為什麼尺規不能三等分一個任意角？

01-18

啊，我小時候也曾為三等分角而磨禿無數支鉛筆……故事最後再說，我先回答問題。

『三等分角』是古希臘三大尺規作圖難題之一，具體表述為：用只用圓規與一把沒有刻度的直尺，將任意給定角三等分。

比如，如果給定的是直角，那麼下圖就是一種三等分的辦法（圖片來自網路）：

但可以看出，這個方法只對直角有效。

那麼是否存在可以三等分任意角的方法呢？這個看起來並不複雜的問題困擾了數學家們兩千多年，直到十九世紀才被證明是無解的。

接下來我試著解釋一下為什麼這是無解的。同樣地，這只是小小的『科普』。為了可讀性，我會犧牲一些嚴謹性。想要徹底理解，還是得看教材。

我先說一下證明的思路（採用引用格式以方便閱讀）：

假設存在三等分任意角的方法。
由於我們可以用尺規作出60°角，那麼我們就可以通過三等分60°角而作出20°角。
如果作出了20°角，那麼我們就可以作出長度為cos 20°的線段。

然而，尺規無法作出長度為cos 20°的線段，所以不存在三等分任意角的方法。

就是這樣。

我們一步步看：作60°角很簡單，作一個正三角形即可，如下圖（圖片來自網路）：

在有了20°角的基礎上，作出長度為cos 20°的線段也很簡單，只需要在一條邊上與頂點距離為1的位置作另一條邊的垂線段即可，如下圖：

（如何過一點作垂線？這個不難，留作練習）

所以難點在於，如何證明『尺規無法作出長度為cos 20°的線段』。

（從解析幾何的角度來看，『可以作出(c, 0)點』與『可以作出一條長度為|c|的線段』是等價的，所以我接下來可能會交替使用這兩種表述。）

為什麼作不出來呢？

因為尺規作圖只能作出有理數域 $mathbb{Q}$ 上次數為2的冪的數，而cos 20°在 $mathbb{Q}$ 上的次數為3.

說人話！！！

好吧好吧，我會解釋的。在這之前，我們不妨先把問題反過來問：尺規作圖能作出什麼來呢？

基本的操作如下：

1. 過給定兩點作直線；
2. 在給定點以給定半徑作圓；

3. 確定直線與直線的交點；
4. 確定直線與圓的交點；
5. 確定圓與圓的交點。

基本操作有這五種。注意到，當我們確定了原點、坐標軸與單位長度之後，所有新的點只能通過後三種操作的方式被確定。

由於我們可以過一點作垂線，所以平面上所有的整點（即橫坐標與縱坐標都是整數）都是可構作的；也就是說，我們可以作出所有的整數。

此外，尺規可以作加、減、乘、除以及開平方根這五種操作。

加、減是很顯然的；乘法可以通過相似三角形來完成，如下圖：

除法類似；開平方根同樣是通過相似三角形來完成：

所以，既然整數都是可構作的，又可以加減乘除，那麼所有的有理數都是可構作的。

而『開平方根』這個操作略特殊，為了更好地解釋，我們需要引進一個新的概念：

域。

域的定義很冗長，不嚴謹地概括一下的話，域就是一個對加、減、乘、除都封閉的集合。

什麼意思呢？就是說，對於一個域中的數字，無論你怎麼用加減乘除去蹂躪它們，它們依然還是在這個域里。

舉個例子，所有的有理數構成了有理數域 $mathbb{Q}$ ，因為任意兩個有理數做加減乘除之後依然是有理數。

除此之外常見的域還有實數域 $mathbb{R}$ 、複數域 $mathbb{C}$ 等等。

而整數集合 $mathbb{Z}$ 就不是域，因為一個整數除以另一個整數，得到的商不一定是整數。

有了『域』這個概念之後，我們再來看尺規作圖：由於我們已經知道所有的有理數都是可構作的，所以如果我們只做加減乘除操作，我們還是只能得到有理數，還是在有理數域 $mathbb{Q}$ 內。

而『開平方根』這個操作就不一樣了——它可以讓我們離開有理數域 $mathbb{Q}$ . 比如我們對2開平方根，可以得到 $sqrt{2}$ ，而 $sqrt{2}$ 就不屬於有理數域 $mathbb{Q}$ .

