四維封閉空間的「雙生子佯謬」該如何解釋？

01-17

「雙生子佯謬」（百度百科）：

設想有兩個孿生兄弟甲和乙，甲乘飛船作太空旅行，乙留在地面等待甲。甲所乘坐的飛船在極短的時間內加速到速度v（速度v接近光速c）。然後飛船以速度v作勻速直線飛行，飛船飛行很長一段時間後，迅速調頭並繼續以速度v作勻速直線飛行。回到地面時緊急減速、降落，並與一直在地面上的乙會合。甲只在啟動、調頭、減速降落的三段時間內有加速度，其餘的絕大部分時間都在作勻速直線飛行，處於狹義相對論適用的慣性系。太空飛行期間所度過的時間。則當甲作高速太空旅行，返回時會發現乙比甲變老了。如果飛船速度非常接近光速c，相對論效應就會非常明顯，如若v = 0.9999c ，則T=70.71τ。即如在這一對孿生兄弟20歲時，甲乘飛船作太空飛行，甲認為飛行時間只有一年，在其返回地面時，甲只有21歲，但他卻發現乙卻成了90多歲的老人了，亦即乙比甲年老了許多。
但是，以上情形還可以換另一個角度來考察。即對於乘坐太空飛船的甲來說，甲在飛船上靜止不動，甲看到乙在極短的時間內朝相反的方向加速到速度v，然後乙以速度v作勻速直線飛行，乙飛行很長一段時間後，迅速調頭並繼續以速度v作勻速直線飛行，在與甲會合時緊急減速。在甲看來，乙只在啟動、調頭、減速的三段時間內有加速度，其餘的絕大部分時間都在作勻速直線飛行、亦處於狹義相對論適用的慣性系。因此，在甲看來，如果略去乙啟動、調頭、減速這三段時間（因這三段時間相對很短），在乙離開飛船期間，乙所度過的時間τ與甲所度過的時間T也應存在前述關係（狹義相對論一般將相對於靜止系統作勻速直線運動的系統內靜止的鐘所走過的時間記為τ，稱為該系統的原時）這樣，在甲乙會面時，甲比乙變老了。即如乙作勻速直線飛行的速度為v = 0.9999c ，在乙飛離甲一年後與甲會面時，乙只有21歲，但他卻發現甲卻成了90多歲的老人了，亦即甲比乙年老了許多。

可見，從不同的角度分析其結論是不同的，而且是相互矛盾的。究竟是乙比甲年老了許多還是甲比乙年老了許多？還是兩者都錯了，二人應該一樣年輕？這個命題就叫做「雙生子佯謬」。

現有解釋（百度百科）：

由於地球可近似為慣性系，甲要經歷加速與減速過程，是變加速運動參考系，真正討論起來非常複雜，因此這個愛因斯坦早已討論清楚的問題被許多人誤認為相對論是自相矛盾的理論。如果用時空圖和世界線的概念討論此問題就簡便多了，只是要用到許多數學知識和公式。在此只是用語言來描述一種最簡單的情形。不過只用語言無法更詳細說明細節，有興趣的請參考一些相對論書籍。我們的結論是，無論在哪個參考系中，甲都比乙年輕。因為甲是經過加速的，你看剛開始在地球上，於乙的相對速度為0，而後來速度接近光速了（注意是接近）。很明顯是變速運動了，所以這樣一來就不能說是「認為甲看乙在運動，乙看甲也在運動，為什麼不能是乙比甲年輕呢?」這句話根本就是對相對論錯誤的理解。而且甲的年輕是相對於乙的，對於他本人來說是不存在多活多少時間這麼一說的。

為使問題簡化，只討論這種情形，火箭經過極短時間加速到亞光速，飛行一段時間後，用極短時間調頭，又飛行一段時間，用極短時間減速與地球相遇。這樣處理的目的是略去加速和減速造成的影響。在地球參考系中很好討論，火箭始終是動鍾，重逢時甲比乙年輕。在火箭參考系內，地球在勻速過程中是動鍾，時間進程比火箭內慢，但最關鍵的地方是火箭掉頭的過程。在掉頭過程中，地球由火箭後方很遠的地方經過極短的時間划過半個圓周，到達火箭的前方很遠的地方。這是一個"超光速"過程。只是這種超光速與相對論並不矛盾，這種"超光速"並不能傳遞任何信息，不是真正意義上的超光速。如果沒有這個掉頭過程，火箭與地球就不能相遇，由於不同的參考系沒有統一的時間，因此無法比較他們的年齡，只有在他們相遇時才可以比較。火箭掉頭後，甲不能直接接受乙的信息，因為信息傳遞需要時間。甲看到的實際過程是在掉頭過程中，地球的時間進度猛地加快了。在甲看來，乙先是比甲年輕，接著在掉頭時迅速衰老，返航時，乙又比自己衰老的慢了。重逢時，自己仍比乙年輕。也就是說，相對論不存在邏輯上的矛盾。
注意，這不是基於不同參照系的觀測效果，而是弟弟和哥哥各自度過的固有時間的差異。固有時間可以用各自在閔氏空間中運動軌跡的四維長度除以光速得到，這個四維長度是不依賴於參照系的。

那麼問題來了，如果我們的宇宙是四維封閉空間，即如果我們一直向一個方向運動會回到原點，那麼「雙生子佯謬」中就可以不需要「掉頭」的加速過程，就使雙生子重新見面（不考慮壽命的話），那樣的話，該如何解釋「雙生子佯謬」？

