關於偏導數複合函數的定義是否存在矛盾？

01-18

z＝f（u，x，y） u＝ψ（x，y）
f對x的偏導需要u和y不變，那麼我可以找出一個函數（比如令u＝x+y），u、y不變時x也不能變，那麼這時f對x偏導還存在嗎？意義又是什麼？
第二個問題，顯然z對x的偏導和f對x的偏導不同，也就是說，在這個偏導表達式中，把z換成了相等的x，新式子和原式不想等了，但是在別的情況下，把偏導式中的一部分換成相等的仍然和原式相等（在一元函數導數里這樣也是成立的）那麼什麼樣的情況下相等呢？是看意義是否一致嗎？如果把z對x偏導式中的z換成他的函數表達式，那麼這樣寫代表z對x偏導還是f對x偏導呢？
第三個問題，x的x次冪求導不能用鏈式法則，但是可以用多元函數求偏導的方法解出來，那麼這個函數和別的一元函數的複合函數本質區別在哪？是什麼決定了它不能用一元函數複合函數求導的方法解出來？
另外x2看成x乘x，令中間變數u＝x，這樣看成一元函數的複合函數用鏈式法則求導也是錯的

謝邀。

這是微積分初學者常見的混淆。首先必須強調一點：偏導數是相對某個具體的坐標系才有意義的。比如你舉的第一個例子：z＝f（u，x，y） u＝ψ（x，y）。如果你使用坐標系(u,x,y)的話，那麼你求出的3個偏導數(f_u,f_x,f_y)是一個整體（f_u代表f對u的偏導，下同），那麼你就得把(u,x,y)當成3個獨立的變數，你就不能把u看成ψ（x，y）。如果你要把u看成ψ（x，y）, 那麼你實際上求得就是z=f(ψ（x，y）,x,y)這個複合函數在坐標系(x,y)下面的偏導數。這兩件事情是有區別的，實際上你自己也意識到了，所以你會區分 f對x的偏導和 z對x的偏導。但是你仍然沒有意識到偏導數必須要先選取坐標（選取所有待求偏導的變數）以後，才有意義。

那麼我們分析下鏈式法則。在上述例子中，鏈式法則是怎麼一回事呢？比如我們想求z_x （相對於坐標系x,y），那麼鏈式法則告訴我們：z_x=f_u * u_x + f_x * x_x + f_y * y_x，但是x_x=1, y_x=0，所以z_x=f_u * u_x + f_x 。在上述計算中，f_u,f_x,f_y正是我第一段提到的：f在坐標系(u,x,y)下面的3個偏導數，在這一步你要把u看成跟x,y獨立的變數。然後呢，你再把u=ψ（x，y）,x=x,y=y帶進f_u,f_x,f_y的表達式中，從而得到最終結果——不要忘記：f_u,f_x,f_y是3個關於(u,x,y)的函數（偏導數是有自變數的函數，不是固定不變的數），所以你要再取映射複合才能得到關於(x,y)的函數，也就是z_x（這個z_x是z在坐標系x,y下面的偏導數，基本事實我要反覆強調）。

下一個問題：「x的x次冪求導不能用鏈式法則」。不是能不能用鏈式法則的問題，鏈式法則是對複合函數才能適用的，你首先要把x^x寫成複合函數的形式，然後才能討論使用鏈式法則的可能性。比如我們可以把h(x)=x^x看成下面兩個函數的複合：f(y,z)=y^z，g(x)=(x,x)（注意g是個向量值函數，取值是二維的向量）。那麼h(x)=f(g(x)),那麼由鏈式法則：h_x = f_y*y_x+f_z*z_x = f_y+f_z（因為根據g的表達式y=x, z=x,所以y_x=z_x＝1），然後你再把f_y,f_z的表達式求出來，把y=x,z=x（也就是與g做複合）帶進去，得到最終結果。

其實很多人學微積分的難處並不在於計算複雜，而在於概念不清／概念混淆。很多人總是求快，總是想快速過渡到套公式求導求積分的階段，中間的邏輯推導過程總是一帶而過。但是如果想達到準確的理解，如果不想出現混淆，對於邏輯思維能力不強的人來說，最好還是一步一步做，暫時忍耐一下「秒殺題目」的衝動，把詳細步驟一一寫出來。總結一下，主要是兩點：1.偏導數是相對某個具體的坐標系才有意義的；2.鏈式法則是對複合函數才能適用的。你首先把你想求導的函數寫成複合函數的形式，比如f=f(u,v,w), u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y)，複合一下得到g=g(u(x,y),v(x,y),w(x,y))，那麼g_x = f_u*u_x+f_v*v_x+f_w*w_x。請把中間變數u,v,w都寫出來，u(x,y)等等的具體函數關係式也寫出來，哪怕是u（x,y）=x這種平凡的關係式也寫出來，不要省略，不要偷懶。等你覺得自己對所有的概念、整個解題過程都理解得非常清晰的時候，再去追求速度和熟練度。