當我們在 $mathbb{Q}$ 的基礎上多了 $sqrt{2}$ 之後，我們可以通過加減乘除得到所有形如 $a+bsqrt{2}$ 的數（ $a,b$ 在 $mathbb{Q}$ 內，即為有理數）。

可以驗證，所有形如 $a+bsqrt{2}$ 的數構成了一個新的域。這個域是包含 $mathbb{Q}$ 和 $sqrt{2}$ 的最小的域，我們記作 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ .

所以，『對2開平方根』的操作的本質是『域的擴張』——把 $mathbb{Q}$ 擴張為 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ .

這個操作可以繼續下去——對 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 中的3開平方根，得到 $sqrt{3}$ ，而 $sqrt{3}$ 不在 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 內。於是，通過通過加減乘除，就可以得到包含 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 和 $sqrt{3}$ 的最小的域，記作 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})$ .

我們把這樣的『新加入了一個數而得到的擴張』叫作『單擴張』。

當然，我們可以通過同時向 $mathbb{Q}$ 中加 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{3}$ ，得到包含它們的最小的域 $mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ . 顯然， $mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ 與 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})$ 是相等的。

但是，並不是每一次開平方根都會讓我們得到更大的數域，比如對9開平方根，得到3，而3仍然屬於 $mathbb{Q}$ . 所以 $mathbb{Q}(sqrt{9})=mathbb{Q}$ .

為了衡量擴張的大小，我們引進『擴張的維數』這個概念。

學過線性代數的同學對此一定不陌生，『維數』就是一組基的大小。對於沒學過線代的同學，我來稍微解釋一下：

$mathbb{Q}$ 到 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 的擴張是二維的，為什麼呢？

因為我們可以從 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 中取出兩個數 $1,sqrt{2}$ ，使得 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 中的每一個數都可以被唯一表示成 $acdot1+bcdotsqrt{2}$ 的形式，其中 $a,b$ 在 $mathbb{Q}$ 內。

我們把這個維數記作 $[mathbb{Q}(sqrt{2}):mathbb{Q}]=2$ .

那麼 $mathbb{Q}$ 直接到 $mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ 的擴張是幾維的呢？四維，即 $[mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3}):mathbb{Q}]=4$ . 為什麼呢？

因為我們可以從 $mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ 中取出四個數 $1,sqrt{2},sqrt{3},sqrt{6}$ ，使得 $mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ 中的每一個數都可以被唯一表示成 $acdot1+bcdotsqrt{2}+ccdotsqrt{3}+dcdotsqrt{6}$ 的形式，其中 $a,b,c,d$ 在 $mathbb{Q}$ 內。

同樣地， $[mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3}):mathbb{Q}(sqrt{2})]=2$ ，為什麼呢？

因為我們可以從 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})$ 中取出兩個數 $1,sqrt{3}$ ，使得 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})$ 中的每一個數都可以被唯一表示成 $acdot1+bcdotsqrt{3}$ 的形式，其中 $a,b$ 在 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 內。

注意，這時 $a,b$ 在 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 內而不是在 $mathbb{Q}$ 內，因為我們是從 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 擴張到 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})$ 的！

由於 $mathbb{Q}(sqrt{2})(sqrt{3})=mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})$ ，我們可以驗證一下：

$acdot1+bcdotsqrt{2}+ccdotsqrt{3}+dcdotsqrt{6}=(a+bsqrt{2})cdot1+(c+dsqrt{2})cdot sqrt{3}$ .

從這個例子中，我們可以看出，維數是相乘的關係：『從域A擴張域B的維數』乘『從域B擴張域C的維數』等於『從域A擴張域C的維數』；也就是說， $[B:A][C:B]=[C:A]$ .

而由於 $mathbb{Q}(sqrt{9})=mathbb{Q}$ ，所以 $[mathbb{Q}(sqrt{9}):mathbb{Q}]=[mathbb{Q}:mathbb{Q}]=1$ .

