怎麼記住斯托克斯公式(Stokes theorem)?

記不住啊


怎麼記住斯托克斯公式?兩個字:理解。

先給出公式是一種禮貌,斯托克斯公式有好幾種形式。

如圖,邊界為 partial Sigma ,圍成曲面為 Sigma

最簡單的形式:

{displaystyle iint _{Sigma }
abla 	imes mathbf{F} cdot d{oldsymbol {Sigma }}=oint _{partial Sigma }mathbf{F} cdot dmathbf{r} , ,}w

把旋度運算元 
abla vec{F_{}}cdot dvec{r_{}} 展開,可以得到:

{displaystyle {egin{aligned} iint _{Sigma } {Bigg(}left({frac{partial R}{partial y}}-{frac{partial Q}{partial z}}
ight), dy, dz+left({frac{partial P}{partial z}}-{frac{partial R}{partial x}}
ight), dz, dx+left({frac{partial Q}{partial x}}-{frac{partial P}{partial y}}
ight), dx, dy{Bigg)}\[8px] =oint _{partial Sigma }{Big(}P, dx+Q, dy+R, dz{Big)}, ,end{aligned}}}

對於學習高等數學的同學,主要是要記住後面這種一大串的形式,這裡提供一種記憶方法。

把曲線分別投影到 xz,yz 平面上可以得到另外的分項,我們把三個格林公式相加就得到上面這一大串公式:

實際證明雖然也是通過投影的辦法,但有點不一樣,只是最後湊起來有這樣的巧合,拿來助記還是可以的。

1 斯托克斯公式是格林公式的推廣

可以先閱讀 這篇文章 來具體地理解格林公式。

在格林公式的文章中,我舉了一個不那麼嚴謹的比喻,打撞球:

它的能量守恆是這樣的:

擊球的能量產生在桌面上,所以調整一下守恆式,就得到了格林公式:

實際上,沒有人規定撞球桌面必須是平的,撞球桌面就是可以變來變去:

不管撞球桌怎麼變,不變的是能量守恆:

只是撞球桌面不再是在二維空間了,進入了三維,這就得到了斯托克斯公式:

要強調下,打撞球的比喻仔細說來,是有漏洞的:

  • 撞球桌上的力場不是一階偏導連續的
  • 邊界上積分為0的才可以使用,因為等式右邊沒有計算邊界,而格林、斯托克斯公式是要求計算邊界的

雖然這個比喻不那麼嚴謹,只是我覺得對我自己記憶很有啟發性,而且琢磨這個比喻的適用範圍也對理解這兩個公式有幫助,所以我把這個比喻放上來的,希望對你們有幫助。

知道斯托克斯公式是格林公式的推廣,可以嘗試手動從格林公式推導一遍斯托克斯公式,也能加深理解,這裡就不推了,書上有這個過程。

2 麥克斯韋-法拉第方程

斯托克斯公式有個重要的應用,就是推出大名鼎鼎的麥克斯韋方程組的麥克斯韋-法拉第方程:


abla 	imes vec{E_{}} = - frac{partial vec{B_{}}}{partial t}

我們來看看是怎麼推出來的。

為了寫這一節的內容,我翻看了費曼的《物理學講義》,看到下面這一段話:

從人類歷史的長遠觀點來看--例如過一萬年之後回頭來看--毫無疑問,在19世紀中發生的最有意義事件將被認為是麥克斯韋對電磁學定律的發現。與這一重大科學事件相比,同一個十年中發生的美國南北戰爭,將降為一個地區性瑣事而黯然失色。
----費曼《物理學講義》

不禁很感概。我們中國的各種王侯將相爭鬥了數千年,最後還是被西方的堅船利炮敲開了國門。真正改變歷史的還是知識啊。

讓我們從發電機的原理講起。發電機無疑是電磁學的重大成果,點亮了整個人類。

2.1 發電機原理

以水力發電機為例,通過水力沖刷扇葉,帶動發電機產生電力:

對於這個過程,麥克斯韋說,我們可以用齒輪來進行類比。

首先,水力沖刷齒輪轉動:

再帶動虛擬的、精緻的「電磁齒輪」轉動、轉換,將水能變為電能:

接下來我們看看,這個「電磁齒輪」的工作細節是什麼?

