你在生活中用过最高端的数学知识是什么？

01-17

「高端」系列：
你在生活中用过最高端的历史知识是什么？
你在生活中用过最高端的物理知识是什么？
你在生活中用过最高端的化学知识是什么？
你在生活中用过最高端的生物知识是什么？

你在生活中用过最高端的声学知识是什么？
你在生活中用过最高端的光学/光谱学知识是什么？
你在生活中用过最高端的心理知识是什么？
你在生活中用过最高端的天文知识是什么？
你在生活中用过最高端的地理/地质知识是什么？
你在生活中用过最高端的电学知识是什么？
你在生活中用过最高端的政治知识是什么？
你在生活中用过最高端的经济知识是什么?

情景1

Alice 和Bob 相伴去看演出，七点钟开始。一路公交地铁换乘共享单车总算到了。Alice 一看手表，现在六点半。

Alice: 叫你老是催我，害得我妆都没画完。你看，就算我们晚走个二十分钟也来得及嘛。

Bob: 这个系统又不一定是线性的。

情景2

Alice 坚持了半个月每天跑步三公里，一称体重，真的轻了一公斤。

Alice: 我觉得我还能每天多跑一些，这样这个月我就能至少瘦三公斤啦。

Bob: 这个系统又不一定是线性的。

情景3

期末考试出成绩了，Alice 的两门课，一门90另一门59.

Alice: 早知道我多花点时间复习那一门了，这样肯定两门课的成绩都能看啊。

Bob: 这个系统又不一定是线性的。

情景4

Alice和Bob两人打了一晚上X耀，跌跌撞撞从黄金二打到了黄金一。

Alice: 今天累了不打了，明天再打一晚上我就铂金啦！

Bob: 这个系统又不一定是线性的。

情景5

Alice在改高数作业，一下午三个小时改了大半，于是打电话给Bob.

Alice: Bob，过来帮我改一会作业吧。还剩一小半了，我们一个小时改完就去吃火锅吧。

Bob: 这个系统又不一定是线性的。

虽然来晚了，但看到楼上有人答兰彻斯特方程，作为一个十年的（伪）即时战略游戏迷，还是觉得有必要来一篇“论兰切斯特方程在即时战略游戏中的重要作用及其应用”。

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在维基百科中，对兰彻斯特方程的介绍是这样的：

Lanchester"s Linear Law

For ancient combat, between phalanxes of soldiers with spears, say, one soldier could only ever fight exactly one other soldier at a time. If each soldier kills, and is killed by, exactly one other, then the number of soldiers remaining at the end of the battle is simply the difference between the larger army and the smaller, assuming identical weapons.

Lanchester"s Square Law

Suppose that two armies, Red and Blue are engaging each other in combat. Red is shooting a continuous stream of bullets at Blue. Meanwhile, Blue is shooting a continuous stream of bullets at Red.

Let symbol A represent the number of soldiers in the Red force at the beginning of the battle. Each one has offensive firepower α, which is the number of enemy soldiers it can incapacitate (e.g., kill or injure) per unit time. Likewise, Blue has B soldiers, each with offensive firepower β.

Lanchester’s square law calculates the number of soldiers lost on each side using the following pair of equations.

Here, dA/dtrepresents the rate at which the number of Red soldiers is changing at a particular instant. A negative value indicates the loss of soldiers. Similarly, dB/dt represents the rate of change of the number of Blue soldiers.

dA/dt = -βBdB/dt = -αA

简单的说，假如我有十个兵，你有八个兵，双方的战斗力都差不多，如果我们两个在一个狭窄的路口交战，每次都只有一个兵能参与战斗，这个时候满足兰彻斯特线性律——我所剩下的兵为我的兵力总数减去你的兵力总数，即（10-8=2）

但是假如说我们在一个开阔的场地交战，双方每个士兵都可以选择性的攻击到对方任意一个士兵，那么这个时候满足兰彻斯特平方律——我所剩下的兵力总数为我的战斗力的平方减去你的战斗力的平方再开方，即（ $sqrt{10^{2} -8^{2} } =6$ ）

