}^{1}=frac{1-(q/p)^{i} }{1-(q/p)^{N}}$
如果每次押注十元的話，我們有
$P_{i}^{2} =pP_{i+10}^{2}+qP_{i-10}^{2}$
同理可得，當 $p=q=frac{1}{2}$ 時， $P_{i}^{2}=frac{i}{N}$
當 $p e q$ 時， $P_{i}^{2}=frac{1-(q/p)^{i/10} }{1-(q/p)^{N/10}}$
此例， $N=100$ ， $i=10$

代入易得，當 $p=q=frac{1}{2}$ 時， $P_{10}^{1} = P_{10}^{2}=frac{1}{10}$ ，兩種策略無區分
當 $p e q$ 時，易證
當 $q>p$ 時， $P_{10}^{1} < P_{10}^{2}$ ，每次下賭注10元獲勝幾率大
當 $q<P>時，<img src=$ ，每次下賭注1元獲勝幾率大

記號聲明
以一條馬爾可夫鏈表示每一次行動後的資金： ${X_i: i = 0, 1, ldots, M}$
初始資金： $X_0 = x$
單次下注金額： $Delta$
輸的條件： $X = 0$
贏的條件： $X = c$

（為簡化討論，假設 $x$ 和 $c$ 都是 $Delta$ 的整數倍）
一般情形下： $X_{n+1} = egin{cases} X_n + Delta quadmbox{w.p.}quad p\ X_n - Delta quadmbox{w.p.}quad 1-p end{cases} forall n < M$
問題1：贏的概率是多少？
假設為 $u(x)$ ，其他變數 $Delta, p, c$ 在以下討論中為常數。
注意（邊界條件）： $u(0) = 0$ 和 $u(c) = 1$ ，分別對應一開始就輸/贏了的情形。
問題2：如果某一步行動後資金為 $y$ ，那麼在這個條件下，贏的概率是多少？
$u(y)$ 。
問題3：回到問題1。
$u(x) = egin{cases} 0 quadmbox{ if } x = 0\ 1 quadmbox{ if } x = c\ operatorname{E}left[u(X_1) | X_0 = x ight] mbox{otherwise} end{cases}$
其中

$egin{eqnarray} operatorname{E}left[u(X_1) | X_0 = x ight] = sum_{y = x pm Delta} u(y) cdot P(X_1 = y | X_0 = x)\ = p cdot u(x + Delta) + (1 - p) cdot u(x - Delta) end{eqnarray}$
因此在非邊界處， $u(x pm Delta)$ 和 $u(x)$ 遞推關係可以寫為
$u(x) = p cdot u(x + Delta) + (1 - p) cdot u(x - Delta)$
$Rightarrow pleft[u(x+Delta) - u(x) ight] = (1 - p)left[u(x) - u(x - Delta) ight]$
令 $w(x) = u(x) - u(x - Delta)$ ，則
$p cdot w(x + Delta) = (1 - p) cdot w(x)$ 是等比數列，因此
$w(nDelta) = left(frac{1 - p}{p} ight)^{n-1} w(Delta)$
$u(nDelta) = u(0) + sum_{i = 1}^n w(iDelta) = w(Delta) sum_{i = 0}^{n-1} left(frac{1 - p}{p} ight)^{i} = w(Delta) frac{1 - left(frac{1 - p}{p} ight)^n}{1 - left(frac{1 - p}{p} ight)}$
$u(x) = frac{1 - left(frac{1-p}{p} ight)^{x/Delta}}{1 - left(frac{1-p}{p} ight)^{c/Delta}}$ 這就是答案。但是該式在 $p = frac{1}{2}$ 時無定義，事實上在這種情形下等比數列的公式不成立，可由直接計算得到 $u(x) = x / c$ （對一般解用洛必達法則求極限也可以得到這個答案）。
問題4： $Delta$ 對答案有影響嗎？

如果 $p = frac{1}{2}$ ，無影響。否則有。

10塊10塊賭更好，我自己寫了段代碼驗證了一下。10元一次贏到100的概率約0.1，1元一次的概率0.05。應該是因為正態分布曲線問題。-1和10的概率比約1：9 -10和100的概率比約1：19
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好吧其實我也不知道為什麼概率不一樣，正態分布那個我瞎說的。
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我發現換個隨機數生成函數就正常了，被坑了

如果輸贏各半（即單次期望收益為0）無論你本金有多少（只要有限。這裡假定莊家資金無限），無論採用什麼策略，在無限長時間後輸光的概率都是1。這是隨機遊走中的基本結論

一樣大，不同的是一次賭10塊比較運氣（因為重置次數少），一次賭1塊比較概率（重置次數大）
重置的數量越大每一個重置概率就越接近平衡（就是色子投擲次數越多，每個點的概率越接近6的意思）
賭1的話運氣會被大數據抹平，賭10大數據的調整少一點。

所以說，你賭10比較合算。

請樓主百度賭徒輸光理論(?&>

如果假設勝率都是五五開。最後的預期收益應該都是10元。兩者輸光的概率一樣。遊戲結束的時間不一樣。遊戲結束時間可以根據資金持有量和總資金量來算。
Gambler"s ruin Problem

P = { E | 以k元開始} = P_k
F1 = 賭一次，Win
F2 = 賭一次，Lose
第一局:
P(E) = P(E|F1)P(F1)+P(E|F2)P(F2)
= P_(k+1)p + P_(k-1)(1-p)

P(0) = 0
P_1 = pP_2 + P_3 * 0
用推論
P_k = ((q/p)^k - 1) / (q/p)^N -1 )

先壓10塊，贏了再壓10塊，輸了就拜拜！贏了壓20，然後40，

看著這麼多回答都太愚蠢了概率演算法都出來了反正我知道。逢賭必輸。

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其實呢，不管你怎麼去賭，1塊1塊的壓，還是一把10塊的壓，不管怎麼樣你都是輸的，不是贏不贏錢的事，是你輸了你的人生。

概率是一樣的，只是時間的區別，所以10元，不管是輸光還是贏到100，都比1元效率很多。

1124

告訴你如果賭大小，你只要夠資金我能一直讓你贏，相當年的老虎機小賭神是我

你別逗了。人家像你一樣笨？2倍也敢翻倍投？分分鐘鍾教你做人。看來大家沒在365玩過啊。題主好好擼，少做白日夢！
我也研究單雙的問題發現根本不可能賺錢。

賭博有時候不單純是數學問題吧。
心理戰更重要些。

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