2.2 「電磁齒輪」工作原理

我們來看一個實驗事實:

環形的是線圈(導體,但非鐵的,不會和磁鐵產生磁力),下降的是磁鐵做成的小球。我們可以觀察到,小球降落到線圈附近的時候,小球下降速度明顯變慢,動能減少。

根據常識,能量是守恆的,那麼減少的動能去哪裡了?

轉為了線圈內的電能:

2.3 電能的計算

就上面的實驗現象,法拉第是這樣解釋的,磁鐵小球下落過程中,導致通過線圈的磁場發生了變換,所以在線圈中產生了電流。

根據這個解釋,法拉第總結出了電磁感應定律:

數學形式為:

mathcal{E}=-{frac{dPhi _{B}}{dt}}

其中:

  • {mathcal{E}} 是電動勢,也就是轉化到線圈內的電能。
  • {frac{dPhi _{B}}{dt}} 是磁通量的變幻率,也就是磁鐵小球下落過程中變化的磁場

{mathcal{E}} 是轉化到線圈內的電能,可以寫為線圈的線積分(和力場做功是不是很像):

{mathcal{E}}=oint _{partial Sigma }vec{E_{}}cdot dvec{r_{}}

其中, L 代表線圈, vec{E_{}} 為電場。

通過斯托克斯公式可以把線積分改寫為面積分:

{mathcal{E}}=iint _{Sigma }
abla 	imes vec{E_{}}cdot dvec{S_{}}

其中, SL 圍成的面。

而磁通量 Phi _{B} 顧名思義為磁場的通量(通量我在 這篇文章 裡面介紹過),這麼計算:

Phi _{B}=iint _{Sigma }{{vec{B_{}}}cdot dvec{S_{}}}

因此:

{mathcal{E}}=-{frac{dPhi _{B}}{dt}}=-iint _{Sigma }frac{partial vec{B_{}}}{partial t}cdot dvec{S_{}}

對比兩式就可以得到,麥克斯韋-法拉第方程:


abla 	imes vec{E_{}} = - frac{partial vec{B_{}}}{partial t}

根據實驗事實,加點斯托克斯的料,我們就得到了這個方程。


試一下行列式形式?


可以結合物理里場的概念,場在每個點上都有一個矢量,可以看成是坐標到矢量的多元函數。在場里繞一個小圈算積分,如果是保守場(比如靜電場),積分永遠是0,這樣就可以定義勢函數;但如果不為0,說明場在這個圈裡有繞圈的成分,這個成分用旋度來表示。

旋度是有方向的,想像一個旋轉的小圓盤,它的矢量方向用右手螺旋定則,逆時針轉的小圈就是沿轉軸往上,右手四手指握成旋轉方向,拇指伸直就是旋度方向。圈足夠小、旋轉角度足夠小的時候,這個旋轉矢量可以做分解和合成,那麼我們可以求出xy、xy、yz三個平面里的旋轉程度,就分別是矢量的三個分量了。當圈足夠小的時候,是圓圈還是正方形的圈就沒有什麼區別了,圈上的積分可以表示成相對兩條邊積分的差值,從而轉為交叉的偏導數,只是由於方向問題,兩個偏導數符號是反的。三個分量合起來,就可以得到旋度。可以用偏導算符矢量和原矢量的外積表示旋度。

由於曲面邊緣的積分,可以通過在曲面分解成無數個小圈再疊加得到,疊加時小圈邊緣積分相互抵消,只留下外圈。每個小圈的積分可以用旋度在小圈轉軸(也就是曲面法向量)上的投影表示,累積起來,就是曲面邊緣的積分等於旋度在曲面通量上的積分。


我覺得這是最好記的形式.