與『維數』密不可分的概念是『次數』。

『維數』是對於『擴張』而言的，而『次數』是對於『新加入的數』而言的。什麼意思呢？就是說， $[mathbb{Q}(sqrt{2}):mathbb{Q}]=2$ ，那麼 $sqrt{2}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的次數為2.

我們使用『次數』這個詞，是因為 $sqrt{2}$ 是 $mathbb{Q}$ 上的多項式 $x^2-2$ 的根，而這個多項式的次數是2；同時， $sqrt{2}$ 不是任何 $mathbb{Q}$ 上次數小於2的多項式的根。 $x^2-2$ 叫作 $sqrt{2}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的『極小多項式』。

同樣地，原本的域中每一個數的次數都是1.

我們可以證明，對於單擴張來說，擴張的維數等於新加入的數的次數。

好了！關於維數和次數，需要知道的就是這麼多！接下來讓我們回到尺規作圖！

之前說過，我們得到新的點的方式只有三種：直線與直線的交點、直線與圓的交點、圓與圓的交點。新得到的點，有可能在已有的域當中（維數與次數均為1），也有可能在已有的域之外（維數與次數均大於1）。

高中學的解析幾何告訴我們，圓的一般方程是 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ，直線的一般方程是 $dx+ey+f=0$ ；而求交點的坐標就是把兩個方程聯立起來，此時得到了一個一元二次方程。

而一元二次方程的求根公式是 $frac{-Bpm sqrt{B^2-4AC}}{2A}$ ；於是，交點相當於是往原本的域當中加了 $sqrt{B^2-4AC}$ 這個數。

根據之前的討論，如果 $sqrt{B^2-4AC}$ 在原來的域內，那麼這就是一個一維擴張；如果 $sqrt{B^2-4AC}$ 不在原來的域內，那麼這就是一個二維擴張（因為 $B^2-4AC$ 一定在原來的域內）。

也就是說，每次得到新的交點，我們都是在之前的域的基礎上做了一維或者二維的擴張。

又因為擴張的維數可以相乘，那麼每一次擴張出的域對於最初的域 $mathbb{Q}$ 來說，維數都是2的冪。

對於任意可構作的數 $c$ 來說，我們既然在有限步數 $n$ 之內得到了它，那麼 $mathbb{Q}(c)$ 一定是在 $mathbb{Q}$ 與 $mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n)$ 之間。

由於 $[mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n):mathbb{Q}]=[mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n):mathbb{Q}(c)][mathbb{Q}(c):mathbb{Q}]$ 是2的冪，所以 $[mathbb{Q}(c):mathbb{Q}]$ 一定是2的冪，所以 $c$ 的次數一定是2的冪。

也就是說，我們所有能構作出的數在 $mathbb{Q}$ 上的次數一定是2的冪。

那麼cos 20°在 $mathbb{Q}$ 上的次數是多少呢？

由於 $cos(3alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha$ ；當 $alpha=20^{circ}$ 時， $cos(3alpha)=cos 60^{circ}=frac{1}{2}$ .

所以，cos 20°是方程 $frac{1}{2} =4x^3-3x$ 即 $8x^3-6x-1=0$ 的解，而 $8x^3-6x-1$ 是 $mathbb{Q}$ 上的不可約多項式（即不能被分解為次數更小的多項式的乘積），所以 $8x^3-6x-1$ 是cos 20°的極小多項式，所以cos 20°在 $mathbb{Q}$ 上的次數是3，不是2的冪。

所以尺規作圖是作不出cos 20°的。

所以我們沒法三等分60°角。

所以尺規三等分任意角是無解的。

證畢。

===============補充說明===============

評論里有不少人問『長度為1』的線段怎麼作出來。

可能是我沒有表述清楚，所以在此補充一下：

長度為1的線段不是『作』出來的，而是最開始『規定』的。

只有確定了『原點』、『坐標軸』和『單位長度』之後，我們才能確定一個坐標系。

所以，尺規作圖的最開始，沒有任何點參照，我們可以任意取一個點作為原點，接著以該點為圓心，任選一個半徑畫圓，並把這個半徑的長度規定為單位長度『1』。

而當單位長度已經規定好之後，我們就不能『任意取點』或者『任意選半徑』了，否則我們就不知道該點或該半徑在已建立好的坐標系中的位置或長度，那麼這個任意的選擇就沒有意義了。