下面容我用游戏来

首先进入游戏

拿它举例是因为帝国时代的兵种比较简单，不像魔兽之类的有魔法和护甲相克的干扰因素。

从图中可以看到，红蓝两支军队军队比为8：10

蓝军和红军的每一个士兵战斗力都是一样的

双方在激烈的交战着

最终红方全部阵亡，而蓝方还剩六个（多次实验的结果），全程本人没有加以操控

当然，蓝方有两个残血，不过兰彻斯特方程也只是一个近似的结果，有误差是可以理解的。

假设红蓝两方士兵战斗力相等，都为H点生命及A点攻击（为了便于计算，假设没有防御），并且满足兰彻斯特平方定理的条件，设红方有m人，蓝方有n人，且m&>n，设在第ts时双方剩余部队人数为m(t)，n(t),则可得微分方程组：

$frac{dm(t)}{dt} =-frac{An(t)}{H} <br />$

$frac{dn(t)}{dt} =-frac{Am(t)}{H}$

由微分方程组可得：

$frac{dm(t)}{dt} *m(t)=frac{dn(t)}{dt} *n(t)$

两边同时取0到t上的定积分可得：

$int_{0}^{t} frac{dn(t)}{dt} *n(t)dt=int_{0}^{t} frac{dm(t)}{dt} *m(t)dt$

即有：

$m^{2} -m(t)^{2}=n^{2}-n(t)^{2}$

当n(t)=0,即蓝方全部阵亡时，红方残存的人数还有 $m(t)=sqrt{m^{2}-n^{2}}$ ,恰好是兰彻斯特平方定理的结果。

假如说红蓝双方士兵只能1v1或者NvN，人数优势便无法体现出来，如图

任你千军万马，在狭窄的路口上只能2v2,一换一之后，你所剩的兵力只有（m-n）个。

从兰彻斯特方程中，我们可以看到即时战略游戏在战斗中几个重要的原则：

1.兵力优势非常重要，在双方战力相仿的时候，兵力之比代表着战力平方之比，所以在战斗中保持局部的兵力优势是取胜的关键。

2.战斗时兵力接触面积也十分关键，倘若能在小范围内保持真正参战人数与对方相当甚至更多，那么，即使你兵力有劣势也可以一打。

3.对科技优势的理解。在满足兰彻斯特平方律的条件时，我们可以从方程中计算得知，科技优势体现的是线性关系而不是平方关系。假设你有10名士兵而对方有20名士兵，你的士兵生命值是对方的两倍（其余条件相同），那么你的总战斗力为（10*10*2），对方总战斗力为（20*20*1），对方仍然可以以不到一半的损失全歼你，但如果你的士兵攻击力同时也是对方的两倍，则你可以与其同归于尽甚至有少量残存。

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下面由我根据兰彻斯特方程来解（xia）释（che）一下各种在即时战略游戏中常用的战术

爆兵流——例如在魔兽争霸中，有速科技和速出兵两种战术。暴兵流就是利用对方攀科技的时间，组织足够的军队来赚取便宜，由我们刚才的分析可知，军队的数量对于战斗力是平方影响关系，而科技只是线性关系，所以在局部战役中人数多的一方相对于科技流的一方有着更大的优势。但这同时也是一把双刃剑，当对方组织了足够的兵力或者利用兰彻斯特线性律的条件来与你作战时，暴兵流的优势就不复存在。

hit and run——如图

重点在于减少对方与自己的兵力接触面积，一般出现在远程打近程，远程的优势是可以集中火力，这样可以在保证自己兵力全部输出的同时尽量减少对方兵力的输出，始终保持着局部上的多数打少数。

地形与阵型——保持好的阵型和占据优势地形的目的都是一样的，在局部地区尽力保证是多数打少数，让对方的输出单位尽可能少而自己的输出单位尽可能多，另外，占据好的地形（如高地）在很多游戏中都有输出奖励。

兵种搭配——一般是前排肉盾后排输出，前排肉盾的目的除了保护后排脆弱的远程单位，还有一个目的便是不能让对方全部兵力都保持持续输出，仍然是为了让局部地区对方的输出人数减少发挥优势。