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再啰嗦兩句,首先你得明白其中兩個符號的意思,其次你得學會簡單的外微分的計算。

剩下的就是,算個一分鐘就能得到你想要的幾個公式了。

題主問的是如何記住,所以這裡不談理解。要是能理解,那就談不上記不住了。


數學不能停留在紙面上,紙面上的東西只是表達數學的一種語言而已。要思考其下行的哲學內涵和上行的物理工程意義以及數學本身各個模塊的聯繫,才能更好的理解她。(註:是F=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)k,,,圖中錯誤)____________________________________

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傳統的Stokes定理是把一維的積分和一個二維的積分聯繫起來:前者的空間是後者的邊界,而後者所積的是前者的(某種)導數。這與Green定理、Gauss定理是同樣的,甚至微積分基本定理也可以看成是這種形式。

Stokes定理在1920年代後有了新的解釋和推廣,用的是Elie Cartan的"微分行式"和"外微分"。微分形式即積分符號後面的一串式子,如

P dx + Q dy + R dz (雖然實際應用很少寫作這個形式,但不難看出物理中常見的 F?dr 就是這個。)

它的外微分這麼來算:Cartan的這個神奇的符號d作用於每一項,再加起來。作用於第一項,

d(P dx) = ?P/?x dx∧dx + ?P/?y dy∧dx + ?P/?z dz∧dx

其中dx∧dx=0,(更一般地,dx∧dy=-dy∧dx,即∧符號是antisymmetric),這是外微分的第一個重要性質。這也好理解,dx∧dy表示無窮小的面積,而dy∧dx是負的面積。第二個重要性質是,d(dx)=0,所以上面的計算省略了d作用於dx的步驟。

動筆一算,就得出

d(P dx + Q dy + R dz) = (?R/?y-?Q/?z) dy∧dz + (?P/?z-?R/?x) dz∧dx + (?Q/?x-?P/?y) dx∧dy

這個就跟curl F是一個形式了。

並外兩個定理(Green和Gauss)的形式也可以同樣推導出,證明是另一回事。

微分形式的用處非常廣,已然成為現代數學的基本概念之一。以上作為初步介紹,需要補充幾點。

微分形式不局限於直角坐標,任意坐標系都可以。而且一個微分形式不取決於它在某個坐標系下的具體表達式。另外,微分形式可以在任一(光滑)流形上,不必在平直的空間,甚至不需要度量(metric)。這種情況下往往不能由一個坐標系來覆蓋整個流行,而需要幾個互相重疊的坐標系。

以上介紹的幾個性質,當然需要嚴格的考量,確保沒有矛盾。這就使得數學書上給出微分形式和外微分的定義不那麼直白,儘可能脫離坐標系,把這麼漂亮的概念搞得讓人望而卻步。如果不追求嚴謹而只在乎應用,微分形式完全可以在微積分課程介紹。


先來看格林公式

iint_D (frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy=oint_L Pdx+Qdy

先假設邊界是豎直垂直的。

對於 x ,它的單個形式是

iint_D (-frac{partial P}{partial y}dy)dx=oint_L Pdx

先看右邊,右邊的 P 可以看作是質量的線密度函數,與 dx 相積,意義是水平邊界對 x 軸產生的總質量(考慮方向)。

注意,邊界對於每個坐標軸的質量影響的函數都是不一樣的。在這個例子中,邊界對 x 軸產生的質量影響使用 P 來表達,而邊界對 y 軸產生的質量影響則使用 Q 來表達。

方向又是逆時針的,說明是先從下面的邊界從左往右積過去,再從上面的邊界從右往左積過去。由於邊界是豎直垂直的,所以在積的過程中,上下會經過同一個 x ,所以可以合成為

oint_L Pdx=int_{a}^{b}{D_1}(lowerP-upperP)dx

也就是說,由於是逆時針積過去的,所以總和就等於下上(注意是下減上)的密度差再和 dx 積分,而右式又可以寫成 iint_D (-frac{partial P}{partial y}dy)dx

我們知道,[ frac{partial P(x,y)}{partial y} ] 是在某個固定的 x 內, P(x,y) 對於  y 的偏導數,也就是說, int frac{partial P(x,y)}{partial y}  dy 表示在某個固定的 x 內,僅由  y 導致的 P(x,y)變化量

無論何時我們要記住, P(x,y) 是個看不見的東西,它本身並不能在二維的坐標平面內反映出來,我們可以將其視作點密度等等

回到我們剛學偏導數的時候,如圖

肯定知道, [ frac{partial P(x,y)}{partial y} ] 表示的是在某一個  x_0 所截的平面內,切線對於  y 軸的斜率,那麼 int frac{partial P(x,y)}{partial y}  dy 當然就是  y 所導致的 P(x,y)變化量了。

