有哪些在你的數學領域裡很有用的技巧？

01-18

偶然在一個小paper上看到一個簡單新奇的技巧，叫Real Induction。Paper名字叫THE INSTRUCTOR』S GUIDE TO REAL INDUCTION，這個方法在證明實閉區間緊有特別的straight-forward的感覺。但是這樣的技巧卻沒有在任何經典的教材中提及過。於是我假定(也希望)能有更多這樣的鮮為人知卻在一個領域的小範圍里簡化問題的技巧，或者對於一個不平凡結果的一個新奇證明，因此特來請教一下各位。

謝邀。

我學的數學領域是微分幾何，我下面說的那些東西還是需要黎曼幾何的基礎才能看懂的。主要是我學的這個小方向（正曲率）會用的一些trick。

Thorpe"s trick：假設一個流形M帶positive sectional curvature，那麼存在一個4 form w,使得把w和M的curvature tensor加起來以後，得到的那個 $wedge^2(TM)$ 到 $wedge^2(TM)$ 的operator是positve definite的。（註：curvature operator being positive是個比positive sectional curvature強的條件（我一開始也沒想明白，老闆指點了一句話以後茅塞頓開，所以我也讓大家先想想這兩個條件的區別在哪哈哈）。用Ricci flow的方法可以證明帶positive curvature operator 的流形一定是spherical space form。這個技巧是說如果假定positive sectional curvature，那麼可以修改一個curvature operator，使得它變成正定的。我老師說這個技巧特別有用，雖然我現在還沒怎麼用過。。）

Toponogov comparison:就是曲率有下界的時候，有一些對測地三角形的邊邊角角的比較。特別地，正截面曲率空間中的測地三角形的內角和嚴格大於 $pi$ .這個事實很有用，可以用在，比如說「帶對稱性的正曲率流形的分類」。

q-extent：給定一個度量空間X , 所謂的q－extent是指：在X里取q個點，求出它們兩兩之間距離之和，然後讓q個點變動，求距離之和的最大值，就是所謂的q-extent。q=2的時候就是直徑。通過這計算這個量，然後和上面的Toponogov comparison結合起來，可以證明，比如說，Hsiang-Kleiner theorem。我現在也在沿著這個思路試圖分類更高維的正曲率流形。

Frenkel theorem：一個正截面曲率流形維數為n，兩個完備的全測地子流形維數分k1,k2.如果k1+k2&>=n，那麼這兩個子流形一定相交。這個定理一般是用來反證，也就是假設要證的東西不成立，據此構造兩個全測地子流形且不滿足條件，得出矛盾。全測地子流形怎麼構造呢？一種常見的做法是取 fixed point set of isometries.

Soul theorem：soul theorem在揭示正／非負曲率流形的結構方面有很大的威力。它本質上反映了距離函數的凸性（convexity of distance function）。我現在感興趣的是Alexandrov space/orbit space上的Soul theorem，因為我上面提到了群作用，我現在要考慮群作用的商空間M/G，對M/G應用Soul theorem，可以探測M/G的拓撲結構，從而反過來探測M本身的拓撲結構，以及群作用的信息。

然後還有一些表示論的東西。因為要考慮群作用，所以李群的表示，作為流形上的群作用的「線性化」，也就成為研究局部作用方式的基本工具。基本的結論，比如SO(3)的不可約實表示出現在奇數維，每個奇數維各有一個，以及具體的作用方式，都是很有用的結論。

上面說的是正曲率裡面用的比較多的一些技巧。現在再補充一個一般情形下的微分幾何里的技巧：Bochner type technique.這個東西太有名了，不過我了解得不多，夏銘辰好像學得比較多，可以問問他。

最後說點自己的感想：PhD讀了3年，發現自己還是更適合做具體的（而不是抽象的）數學。。抽象的數學，比如代數幾何啊，雖然結論看起來很高深，很強大，但是畢竟看不懂學不會啊。。我現在還是喜歡用一些比較「古典」的、比較幾何的、「看得見」的東西去做數學，這樣我才感覺自己做得動。幾何分析那套東西么，可能也會用到吧，但是玩估計玩不等式，大概也不是我的菜。。