好久以前看到了一個類似的問題，是這樣的

不知道還有多少人對這個問題感到疑惑，的確本科階段對多元函數微積分部分沒有講的前面一元部分講的那麼細。。。

本質的答案前面的回答都說的很好了，我從幾何上說說。

$z=f(x,y)$ 和 $left{egin{matrix} z=f(x,y)\y=g(x) end{matrix} ight.$ 不是一回事；幾何上說前者是三維空間中的一個曲面，後者是三維空間中曲面 $z=f(x,y)$ 和柱面 $y=g(x)$ 的交線。 $frac{mathrm{d} z}{mathrm{d} x}$ 是這個交線上某點切線的斜率，這本質上只不過是一個一元函數，但這種一元函數的導數你不會求，除非 $f$ 和 $g$ 都是簡單的函數，你可以把這個一元函數關係解出來。那怎麼辦？

這時候多元複合函數求導法則就上場了。不會求 $frac{mathrm{d} z}{mathrm{d} x}$ 不要緊，既然是交線就表示這條線既在曲面上又在柱面上，曲面的偏導數 $frac{partial f}{partial x}$ ， $frac{partial f}{partial y}$ 你會求吧，柱面上某點與XOY平面平行的切線斜率 $frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}$ 你也會求吧，那就行了。複合函數偏導數法則就是告訴你這三者之間的關係， $frac{mathrm{d} z}{mathrm{d} x}$ = $frac{partial f}{partial x}$ + $frac{partial f}{partial x}frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}$ 。

題主你說的例子和我上面圖片里隱函數求導的例子都屬於在高維度解低維度問題，都可以這麼理解。同維度之間就和一元函數類似了，比如類似 $left{egin{matrix} z=f(u,v)\ u=u(x,y)\ v=v(x,y) end{matrix} ight.$ 這樣的複合函數。隱函數其實也可以看作一種複合函數。

PS：僅僅是方便理解，說的很不嚴謹，嚴謹的推導證明還是要去看書。

你應該把f中的xyz都看成複合函數。x和y比較簡單而已

看了好幾遍

不知道題主在說什麼

或許我智商不夠吧

關於第三個問題

用一元複合函數鏈式法則對x^x求導要先把它換個形式，比如換成e^(x*lnx)

鏈式一下就是e^(x*lnx)*(lnx+1)

然後再換回來，x^x*(lnx+1)

和取對數求導的結果是一樣的

我是來圍觀數學狗的

首先感謝這麼多大神的幫助！真的感動啊！可惜了知乎沒找到打賞功能。第一個問題大概已經接近根本問題了，因為之前寫問題時候照片一直沒發上來，再對二三問題補充說明一下

ps 看了大家評論，感謝大家的關注，研究深了深不見底啊，高中時候研究物理、化學比較多，隨便深挖就挖到競賽或者大物去了，也經常想一個問題想好久，很多最後實在是太難了只能放棄，比如熱學引出了環路積分，化學那個電子云的軸是怎麼建的，再比如積分式那個微分運算元、表達式能不能約，微分運算中哪些是可以約分的……深挖之後搞出一堆不懂的東西，而且頭一回深挖了數學問題，還請各位見諒，再次感謝！

我這樣寫不知道能不能解決你的疑惑。。。

當你選擇u=u(x, y)時，本質上z是z(x, y)。

這個時候 $[dz=frac{partial z}{partial x}dx+frac{partial z}{partial y}dy]$

所以當 $[dy = 0]$ 時， $[frac{ partial z }{ partial x } = frac{dz}{dx}]$ 。

而另一方面由於 $[f = f (u,x,y)]$ 並且 $[z = f]$

所以 $[dz = df = frac{ partial f }{ partial u }du + frac{ partial f }{ partial x }dx + frac{ partial f }{ partial y }dy]$

同樣的，由於 $[u=u(x,y)]$

所以 $[du = frac{ partial u }{ partial x }dx + frac{ partial u }{ partial y }dy]$

所以 $[dz = frac{ partial f }{ partial u }(frac{ partial u }{ partial x }dx + frac{ partial u }{ partial y }dy) + frac{ partial f }{ partial x }dx+ frac{ partial f }{ partial y }dy]$

最後這個式子里的 $[ frac{partial f}{partial u} ]$ 、 $[ frac{partial f}{partial x} ]$ 、 $[ frac{partial f}{partial y} ]$ 就是 $[f]$ 分別對第一、第二、第三個未知數求偏導得到的式子。

所以當 $[dy=0]$ 時， $[frac{ partial z }{ partial x } = frac{dz}{dx}=frac{df}{dx}=frac{ partial f }{ partial u }cdotfrac{ partial u }{ partial x }+frac{ partial f }{ partial x }]$ 。