數學上有哪些醜陋的公式？

01-18

關於丑沒有嚴格的界定。

謝邀。建議在3840*2160以上解析度下觀看此公式。

四次方程

edit：

一元四次方程 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,a e0$ 的求根公式：

$x_1=-frac{b}{4a}+frac{1}{2} sqrt{frac{b^2}{4a^2}-frac{2c}{3a}+frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}+frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}{3sqrt[3]{2}a}}-$

$frac{1}{2} sqrt{frac{b^2}{2a^2}-frac{4c}{3a}-frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}-frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}{3sqrt[3]{2}a}+frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3sqrt{frac{b^2}{4a^2}-frac{2c}{3a}+frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}+frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}} {3sqrt[3]{2}a}}}}$

${x_2=-frac{b}{4a}+frac{1}{2} sqrt{frac{b^2}{4a^2}-frac{2c}{3a}+frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}+frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}{3sqrt[3]{2}a}}+}$

${x_3=-frac{b}{4a}-frac{1}{2} sqrt{frac{b^2}{4a^2}-frac{2c}{3a}+frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}+frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}{3sqrt[3]{2}a}}-}$

${x_4=-frac{b}{4a}-frac{1}{2} sqrt{frac{b^2}{4a^2}-frac{2c}{3a}+frac{sqrt[3]{2}left(c^2-3bd+12ae ight)}{3asqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}+frac{sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+sqrt{-4left(c^2-3bd+12ae ight)^3+left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace ight)^2}}}{3sqrt[3]{2}a}}+}$

彩蛋：

編輯公式的時候知乎都看不下去了……

以 $p_{n}$ 表示第 $n$ 個素數。則

$p_{n}=2+sum_{m=2}^{2^{n}}leftlfloorleft(frac{n}{displaystyle 1+sum_{j=2}^{m}leftlfloorcos^{2}frac{((j-1)!+1)pi}{j} ight floor} ight)^{1/n} ight floor$

然而並沒有什麼卵用

Jones, Sato, Wada,Wiens 在1976年提出了一個包含26個變數的多項式（論文見maa.org 的頁面），它的所有正整數值構成了所有的素數，也即 $P(mathbb{N}^{26}) cap mathbb{N} = mathbb{P}$ 。

$egin{split} P(a, b, ldots, z) = (k + 2)[1 - \ (w z + h + j - q) ^ 2 - \ ((g k + 2 g + k + 1) (h + j) + h - z) ^ 2 - \ (2 n + p + q + z - e) ^ 2 - \ (16 (k + 1) ^ 3 (k + 2) (n + 1) ^ 2 + 1 - f ^ 2) ^ 2 - \ (e ^ 3 (e + 2) (a + 1) ^ 2 + 1 - o ^ 2) ^ 2 - \ ((a ^ 2 - 1) y ^ 2 + 1 - x ^ 2) ^ 2 - \ (16 r ^ 2 y ^ 4 (a ^ 2 - 1) + 1 - u ^ 2) ^ 2 - \ (((a + u ^ 2 (u ^ 2 - a)) ^ 2 - 1) (n + 4 d y) ^ 2 + 1 - (x + c u) ^ 2) ^ 2 - \ (n + l + v - y) ^ 2 - \ ((a ^ 2 - 1) l ^ 2 + 1 - m ^ 2) ^ 2 - \ (a i + k + 1 - l - i) ^ 2 - \ (p + l (a - n - 1) + b (2 a n + 2 a - n ^ 2 - 2 n - 2) - m) ^ 2 - \ (q + y (a - p - 1) + s (2 a p + 2 a - p ^ 2 - 2 p - 2) - x) ^ 2 - \ (z + p l (a - p) + t (2 a p - p ^ 2 - 1) - p m) ^ 2] end{split}$