切割战场——在对方兵力很多而自己兵力较少时怎么办？这个时候就需要切割战场，保证小范围内你的兵力优势，例如对方有13人你只有10人，直接打必败无疑，这个时候，如果你能先将其分割为5人和8人，先集中优势兵力击打8人小分队，这个时候你就还会剩下6人，在攻击剩下5人便可以取胜。在游戏中很多时候要面临能不能打这个问题，用兰彻斯特方程便可以简单的计算一下，可不可以打，如果打自己或者对方将死伤多少等等。

听起来是不是很厉害？

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其实我玩即时战略游戏都很水，以上都是我瞎编的T_T

就像你学会了二次方程，你真的就用它来投篮吗？

大家看的开心就好&>_&<

-------------------------------------------------15.5.4更新-------------------------------------------------

这个回答沉寂了好几天，突然在前两天火了起来，收获了七百多个赞，答主也是感到受宠若惊。

在这个回答中运用的知识不会超过大一的高等数学的范围。可能在学习那些公式时我们会感到很难很无聊，但是一旦运用到生活中，它实际上是如此的有趣。知识本身不是用来背的，而是用来在生活中运用的，这才是知识的价值，不是吗？

下面统一回复一下评论区的问题

积分步骤？

由

$int_{0}^{t} frac{dn(t)}{dt} *n(t)dt=int_{0}^{t} frac{dm(t)}{dt} *m(t)dt$

可推出

$int_{0}^{t} n(t)d(n(t))=int_{0}^{t} m(t)d(m(t))$

因为

$n(0)=n,m(0)=m$

故可推出

$m^{2} -m(t)^{2}=n^{2}-n(t)^{2}$

A和H的运用？

实际上在兰彻斯特平方率本身，是没有A和H的，但是会引入一个参数,这个参数的意思是在单位时间内每单位杀伤对方战斗单位的比例，即战斗力比值。在即时战略游戏中，可以用最重要的两个数据，即攻击力/生命力来代替。因此，对于一个单位来说，增加一倍的攻击力，和增加一倍的生命力，在方程计算中的影响是相同的，都是增加一倍的单兵作战能力。

这个东西有什么用？

题主游戏虽然玩的不好，但是主要原因是手残（apm低的痛......）。许多职业玩家，即使不知道这个公式的具体形式，在游戏玩多了之后也会对这个公式有一个大致的了解。或者，即使没有用，兰彻斯特方程可是事实存在并且已经被运用到军事当中的。就当多了解一点知识也好嘛。