謝邀：我的領域是泛函分析和偏微分方程，我盡量講得簡單點，也選擇一些常用的技巧吧。學偏微分方程應該都知道我下面說的幾個思路。

density argument: 我理解的有狹義和廣義兩種。狹義的來說吧，就是一個有界運算元的如果可以定義在稠密子集上，它就能唯一地延拓成連續運算元。在pde中邊界運算元trace幾乎無一例外都是通過這個方法定義出來的。除了一般的 $W^{k,p}$ 上的trace，也包括 H(div),H(curl)這種用在流體力學和電磁波方程上空間的例空間。廣義的density argument是指「要證明一個命題對於任意 $xin X$ 成立」，我們選擇一個恰當的「稠密子集 $D$ 」,然後證明 $xin D$ 時候這個命題成立。比如，證明黎曼引理的時候，我們假設函數是光滑而且帶有緊支集。那麼這個命題就是一句話證明完畢。

(Lions)-Lax-Milgram 定理／Riesz represenation：解決很大一類希爾伯特空間上存在性問題的一個思路。比如把 $Au=f$ 方程等價於證明一類「泛函」的存在性，而且直接和弱解相對應。本質上是說明 $H=H^*$ ，也就是希爾伯特空間和其對偶空間的某種等價性。

fixed-point argument：不動點技巧。就是碰到一個存在性問題的時候，構造恰當的空間和運算元，把「一個東西的存在性」它轉化成等價的不動點問題。這個技巧學過泛函分析的應該都知道，實際上，這個技巧依然是很多最新論文還在用的思路。當然了，所用的不動點定理不是壓縮映像那麼簡單了。有興趣的可以去我的文章看一看（I）Banach空間和不動點定理 2 : 不動點定理和鐘擺問題

priori estimate: 先驗估計導出存在性。這是很神奇的想法：如果一列方程 $A_t$ (tin(0,1])有解必然導出某種估計，那麼方程 $A_0$ 就確實有解。有兩個比較出名的定理：method of continuity:

一個是Leray-Schauder原理，這個原理適宜用於緊運算元。具體的可以參考我的回答：

偏微分方程為什麼要先先驗估計再求解的存在性，先驗估計有什麼用？ - 知乎

Galerkin method: 這裡的Galerkin不指代具體的某種方法，而是一種基本的思路，偏微分方程可以等價於解決無限維空間 $X$ 的方程 $Au=f$ ，我們不直接解決干它，而是選擇一列有限維空間 $X_n$ 上的簡單方程 $A_nx_n=f_n$ ，然後我們證明這個方程的解在某個拓撲下收斂到 $x$ .這個思路也和「有限元」計算相關。

調和分析中的二進分解，揭示了各類空間中的正交性。無數次我搞不定的問題都被二進分解輕鬆剿滅，雖然我學了這玩意七八年了，但仍然不敢說使用熟練了。

另外提一個跟問題相關的有意思的技巧，叫polynomial method，背後的想法簡單到髮指，就是多項式的零點個數不會多於多項式的次數。據說CS的人經常用，後來被 Dvir拿來解決了有限域上的Kakeya猜想，要知道在此之前Wolff, Bourgain, Tao這些天才級的人物都沒有真正撼動這個問題。最近幾年這個方法解決了不少調和分析以及數論中的重要問題，發了好幾篇四大，今年第一期的Annals上就有兩篇與此相關的文章。

列兩個做微分幾何或者幾何分析領域熟知常用的分析技巧。

1，Moving planes method：

一般認為Alexandrov的剛性定理已經蘊含Moving plane method思想，Alexandrov證明的定理說：歐式空間中的embedded closed hypersurface with constant mean curvature一定是球面。現在這個剛性定理在不同的方向有大量推廣以及新的辦法證明（比如用Reilly formula來證也很簡潔漂亮），但是我自己還是最喜歡 Alexandrov的原始證明。

此後經由一系列數學家對Moving planes的發展和應用，特別是Gidas, Ni and Nirenberg1979年文章將這種思想發揚光大，證明了一類半線性橢圓方程解的對稱性。截止到目前，關於這種方法的應用估計能有幾千篇文章。。。當然主要集中在共形幾何、Fractional Laplacian等Strong Maximum principle can apply的領域。

