關於三門問題的思考（反駁蒙提霍爾悖論）？

01-17

三門問題的原題跟答案長這樣的
參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門後是羊，那麼答案是會。換門的話，贏得汽車的機率是2/3。

情況1:現在我們來假設有一名參賽者甲跟一名場外觀眾乙，有三扇門分別為A、B、C。首先參賽者甲選了A門，場外觀眾則在心裡默默地選擇了C門。然後主持人打開了B門，B門後是一隻羊，並詢問參賽者更不更換選擇。此時乙更改了他的選擇（選了A門），並告訴了參賽者甲。
現在甲有兩個選擇
1、更換選擇，因為選C門相對他有2/3的獲勝概率？
2、不更換選擇，因為A門相對乙有2/3的獲勝概率？
（可見選換與不換的概率相同）
情況2:因為乙不是參賽者，所以主持人不用理會他的選擇。因此主持人或許打開了C門並發現，後面是一隻羊，並詢問A是否更改選擇。此時乙不得不更改他的選擇，因為此時選C門的獲勝概率為0。此時乙選擇A門或B門的獲勝概率都為1/2，同時他把這個情況告訴了甲。此時甲有兩個選擇
1、選擇B門，因為選B門相對他有2/3的獲勝概率？
2、選擇A門，因為根據乙的角度，選擇A門跟B門沒什麼不同
（也可見換與不換沒什麼影響）
（可以把場外觀眾乙看作，參賽者甲自己模擬出來的角色）

以上兩種情況都是根據三門答案所給出的答案所推出
其實在主持人打開門的那一瞬間，參賽者選擇的概率以及改變了。
假設主持人打開B門時，門後是一輛汽車此時此刻，參賽者甲選擇門的獲勝概率降為0。如果主持人問他是否更改選擇，甲一定會選B門。因為選C門的獲勝概率也為0。
再者，主持人同時打開了B門跟C門，發現門後都是羊，此時甲選擇A門的獲勝概率不再是1/3，而是1了也就是100%。
（話說我高二的期末考，就出了一道有三門問題性質的選擇題，做錯了，現在想起來心情久久不能平靜）

創建於 2015-11-03
著作權歸作者所有

你的推論2是有問題的。

乙選對的幾率並不是1/2，因為主持人推開的門是根據甲的選擇做出的。

假如甲選A門，乙選了B門，主持人推開B門，那麼答案是A門的幾率是1/3，C門2/3。

假如甲A乙B主持人C，那麼從乙的角度來看，C門原來的可能性應該全部分配給B門，而不是平分給A門和B門，因為主持人拉開C門是在「在B和C門中選擇一個不是正確答案的門拉開」的前提下進行的，而不是隨機拉開一個不正確的門。

樓主，我認為不能深刻理解這種題目的話就去學習一下「貝葉斯公式」。

套公式總比想不清楚來得好。先套公式再思考為什麼。

這種問題實質上就是「剪枝」－－把所有不可能的情況排除，剩下的可能性即使再難以置信，它也是真相。

主持人打開一個門的剪枝，是從你沒選中的2/3里剪的－－它把其中一個門的1/3剪除掉，分給了另一個你沒選的門－－於是另一個門變成了2/3。

說「分給」可能不太準確，其實是把答案A門和B門的可能性分別剪掉一些，但是A門剪掉得更多，結果剩下的可能性變成了1:2，所以答案成了1/3和2/3。

常見的問題還有紅綠色盲識別的問題。。。

記住一點:所有"已經發生的事情"都應當納入概率的判斷之中。

高中的話，經常出現有1/2幾率的Aa和1/2的AA丈夫與aa基因的妻子結合有多大的幾率生出aa的孩子的題目。。。

答案是1/4

但是假如這對夫妻生出一個Aa，那麼下一個孩子是aa的幾率還是1/4嗎？

並不是，雖然你的試卷的答案很可能是1/4。

很簡單，假如這對夫妻生出無窮多個孩子都是Aa，那麼幾乎可以確定丈夫的基因是AA－－否則總得生一半的aa小孩，不是么？

但是，即使生了無窮多Aa小孩，只要他們再生一個aa小孩，排除被綠的情況，就可以確定丈夫的基因是Aa了。

這是因為，一旦發生一個事實，就需要對你的初始概率里不可能發生的事情進行「剪枝」。

所以不考慮主持人的操作的性質來推論是有問題的。

話說回來，生個aa還是因為被綠的可能性比較大。(?????)