===============以下是一些題外話===============

除了『三等分角』外，另外兩道題是『倍立方體』，即用尺規作出體積兩倍於給定立方體的立方體，和『化圓為方』，即用尺規作出與給定圓面積相等的正方形。

這兩道題也都是無解的。

『倍立方體』問題等價於作出 $sqrt[3]{2}$ ，而 $x^3-2$ 是 $mathbb{Q}$ 上的不可約多項式，所以 $sqrt[3]{2}$ 的次數為3，不是2的冪。所以『倍立方體』是無解的。

哇！秒殺哎！

嗯，確實秒殺。我們現在對『三等分角』與『倍立方體』不可解性的證明屬於『伽羅瓦理論』的領域（雖然不是核心領域）。1830年，該理論由法國數學家伽羅瓦於18歲（！！！）創立。

不過這兩個問題的正式證明是由法國數學家汪策爾於1837年給出的，因為伽羅瓦創立這個理論是為了解決『五次方程不存在根式解』的問題……而且伽羅瓦在1832年就死了。20歲。死於決鬥。

『化圓為方』呢？

『化圓為方』問題等價於作出 $sqrt{pi}$ ，而 $pi$ （和 $sqrt{pi}$ ）甚至都不是 $mathbb{Q}$ 上任何多項式的根，所以『化圓為方』是無解的。

哇！秒殺哎！不過為什麼 $pi$ 不是 $mathbb{Q}$ 上任何多項式的根？

這有點麻煩，也是光用伽羅瓦理論還不夠的原因。 $pi$ 的超越性是德國數學家林德曼於1882年證明的。到此為止，困擾數學家們兩千多年的古希臘三大尺規作圖難題都有了答案。

當然，這三大難題依然困擾著今天的民科們。

===============以下是故事時間===============

正如我在最開始所說的，我小時候也曾為三等分角而磨禿無數支鉛筆……

大概是小學三年級的時候，我讀了一本數學科普書：《特別要命的數學》（我超喜歡這本！！！）。

這本書中有一個章節叫《如何能流芳百世》：

首先先介紹了一些尺規作圖的簡單問題，比如作等邊三角形、作正方形等等，最後是平分任意角。

接著，就是流芳百世的方法——解決『三等分角』問題：

以及，『化圓為方』：

由於把任意角平分非常簡單，而『三等分角』看起來與其差別不大，於是我隨即就找來了鉛筆、直尺、圓規和白紙，開始試著解決『三等分角』問題……

我記不得到底為此花了多長時間，但半個月肯定是有的，每天晚上就畫呀畫……最後自然是沒能成功……不過也並非一無所獲，至少我歪打正著作出了正五邊形……

後來初中的數學課上講到了尺規作圖，對我來說就像見到了老朋友一樣。初三有很長一段時間我的數學課都是在與朋友一起研究『銹規作圖』與『尺圓作圖』這兩個尺規作圖的推廣問題中度過的。

現在，坐在十年前曾嘗試三等分角的房間里，寫下了這篇關於『三等分角不可解性』的回答，想想真是有些感慨。至少自己這十年還是學到了一點點東西的，雖然只是一點點。

看著手邊的代數課本中伽羅瓦的名字——

流芳百世。

這個問題跟為什麼五次方程沒有根式解有著相同的數學基礎，不過這個問題要簡單些，所以也許能用一個回答概括一下。不過我自己覺得真正要弄清楚，還是離不開抽象代數的基礎。

首先，表面上這是個幾何問題，但是解答的方法其實是很代數的。上面很多人都提到了兩次多項式，三次多項式。確實關鍵點確實是這些，不過總覺得少了點什麼。

幾何問題代數化。假設單位長度為1，那麼尺規作圖問題可以簡化為作出各種可能長度的問題。然後尺規作圖能夠表達的長度其實構成一個代數結構。

1. 你能作出 $a$

2. 你能作出 $frac{a}{2}$

3. 你能做出 $sqrt{a}$

...