更新：

重新輸入了公式，然後注意到中括弧裡面是1減去14個完全平方項，也就是當14個完全平方項都為零的時候，多項式的值才會大於零，從而為素數。

根據維基百科（Formula for primes），這個公式其實可以看作是用14個丟番圖方程來限制變數k，方程組的解使得k+2為素數。

嘗試寫個程序驗證一下這個公式 https://gist.github.com/bigeast/cc89c8efd9b791440f9d，結果發現幾乎所有的值都是負數。因此通過它來尋找或者驗證素數都是不實際的。

更新0527：

普通人認為的丑，應該是不需要數學的專業知識也能很快理解公式中的符號，只是不能快速從中找出規律然後記住。如果包含了太多的專業符號，甚至連「丑」也無從談起了。

Srinivasa Ramanujan 發現的許多公式就基本上只包含整數之間的初等運算，但又讓人很難快速記住，例如：

這種包含著「隨機」數字的公式在我看來一點也不妙，但從這些數字竟然能得到 $pi$ 簡直讓人想不到！

Ramanujan還有好多類似的包含「隨機數字」的與無窮級數、連分數有關的公式，有興趣不妨去開開眼界。

但哈代發現了這些看似醜陋的公式背後隱藏的數學真理，為這些公式尋找別的數學家能夠看得懂的證明（所以天知道Ramanujan是怎麼想出這些公式的），於是造就了數學史上的一段佳話。

所以普通人認為「丑」的公式，在數學家看來卻別有一番風情呢。

$langle j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm angle = delta_{m,m_1+m_2} sqrt{frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)! }{(j_1+j_2+j+1)!}} \ imes sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\ imes sum_k frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}$

SO(3) 和 SU(2) 的 C-G 係數...

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其實我只是剛考完群論來發泄一下...

標準映射方程

這是一種非線性迭代方程,其公式為:

x"=mod(x + y, PI*2.0)

y"=mod(y - a*sin(x + y), PI*2.0)

迭代上千萬次後,得到的所有(x,y)坐標可以生成一幅圖像.

其中mod為求余函數,PI為圓周率.a為參數,不同的a值會生成不同的圖像.如:

(1)a=1.0

(2)a=2.336897

(3)a=-1.137700

好醜的圖像,當我看到它們時,想起聞一多的一首詩&<死水&>

這是一溝絕望的死水，
清風吹不起半點漪淪。
不如多仍些破銅爛鐵，
爽性潑你的剩菜殘羹。
也許銅的要綠成翡翠，

鐵罐上綉出幾瓣桃花。
再讓油膩織一層羅綺，
黴菌給他蒸出雲霞。
讓死水酵成一溝綠酒，
飄滿了珍珠似的白沫；
小珠們笑聲變成大珠，
又被偷酒的花蚊咬破。
那麼一溝絕望的死水，
也就跨得上幾分鮮明。
如果青蛙耐不住寂寞，

又算死水叫出了歌聲。
這是一溝絕望的死水，
這裡斷不是美的所在，
不如讓給醜惡來開墾，
看他造出個什麼世界。

修改下這種方程

x=mod(x + a*sin(y),2*PI)

y=mod(y + x,2*PI)

生成了如下圖像:

(4)a=-2.306998

(5)a=-2.312299

(6)第二種修改,添加隨機擾動

t=mod(x + y, PI*2.0)

y=mod(y - a*sin(x + y), PI*2.0)

x=t+rand2(-r,r)

其中rand2(a,b)是一個函數用於隨機生成一個在a到b之間的實數

a=1.003500,r=0.001000

(7)第三種修改

x=x + a*sin(y)

y=y + x + rand2(-r,r)

a=-0.509599

r=0.001000

PS:

生成圖像的軟體見:YChaos生成混沌圖像

還有:數學史上你認為最醜陋的公式是什麼？ - 葉飛影的回答

不是很懂你們物理

@張藝瀚提醒有擴寫版

個人覺得pompeiu公式雖然丑算不上，但至少不算美。

可是一旦她找到the one，立刻變成Cauthy積分公式，一下子美翻了好么？果然女為悅己者容啊！

是時候來個微分幾何里的公式了！！！

設曲面 $S:ar{r} =ar{r} (u^{1},u^{2} )$ 是 $E^{3}$ 中的光滑曲面（符號上面不方便寫箭頭，我用橫杠表示向量了），則有曲面在自然標架下的運功方程：

$frac{partial ar{r} }{partial u^{i} } =ar{r_{i}}$

$frac{partial ar{r_{i}} }{partial u^{j} } =Gamma _{ij}^{k}ar{r_{k}} +h_{ij}ar{n}$

$frac{partial ar{n} }{partial u^{i} } =-h_{ik} g^{kj} ar{r_{j} }$

其中 $ar{n}$ 為法向量， $(g_{ij} )$ 、 $(h_{ij} )$ 分別為曲面第一、第二基本形式係數矩陣， $(g^{ij}) =(g_{ij} )^{-1}$

$Gamma _{ij}^{k}=frac{1}{2} g^{kl}(frac{partial g_{jl} }{partial u^{i} }+ frac{partial g_{il} }{partial u^{j} }-frac{partial g_{ij} }{partial u^{l} })$ 是第二類Christoffel符號。

引入黎曼曲率張量 $R_{mijk} =g_{ml} (frac{partial Gamma _{ij}^{l}}{partial u^{k} } -frac{partial Gamma _{ik}^{l}}{partial u^{j} }+ Gamma _{ij}^{p}Gamma _{pk}^{l}}{-Gamma _{ik}^{p}}{Gamma _{pj}^{l} )$

$R_{1212} =h_{12}^{2} -h_{11}h_{22}$ （Gauss方程）

$frac{partial h_{11} }{partial u^{2} } -frac{partial h_{12} }{partial u^{1} } =Gamma _{12}^{l} h_{l1} -Gamma _{11}^{l} h_{l2}$

$frac{partial h_{21} }{partial u^{2} } -frac{partial h_{22} }{partial u^{1} } =Gamma _{22}^{l} h_{l1} -Gamma _{21}^{l} h_{l2}$ （Codazzi方程）

覺得這幾個公式很奇怪並且不長不噁心是吧，我是不會告訴你它裡面用了愛因斯坦求和約定（兩個相同指標就表示求和），有興趣可以吧每個式子展開寫一寫（手動微笑）！

初學者一枚，搞微分幾何的勿噴

個人覺得拉馬努金提出的大部分公式都挺丑的(｀_ゝ′)

老實說，當你學不懂一個公式的時候，你還能通過諸如形狀之類的來判斷美醜

當你學懂了，就只有有用沒用了，誰還關心美醜

題主可以去找一本書，叫錯誤矩陣方程，看完你會來點贊的

氫原子穩態通解？

https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral

海倫公式的中國版，就是沒化簡的海倫公式！

各種分布的密度公式.

考試根本記不住.

自己論文里推導出來的那些公式，看起來都丑爆了。

你可以認為龐大繁瑣的都是醜陋的。比如說三次方程求根公式。

恕我直言，哪個公式不是醜陋的？

如果一定要有幾個最醜陋的，我一定不會放過各種奇形怪狀的Kasteleyn matrix，參見普林斯頓大學Daniel R. Gulotta拿PhD的一篇好文AdS/CFT in String Theory and M-Theory，裡面用Kasteleyn matrix表示弦論中的一個演算法的 zigzag path diagram，截圖如下：

。。。。。。

雖然用起來不算很難，但看看嚇死外行。。。

珍惜吧，能用公式顯示錶示的都是美的，等你到高等，沒有公式的日子會多的去。。。。

口訣表

我以為我上面的答案都是頭被按在鍵盤上滾出來的亂碼！！！！結果真是數學公式啊！！！真是啊！！！

所有的，都。

都很醜

因為他們老是為難我