除了moving planes method，還有它的variant—moving spheres method，它們在研究很多幾何剛性問題、方程解的性質（如對稱性、單調性，甚至解的不存在性）都有很重要的應用。

2，Blow up technique：

起源於上世紀七八十年代Sacks-Uhlenback研究從closed surface到compact manifold的harmonic map的存在性問題，Sacks-Uhlenback考慮用擾動變分energy來approximate the Dirichlet energy，這個擾動變分是剛好滿足Palais-Smale緊性條件，從而保證了臨界點存在，然後在再研究它的極限，在研究收斂性時，Sacks-Uhlenback發現，除了曲面上個別singular point外，臨界點序列可以很好收斂。

引起收斂被破壞的唯一原因是在singularity point附近能量發生concentration。在這些singular point附近做blow up之後極限等同於一個非平凡的調和球面。所以，調和球面的存在在一定意義下是收斂性的障礙。

Blow up technique（類似還有blow down）是處理許多共形不變的非線性問題中非常有效的技巧。

3，simple summary：1，2兩個技巧有時在同一篇文章或某個定理的證明中反覆應用或者結合使用，比方說研究半線性臨界指標方程在單位圓盤中心為isolated singular point處的asymptotic behavior。

假設證明可以分為兩步，通常第一步是先用利用Moving plane method研究全空間上這種方程解具有徑向對稱性，這樣直接化為解一個ODE，得到全空間解的classification，這個classification除了幫助啟發asymptotic behavior的order（通常這個order也是optimal的），在後面第二步用blow up analysis去得到奇點附近的behavior也非常關鍵，因為blow up以後收斂的limit就是前面的那個解(or called standard bubble)，後面歸結為排除這種事情不可能發生就好了。

---更新---添加原始文獻：

A. D. Aleksandrov, Uniqueness theorems for surfaces in the large. V, Amer. Math. Soc.

Transl. (2) 21 (1962), 412{416.

Serrin, James A symmetry problem in potential theory. Arch. Rational Mech. Anal. 43 (1971), 304–318.

Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243.

H. Berestycki and L. Nirenberg, On the method of moving planes and the sliding method,

Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 22 (1991), no. 1, 1-37.

Sacks, J.; Uhlenbeck, K. The existence of minimal immersions of 2-spheres. Ann. of Math. (2) 113 (1981), no. 1, 1–24.

Caffarelli, Luis A.; Gidas, Basilis; Spruck, Joel Asymptotic symmetry and local behavior of semilinear elliptic equations with critical Sobolev growth. Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989), no. 3, 271–297.

Korevaar, Nick; Mazzeo, Rafe; Pacard, Frank；Schoen, Richard. Refined asymptotics for constant scalar curvature metrics with isolated singularities. Invent. Math. 135 (1999), no. 2, 233–272.

（btw：原始文獻雖然好，但是有些未必好看，比如notation、字體什麼，我傾向結合後人寫的一些Lecture notes來看，當然這個是小問題，因人而異。）

分部積分吧。

聽過一個段子，說柯朗的兩位大前輩，Peter Lax和Cathleen Morawetz，有一次被問到對學分析的學生有什麼建議或認為重要的工具，結果兩個人同時回答道：分部積分。

當然分部積分的範圍是很廣的，Stein書上用了兩章講的Stationary phase那套方法本質上就是分部積分，在PDE中無比有用的Paraproduct decomposition也可以看成一種分部微分。至於做相對論的那幫人把分部積分玩得是如何出神入化就不用多說了。

至於說為什麼，從比較Naive的角度理解的話，可以說PDE的困難主要在於導數，而分部積分恰恰能讓你自由地轉移導數；另一方面分部積分可以看成是頻率空間的工具，但又能和向量場結合起來在物理空間處理問題，這就使它具有了獨一無二的靈活性吧。

形變法或擾動法。如前面答案提到的連續性方法便是它的某種表現形式。作為一種「連續統版本的數學歸納法」，連續性方法在偏微分方程解的存在性問題的研究中是非常普遍且管用的「套路」。