那麼到底什麼樣子的數能用尺規做出呢？從幾何的角度很難窮盡。不過代數角度就很直觀了

所謂圓就是： $(x-a)^{2} + (y-b)^2 = c^2$

所謂直線就是： $mx+ny+o=0$

所謂能作出什麼樣的數: 也就是這兩個式子在各種情況下的交點。這也就是前面很多答案說的為什麼長度只能是二次根號。

而三等分角所對應的數或者度量為什麼是三次的呢。還是幾何對應代數。三等分角肯定能表示這樣的數 $sin(3 heta) =3sin( heta)-4sin^3( heta)$ 用倍角公式展開一般意義上是三次多項式。

這裡補充了下上面答案說的二次多項式三次多項式的來源。

很顯然我這裡寫的也不是嚴格意義的證明，這也是我說的為什麼需要些抽象代數的基礎。

尺規作圖僅僅在有限次操作的限制下不能三等分任意角。

如果允許無窮此操作，那麼可以根據1/3＝1/2－1/4＋1/8－1/16……一直二等分做下去即可。

二維解法，希望各位幫我想一想怎麼證明。。

圖就在上面了，畫了幾次的確是三等分線（當然也有可能是因為誤差。。但我已經畫了三個不同的角了啊）

當然我還沒有證明出來他為什麼是三等分線，剛出來我就發上來了。

大家可以試一試，如果我錯了麻煩指正出來，謝謝最後說一句，我才初中，並沒有淵博的知識，所以如果有反駁的麻煩把我當成智障，說一些我能聽懂的話，謝謝2333

附，上一小節證明的定理

可以逐漸逼近

$frac{1}{3}=sum_{i=1}^{infty}{frac{1}{4^i}}$

尺規作圖，主要運用的使用的中垂線平分原理，即二分法。用尺規我們可以作60°和90°角，90-60=30，恰60°的一半，我們還可以作出K=30°除以2^n的角。另外我們還可以用尺規畫出一些特殊的規則圖形，比如正五邊形，所以也可以作出54°，72°等角。

整數度的角我們通過尺規可以作出（3n）°，

所以，一個整數度數的角，如果不是9的倍數，就不可能用尺規實現三等分。

所以，應該說，給出任意不知道角度的角，僅使用尺規作圖，我們是無法三等分的。

不問是不是就問為什麼！

1，先以該角的兩邊為邊做任意扇形；

2，把這個扇形剪下來；

3，把這個扇形兩邊重疊彎成圓錐體；

4，三等分這個圓錐體的底面圓；

5，展開這個圓錐體；

6，連接扇形頂點和三等分點；

7，三等分了這個角。

看到這個問題真是甚感親切啊，小學時曾借到本數學詞典，才知道了很多數學歷史名題，這是尺規做圖不能問題，最高票答案算很詳盡了，反正我也想不起來了，簡單補充幾句，從尺規做圖的定義出發，可以很容易排除錯誤做法，有限次的使用尺規做圖和那幾條尺規做圖公法，但凡聲稱解決了的，據此都經不住推敲的。

做具體事之前還是得先明確標準的，不然根本就不在一個頻道上。無限遞進式的做圖無法準確重複做圖過程，不可取，尺規做圖還是很有趣的，限定條件激發一下解決問題的能力，簡單的畫個五角星，複雜的就向高斯靠攏一下，畫畫正十七邊形什麼的。

放到三維可以直接解決吧？

先以待等分角做扇形，將扇形彎曲成圓錐立於平面，底部為圓，三等分圓即三等分角。

因為2^n與3^m在零點之後，沒有再相等過

描述有誤。是不能三等分任意角：90度很好分

題主還是要在學習一個啊

我上高中的時候，有個同學號稱作出了三等分角，整天纏著級部主任讓保送清華，級部主任總是一臉嫌棄，當然這孩子最終沒保送清華。

為了避免造成不必要的誤解，事先說明，尺規作圖不能三等分任意角確定無疑。

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正文前先做道數學題熱下身如何？

古希臘數學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN於A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=1/3∠MCN．這種方法由於在直尺上作了一個記號，不符合尺規作圖中直尺只能用來連線的規定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規作圖．