情景1. 主持人並不知道場外觀眾選了C，所以如果A門後面有汽車，那麼主持人是有幾率會打開C門的。既然主持人打開了B門，說明對於場外觀眾來說，要麼是A門有汽車，然後主持人在1/2的幾率下打開了B門，或者說汽車就在C門，所以場外觀眾不應該更改自己的選擇。

情景2. 主持人還是不知道場外觀眾選了C，主持人打開了C，要麼就是A門有汽車，然後主持人在1/2的幾率下選擇了C門，或者汽車就在B門，所以對於場外觀眾來說，AB門並不是1/2，而是B門是2/3, A門是1/3

此問題用不到貝葉斯，從博弈的角度看其實很簡單。不管你最開始選了哪一扇門，主持人打開一扇空門以後，剩下的那扇門一定和你原先選的門裡面的東西不同，你原先選了羊，則剩下的門後面是車，反之則反是。因為你原先選的門裡有2/3的概率為羊，所以剩下的那個也有2/3的概率是車。

首先先表示，題主的反駁是錯誤的。

蒙提霍爾悖論存在了這麼久沒有被推翻至少能說明它不怎麼可能會存在這麼「短」的證偽過程。

先給大家複習一下蒙提霍爾悖論的條件:

參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有什麼。

①:主持人知道每扇門後面有什麼。

②:主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。

③:主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。

正統的答案是這樣的:

解法一:

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。

參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。

參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。

在頭兩種情況，參賽者可以通過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是通過轉換選擇而贏的，所以通過轉換選擇而贏的概率是2/3。

如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是1/2。

解法二:

假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一隻羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

以下是對題主的反駁的反駁:

對於情景一，錯誤在於:對於乙，更換選擇的獲勝概率並不是2/3(因為它不符合條件②)

對於情景二，乙的存在與否並不影響甲的選擇的獲勝概率，甲的獲勝概率如上解法一。而乙，如果乙不知道甲的存在，則乙的選擇的獲勝概率確實是1/2，1/2，但如果乙知道甲的選擇，那麼獲勝概率同甲。

以上證明乙的存在與否對甲沒有任何影響，模擬出這麼一個角色也是沒有意義。

題外話:其實很多時候，一些著名的有違直覺的理論更可能是正確的，有時很多人(包括我)淺淺地想一想就宣稱發現了錯誤，但其實只是自己考慮的不全面不深入。

本人的知乎處女答

寫一個我個人認為比較好理解的答案吧^_^

造成改變選擇後獲獎概率提高的原因在於「概率反轉」。

換一個等價情景：

抽獎箱里又兩個白球一個黑球，拿到黑球獲獎，白球不獲獎。

小胖手伸進去，顯然有1/3可能拿到黑球，2/3可能拿到白球。

此時手先擱箱子里別動～

這時候箱子里肯定至少還有一個白球吧，讓人從箱子下面挑個白球拿出來。

到此時，一切還沒發生變化。你手裡球拿著白球的概率依然是拿黑球的概率的兩倍。

然而此時箱子里只剩下一個球了，並且與你手中的球是相反的。這時候你選擇換球，就能使「概率反轉」，也就說，拿著黑球的概率變成拿著白球的兩倍了。獲勝概率就這樣反轉了。

同理可知，當贏得概率是輸的概率兩倍時，即使是一個贏點被拿走了，也應該堅持。

最後賣個情懷，當你輸面比較大時，看到了一個風險點顯現，應當及時反思，改善策略；當你贏面比較大，即使眼看著失去一個機會，也要試著堅持下去，你的選擇很可能是正確的。

因為大學概率論課荒廢了，所以只能寫了個老百姓能看懂的通俗答案=_=

這個問題的原因在於我們語言的暗示所造成的歧義上面，主持人說選一個門，他是隨機選的還是只選空門直接影響了最後的結果，比較有意思的是，大家討論的焦點並不在產生歧義的地方，而是在基於這個歧義所建立的推論上。這裡用貝葉斯公式針對不同的理解給出了計算方法，供參考：三門問題與貝葉斯公式

三門問題最大的幌子就在於對「概率」在根本上認識不清，概率是「事件」的屬性而不是「物品」的屬性，所有得出三分之一三分之二結論的邏輯都會走到「某個門後面是汽車還是羊的概率」這個根本自身不能成立的概念上。

「遊戲者不知道任何一扇門後的情況隨機選擇結果中獎」這才叫「事件」，「遊戲者知道了一扇門後是山羊在另外兩扇門後隨機選擇結果中獎」這才叫「事件」。「一扇門」本身沒有任何概率問題，它後面是羊還是汽車是個不變的客觀狀態，「未出現的某時間的結果」和「這一運動中某物品的屬性」是兩碼事。

在蒙提霍爾悖論中事實上只存在以上兩個事件，第二個事件的結果就是二分之一。

你這個所有說的都沒有錯啊，但是已經改變了本來的假設。你這個跟三門沒有任何關係實際上