於是, iint_D (-frac{partial P}{partial y}dy)dx=oint_L Pdx+Qdy

左邊之所以是負號,是因為逆時針計算時對於 dx 是先從左到右算下邊,再從右到左算上邊,整體是下減上,所以和偏導數的演算法是相反的。

y 如法炮製,只不過因為逆時針算 dy 的時候,是先從上到下算左邊,再從下到上算右邊,於是和偏導數演算法相同,即

iint_D (frac{partial Q}{partial x}dx)dy=oint_ L =Qdy

現在來看斯托克斯公式。

int int _Sigma (frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z})dydz+(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x})dzdx+(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy

=oint_Gamma Pdx+Qdy+Rdz

其對於 x 的單個形式是

我們仍然將 P(x,y,z) 看成是邊界上質量的線密度函數,只不過這次它的決定因素有三個。前面我們說過,邊界對於每個坐標軸的質量影響的函數都是不一樣的,所以這裡就假定邊界對於 x 軸產生質量影響的函數是 P

我們看到,這次積分的方向還是「逆時針」的,而且

dP(x,y,z)=frac{partial P}{partial x}dx+frac{partial P}{partial y}dy+frac{partial P}{partial z}dz

這說明,我們需要從 xOz 平面和 xOy 平面兩方面來看邊界對 x 軸所產生的質量影響。

xOz 平面,

oint_{xOz} Pdx 表示在 xOz 平面內邊界對於 x 軸產生的質量影響,並且「逆時針」,於是先從小到大積下邊,再從大到小積上邊,在這個平面內

oint_{xOz} Pdx=iint (lowerP-upperP)dx

而對於 z ,則是先從下到上積左邊,再從上到下積右邊,於是

oint_{xOz} Pdx=iint (frac{partial P}{partial z}dz)dx

至於 xOy 平面,情況則和格林公式相同,於是

oint_{xOy} Pdx=iint (-frac{partial P}{partial y}dy)dx

兩者相加,即得對於 x 軸的質量影響的函數

同理

故得斯托克斯公式


利用Maxwell 方程組中的 Maxwell-Farady方程:

  • 積分形式:
  • 微分形式:

  • 將微分形式代入積分形式,得到:

這就是Stokes" theorem。物理系的表示很好記。


我當時是一邊看《費曼物理學講義》 電磁學部分一邊自學相關的矢量分 析,斯托克斯公式是靠形象記憶記下 來的。一個三維函數沿一個三維面邊界的線積分等於這個函數旋度在面上的面積分,然後記住旋度定義就行 了,不必生背斯托克斯公式


微分形式吧OAO

我佔個坑要把我的文章里的微分形式寫完


直入問題:

估計題主問的是斯氏公式的分量形式吧,因為斯氏公式的矢量形式比較好記,而且整體物理意義明顯的。整啥事都要靠勤勞雙手的,用自己的兩支手就可以記住這個斯氏公式的直角坐標系下的分量形式,同時可以非常清晰的看明白其物理意義。我是在流體力學的課堂上老師教給我的這個記法的,方法如下。

1,寫出∮Xdx+Ydy+Zdz,嘴上要念著:沿閉合曲線的環量出來啦;

2,伸出自己的右手,在紙上畫一個三維右手坐標系,當然z軸是向上的,x,y軸是底平面的;

3,伸出左手,看紙上的三維右手坐標系,首先讓拇指指向x軸,其他四指則和z軸重合,然後繞拇指轉動到y軸,於是得到的?Z/?y;拇指指向x軸不變,再從y軸反轉z軸一下,得到-?Y/?z項,兩項之和:(?Z/?y-?Y/?z)這就是Z,Y在x軸方向上的旋轉量強度的密度函數,乘以法線是x軸的面積元dydz就是x軸向的旋轉量強度(?Z/?y-?Y/?z)dydz;

4,重複第3步分別讓拇指指向y軸,轉,則得到y軸向的旋轉量強度(?X/?z-?Z/?x)dzdx項;再指向z軸,轉,則得到z軸向的旋轉量強度(?Y/?x-?X/?y)dxdy;

5,根據環量旋度關係則有:

∮Xdx+Ydy+Zdz=∫∫(?Z/?y-?Y/?z)dydz+(?X/?z-?Z/?x)dzdx+(?Y/?x-?X/?y)dxdy

物理意義:

公式中的變數命名很關鍵,進而物理意義也是非常的明顯的,斯氏直角坐標分量式的各項可有下面物理意義:前面說過,(?Z/?y-?Y/?z)項,就是Z,Y在x軸方向上的旋轉量強度的密度函數,乘以面積元dydz就是x軸向的旋轉量強度(?Z/?y-?Y/?z)dydz,估計有人會問我,那X咋不給自己的軸向有旋轉量強度貢獻了?因為,X是x軸向的分量,代表的是這個方向上的運動,當然不能給自己的方向上的旋轉量做貢獻,只有Z對y,Y對z才能給x軸向上的旋轉量做貢獻的,其實這也是正交坐標系的牛牛牛之處的!對於Z對z軸向,Y對y軸向也是一樣道理。從而公式的右側物理意義就是,矢量函數在直角坐標系下分解後,三個坐標項各旋轉量強度的疊加和,就是矢量函數在封閉曲線所圍面積上的總旋轉量強度。為什麼要轉手了,是因為在轉手的過程中蘊含了下面這個數學公式的物理意義:

斯氏公式對應的矢量形式表達則是:∫∫rotV·ds=∫∫▽×V·ds=dl 上面這個矢量形式非常好記的,矢量場中某個曲面上矢量的旋量(矢量旋度面積分)等於在這個曲面邊界閉合曲線上矢量的環量(矢量線積分),反之亦然。雖然其整體上的物理意義很明顯,但是看不到各個坐標分量項的物理意義了。

這麼帥的公式必須用牛牛牛字體再寫上一遍,尤其粗黑矢量和細斜分量的寫法!

場論無處不在的,此公式在其他學科中也有對應的形式的,其物理意義也有和此非常類似的解釋的,最經典的就是電磁場中的應用了,而且最關鍵的是徹底解釋了電磁學中左手定則和右手定則的來歷,用數學方程專業術語來講,電磁學中左右手定則是咱這的特解,我們這是通解的。

再說一點:

一定要自己動手實踐一下!關鍵是你在寫這個公式的過程中手轉的時候,自然深刻的體會到各項的物理意義,這點來講是這個方法最牛的地方了。當然用行列式和外微分也可記下來,但是具體中的各項物理意義不甚明顯,而且你還要記住行列或外微分展開後各項前面的符號(其實兩者用的都是逆序數定符號法)。所以講,如果你學會這個記法,自己再動動手轉上個幾回後,估計一般情況不會再忘記了。這個過程,除了不動腦,需要動手,動眼睛還要動嘴的,哈哈哈!

再次感謝教我流體力學的老師,教我了這個記法,雖然我畢業後並沒有從事流體力學相關的工作,幾乎再難以見到斯氏公式的分量形式。

補充說明:

斯氏公式在流體力學中也叫湯姆遜公式或開爾文公式,最早見於湯姆遜(也就是開爾文爵士)寫給斯托克斯討論流體力學的信中。有點像羅必塔法則和卡爾丹公式吧,不過開爵爺(或湯姆森)自不在乎這點,當然斯托克斯就憑納維斯托克斯方程就足以千古名揚了。

從牛萊公式,格林公式到開斯公式(從現在起要改叫成開爾文斯托克斯公式了)的物理意義是一脈相承的,多元微積分中當然也有一般形式的開爾文斯托克斯公式:

而且一般開斯公式中?A項的物理意義解釋也是基於廣義旋度的,這就是數學思想中最喜歡的方法了,基礎進階,進而推廣,高度抽象。雖看似抽象,但其物理意義也是明顯的,前提是要理解了那三個基礎公式,尤其斯氏公式。

還有一個要提的就是多元微積分中的奧高公式也是一般形式開斯公式的特殊情況,即對Xdy^dz+Ydz^dx+Zdx^dy整外微分,當然如果用外微分來記奧高公式那就有點繁瑣了。奧高公式和開斯公式,這兩個公式是微積分中集大成者的,學完微積分一定要記住這兩個公式和牛萊公式的,最好能理解其物理意義。牛萊公式不用說了,奧高公式的矢量形式和分量形式都比較好記,同時物理意義很明顯。