另外，不少離散幾何的問題，如關於雙曲多面體構造的Andreev定理，關於圓堆積的Circle pattern定理，以及離散版本的Minkowskii問題，還有square peg問題等，相關的研究也常常基於連續性方法。在拓撲學中，形變也是一種重要技巧，只不過它往往有另一個名字---同倫。很多拓撲不變數的計算，如基本群，同調群，映射度，相交數，向量場的指標等，利用同倫形變常常收到意想不到的效果。

在Morse理論中，利用梯度流的形變，我們可以從臨界點挖掘拓撲信息。辛幾何中的美妙結果 --- Duistermaat-Heckman 定理，也是形變思想的體現。需要指出的是，這個定理在Mirzakhani關於Witten猜想的證明中溝通了兩個方面的信息，起著類似於橋樑的作用。

至於復動力系統，擬共性手術是十分常用的技巧。從廣義的角度來說，這也是一種形變法。

最後，在代數幾何，尤其在模空間的研究中，形變理論本身就是重要目標。

好像還沒人說過組合的？我來說個簡單的

Lindstr?m–Gessel–Viennot lemma（Lindstr?m-Gessel-Viennot lemma這裡有詳細介紹跟證明）

在一個有向無環圖裡，想要計算從n個起點 $(a_1,ldots,a_n)$ 到n個終點 $(b_1,ldots,b_n)$ 的n條互不相交的路徑的數量（具體說是其生成函數），只要符合一定條件，就有個非常漂亮的形式表達出來。具體來說是下面一個矩陣M的行列式

${displaystyle M={egin{pmatrix}e(a_{1},b_{1})e(a_{1},b_{2})cdots e(a_{1},b_{n})\e(a_{2},b_{1})e(a_{2},b_{2})cdots e(a_{2},b_{n})\vdots vdots ddots vdots \e(a_{n},b_{1})e(a_{n},b_{2})cdots e(a_{n},b_{n})end{pmatrix}}}$

其中 $e(a_i,b_j)$ 是從第i個起點到第j個終點的生成函數。

這裡最神奇的一點是為什麼結果是一個行列式。這個矩陣從線性空間的角度看完全沒有意義，而實際證明過程中也完全是以組合形式證明的，結果剛好用行列式能表達出來。

證明過程用到另一個技巧，就是想證一個集合的生成函數為零是時構造一個involution，這個involution能使整個結果變號，然後整個集合就分成兩部分互相抵消。不過這個方法太寬泛，在不同問題里的變招太多，很難說是一個「技巧」。

從別處看來的，連續性論證。結合分析學的技巧處理線性代數的問題。

在古典觀念下的線性代數中，對於矩陣一些性質的證明，有時需要將矩陣分為可逆與不可逆兩種情況，然後各自加以證明。而不可逆的情況往往比較難搞，因為能用上的手段不太多。

相反，可逆矩陣可資利用的優良性質比不可逆矩陣要多得多。有鑒於此，我們希望能將不可逆矩陣稍加修正，使其代數屬性改變（化不可逆為可逆）；同時又希望利用分析的性質對這一修正做出任意程度上的調控，使其能「以一種圓潤的姿勢」在可逆與不可逆之間完成可控的質變，從而抹平代數本質間的鴻溝。這樣一來，我們既能用上（關於可逆性的）好使的代數性質，又能憑藉分析中的連續性隨時與初始對象（不可逆矩陣）保持聯繫。單憑代數技巧不易搞定的情況，若滿足連續性，則不妨輔以分析，同代數雙管齊下。

說到這裡，這一技巧興許你已能大體構思。具體而言，操作基於以下簡單的事實——

對任意不可逆矩陣 $A$ ，加上一個純量矩陣的「微擾」 $epsilon I$ ，這樣得到的矩陣 $A+epsilon I$ 能夠可逆。
【註：這個表述的意思是：對於給定的不可逆矩陣 $A$ ，總可以找出合適的 $epsilon$ ，使得 $A+epsilon I$ 可逆。更進一步地，把條件加強至要求 $epsilon ightarrow 0$ ，也沒有問題；這是因為，令 $A+epsilon I$ 不可逆的 $epsilon$ 的個數不會超過方陣 $A$ （或單位矩陣 $I$ ）的階數（提示：將 $A+epsilon I$ 的行列式按第一行展開，並寫成關於 $epsilon$ 的多項式，觀察這一多項式的次數後用代數基本定理），也就能滿足以下做法的要求。】