我來解釋下樓上（緋）的答案吧，希望沒有亂講呢_(:з」∠)_

我猜題主的疑惑在於這對孿生子究竟經歷了什麼不同？兩人以某個速度互相遠離，運動又是相對的，那重逢時為何一個會比另一個老？答案是兩人看到的時空形狀不同。我猜題主說的「四維封閉空間」指的是空間封閉（比如3維球面）而時間則從過去淌到未來不折回。這樣的世界觀其實只在某一個特定參考系成立，一換參考系就變了。也就是說，當孿生子中的一人看到的是蜷曲空間、平直時間時，另一人看到的是一簇蜷曲的含時（超）世界面。

舉個一維的例子。假設在某個參考系下時間開放，而空間循環，即(t,x)與(t,x+L)是同一點。另一個與它有相對速度v的參考系中：(t,x)變換到了

$egin{pmatrix} t^prime\ x^prime end{pmatrix}=gammaegin{pmatrix} 1 -v\ -v 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} t\ x end{pmatrix}$ ，

而(t,x+L)變換到了

$egin{pmatrix} t^{primeprime}\ x^{primeprime} end{pmatrix}=gammaegin{pmatrix} 1 -v\ -v 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} t\ x+L end{pmatrix}=egin{pmatrix} t^prime-v L\ x^prime+L end{pmatrix}$ ，

其中 $gamma=(1-v^2)^{1/2}$ ，光速取成1。於是在另一位孿生子眼裡，(t,x)與(t-vL,x+L)才是同一點，對他而言繞地一圈並非故鄉，而是未來：麥哲倫返航後看到了30年戰爭的歐洲。

回過頭來看緋的圖

橫軸是位置，縱軸是時間。左圖蕾姆視角，右圖拉姆視角。

蕾姆視角：

自己不動而拉姆向右離去，因而自己的世界線是AD，而拉姆的世界線是AC。因為蕾姆眼裡空間循環而時間照常流淌，因而A與B是同一點，C與D是同一點。姐妹在D點重逢。此時雙方的壽命是多少呢？壽命算計的是原時的流逝： $Delta au=sqrt{Delta t^2-Delta x^2}$ 。這是一個洛倫茨不變數，意義是在與物體保持相對靜止的參考系中時間的流逝量。衰老畢竟是件與參考系無關的事吶，皺紋爬上額頭，頭髮變得稀疏，無論在哪個參考系看來都是老的。在D點，對蕾姆而言，原時的流逝量是AD；至於拉姆，因為C、D為同點，所以拿點C點計算： $Delta au=sqrt{CB^2-AB^2}=AE$ （順便，圖中黃色雙曲線為等原時線，上面每點原時都相同）。AD&>AE，所以重逢時蕾姆要更成熟些。身為妹妹歐派更大也是這個原因吧_(:з」∠)_

拉姆視角：

自身不動而蕾姆向左離去，自身的世界線是AC，蕾姆的世界線是AD。A與B是同一點（如前所述，兩者不再同時了），C與D是同一點。姐妹重逢在C點，此時拉姆經歷的原時流逝為AC，而蕾姆經歷的原時流逝是AF，還是蕾姆成熟些，畢竟歐派是不會騙人的_(:з」∠)_

結論：雙生子年齡的差別來自於各自身處的時空結構的不同。觀察到空間循環而時間不變，即(t,x)與(t,x+L)是同一點的人老得最快。

1 核心是boost不再是Killing vector field

2 右圖中等時線1在2的外面是因為cd是1的切線，而1的曲率不變號

如果兩個人都是處在黑洞附近，分別以不同的速度以相反的方向繞黑洞作橢圓軌道飛行，某一次他們相遇後，又會如何呢？

就算沒有四維封閉空間，相對論也沒辦法解釋雙生子悖論，至少是我沒看到合理的解釋。如果雙生子一直是勻速遠離永遠不再見，那麼用相對論同時的相對性和通訊不能超光速還可以勉強解釋，但是一旦他們掉頭回來再相遇就會出現解釋困難。

有用時空圖（狹義相對論）解釋的，那個解釋很不嚴謹，混淆了悖論和效應的概念，認為效應不明顯就可以忽略，殊不知就算A看B比自己慢0.00000000001秒，同時B看A也比自己慢，這也是悖論，和效應不明顯就可以忽略完全是兩碼事，就算解釋者強行混淆悖論和效應的概念，我也可以設計一個完全對稱情形來駁斥這種解法（詳細見我的分享——一個有趣的思想實驗來說明時空圖對雙生子悖論（雙生子佯謬）的解釋是錯誤的 - 知乎專欄）。

還有用廣義相對論解釋的更像是在搪塞。一上來就說「一旦有加速度狹義相對論就自動失效了」，且不說有加速度也可以用微積分和時間膨脹公式計算悖論仍然存在，就單這句話就可以說明狹義相對論是錯的。狹義相對論否定了以太，認為一切運動都是一個物體相對於另一個物體的，但是按照這種說法宇宙中根本就定義不了任何一個絕對的慣性系，因為定義了地球的一點，地球是繞著太陽轉的，旋轉是有加速度的，定義太陽系的一點，太陽又是繞著銀河系的質心旋轉的，這說明如果承認「狹義相對論只適用於慣性系」，那麼就得承認狹義相對論天然就是失效的，不能解釋現實中的任何問題，是毫無意義的。如果你非要定義一個絕對的慣性系，那麼以太又出來了，這和狹義相對論的基本假設又矛盾。