牛萊公式是一般函數過程的分析基礎,奧高公式和開斯公式則是場論分析的基礎。其實電磁學中麥叔方程微分或積分的兩種表達式都是源於奧高公式和開斯公式的,所以在一些電磁學書中較客觀的講法是麥叔整理並發展了電磁學方程。當然麥叔也是大牛叔的,他通過這方程組1,預言了電磁波的存在且速度是光速;2,預言了光是一種電磁波。當然這兩個公式的微分形式在力學,熱學、光學、電磁學以及原子物理學中各有對應的形式。

把牛萊公式、開斯公式再加上奧高公式一起的話,就組成了微積分中最霸氣、帥氣和接地氣的三牛公式,必須用牛牛牛字體寫上一遍:

對應於0維點集合、1維數軸、2維坐標面、3維歐氏空間以及n維(或流型張量)空間各有進階解釋,如果牛萊公式中表示原函數上下限的那根豎線整成中間帶個圈,而且放在左邊的話,那就太完美了。這三個公式和一般形式的開斯公式長得是一個樣子吧,哈哈哈!

忽悠總結:

可以這麼講來:1,在對客觀世界變化量的變化率過程描述中藉助的是上面一般形式的開斯公式右項,建立微分方程?A=u(常微分,偏微分,張量微分),相當求解?A也就是u廣義原函數A,直到給出0維點集合上的函數表達式(或者其他級數以及特殊函數疊加解,以及正交函數系、泛函空間的思想);2,在對客觀世界變化量的積累過程描述中藉助的也是上面一般形式的開斯公式的左項 ∫A=u,建立積分方程,求解;3,如果兩種都有的過程,那就是微積分方程?A+A=u,?,都可理解成運算元。

在0維點集合上最經典例子就是,微分和原函數,其實這也是常微分方程最基本的建模方法和求解方法的;推廣來看,1維數軸、2維坐標面、3維歐氏空間以及n維或流型張量上就是高階常偏張量微分方程,對應於牛爺第二定律的位移二次微分表達式、平面熱傳導方程、納維斯托克斯方程、麥叔方程、薛哥方程(波動方程)以及愛爺方程(廣義相對論方程)等等,其中有些方程求出了經典解,其求解思路還是有跡可循的:1,引入了許多新方法:分離變數法,對稱消去法等解算技巧和引入基於傅(拉)爺變換為初端的轉換域空間法等等;2,計算機這個偉大機器的出現,從而使計算數學有了正真可實踐操作的落實之處,通過數值法求解,但是看不到物理意義了。在這些科研過程中推進了數學的發展,其實最終還是想回到客觀世界解決問題的。以上看來這些,無需驚訝和感覺神奇,其實這正是數學作為科學中牛牛牛哥的牛氣所在之處。


光名字就記不住了→_→不知道這本書為什麼把名字取這麼長。


日本數學家小平邦彥以前數學成績不好,後來就一遍又一遍地抄寫定理的證明,後來成了一代數學大師,還拿了菲爾茲獎。

所以只要你功夫下到了,就真的能深刻理解這些定理。


真的是好無聊的問題,已舉報

三個記不住一個記不記得住,y,z換掉x就行了呀



第一次聽說斯托克斯公式還要去記∑(O_O;)

都這麼簡單了還有什麼好記得。。。


多用就記著了。

如果不用,沒必要記。需要的時候翻書。

做有限元需要經常用 (weak form)

作為常識,記住它背後的思想即可。


數學來源於生活(主要是物理),解決了物理問題後,繼續抽象成通用的方法。

所以,如果你是學習工科的,最好能結合物理意義記憶。

如果是為了考研等考試,那就死記硬背,反覆運用公式做題。

如果是偏理科一點的專業,最好能模仿著自己推導一遍。

其他情況,不需要記憶,知道有這麼回事兒就行了。


首先記住斯托克斯公式是用來建立曲線積分和曲面積分之間的聯繫的,清楚了作用,那麼用行列式表示就能一筆寫出了。


很簡單,

1:先按順序寫:dydz dxdz dxdy

2:正的部分,R對y P對z Q對x:從R開始向左轉

3:負的部分,Q對z R對x P對y:從Q開始向右轉


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