以上

当然是讲高冷段子了！

每当有人缠着非让讲一段的时候，我就不得不祭出轻易不用的高冷数学段子大法（都是被你们逼的！）：

第一个段子：

一个法国小朋友去学校学数学。

回家以后爸爸想考考他学的怎么样了，问：3+4 =？

小朋友：不知道

爸爸不甘心：那4+3呢？

小朋友：不知道

爸爸郁闷了：那你都知道啥啊？

小朋友：我知道 3+4 = 4+3

爸爸彻底郁闷了：这不是显然的嘛！！

小朋友：不！老师说要先证明这是一个阿贝尔群！

一般讲完这段，大家会愕然表示好冷好冷。

没关系，忽略。开讲第二段。

第二个段子：

从前有位老公公，他养了一群猴子。

早上他给每只猴子4个枣，晚上给3个。

猴子们不开心。

于是老公公说：那咱们改为每天早上3个，晚上4个好不好？

猴子们表示很开心。

注意：梗在这里↓↓↓

讲到这里，一定要淡淡地加一句：这个故事告诉我们，猴子们是不懂阿贝尔群的。

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呃，前两天好像刚讲过了的说。

谢邀。

扬州城一年一度的斗宴到了，「一笑天」酒楼拿出了他们的成名之作：三套鸭。「三套鸭」是淮扬菜中的名品之一，以家鸭、野鸭和乳鸽为食材，香味层层嵌套，妙不可言。

我有幸尝到此等美味，刚刚入口，我便忘记了一切，仿佛天地之间的灵气都汇聚到了舌尖。再看周围人，也都沉浸其中，仿佛被口中的美味带到了另一个世界。

片刻之后，众人回过神来，这时坐在正中的老者才开始给我们讲解这「三套鸭」的奥妙：

「三套鸭的做法已经失传很久了，有一天我得到了一本菜谱，里边零星介绍了三套鸭的做法，我年事已高，便交给了我的爱徒研究。爱徒也很争气，不到两个月就做出了『三套鸭』。

「然而我尝了一口就失望了，因为口味和传说差得太远。三种肉的香味倒是不缺，但是没有浑然一体之气，这在厨艺上是致命的缺陷了。

「爱徒只看了一眼我尝第一口的表情便明白了，悻悻而退。又过了两个月，他又端来了他做的『三套鸭』。

「我尝了一口便震惊了，这次的感觉完全不同，各种味道融会贯通，真是『三「味」一体』！我狼吞虎咽地吃完剩下的鸭肉，这才问他这道菜是怎么做得。他微微一笑，开始讲述他的这两个月的经历。

「他开始几天愁眉不展，便出去闲逛。有一天遇到了一个学数学的朋友，聊到了这件事。他的朋友看了看菜谱，惊讶地发现『三套鸭』在菜谱中的名字又叫『七咂汤』，询问我徒弟，徒弟只说『七』是虚指，三种食材怎么会有七种味道呢？他的朋友略一沉思，抬头数道：『家鸭一味，野鸭一味，乳鸽一味，这是三味；家鸭和野鸭一味，家鸭和乳鸽一味，野鸭和乳鸽一味，又是三味；家鸭、野鸭和乳鸽一起，又是一味，这便是七种味道了。』爱徒恍然大悟，回家便做出了正宗的『七咂汤』！」

说到这里，老者停顿了一下，问我们：你们从这个故事里知道了什么？

我们面面相觑，老者笑道：

n元集合的非空子集有2的n次方减1个。

感谢周浩晖http://tieba.baidu.com/p/3021907313，改编于此作品《三吃三套鸭》。

用高阶导数的概念理解了什么叫“抑制房价过快增长的趋势”。

前同事，被骗到传销，按流程要给你讲课（洗脑）。此君知道上当但无法脱身，于是用数学公式当场演算，说明如投入5万将来收获千万，需要多少人，这个盘子会多大，以证明其不可能。遂当天就被告知不适合这个投资项目让他回家了。

绝对是巴拿赫不动点定理。每次看地图的时候都在用

试图用Sperner"s Lemma来分房租.

老婆 @郦橙锦妖在CMU的时候有2个室友. 一起租下一整套. 里面三个房间. 每个人对每个房间的喜欢程度也不一样(窗户大小, 是否有衣柜等等). 所以需要给每一个房间定价. 如果每个房间定价一样, 可能三个人都想要同一个房间. 所以要找到一个定价, 使得这三个人都会选择三个不同的房间 (比如两个房间免费, 拥有豪华私人浴池的房间是整套房子的价格). 因为这样的定价可能很多, 所以也应该找这种定价的一个average(whatever that means...)

那如何解决这个问题呢?

因为当时了解 @高花花大神的本科做过的研究, 自然的想到了...

当然是选择Francis Su的这篇文章来分房租啊!

数学界暖男Francis Su. 代表作为著名的暖心演讲: Mathematics for Human Flourishing.

连纽约时报都弄个大新闻还为此做了个房租计算器.

可以在有限步数approximate最fair的分法.

理论上极优美的解答.

当然她忽视了我的建议.

前几周，波士顿的北大校友会和清华、复旦、上交校友会一起办了一次相亲（？）活动。活动结束的时候，男嘉宾和女嘉宾都可以选择一个“心动异性”。最后在 27 位男嘉宾和 27 位女嘉宾中，有 3 对投了对方为心动异性。

有人问了一句，这个结果显著吗？P 值是多少？

大家一阵沉默。。。

换一个方式表达这个问题：

假如有 N 个男生和 N 个女生，每人都随机选择一位异性，最后有 x 对男女生互投了对方，求 x 的概率分布。

我作为工作人员，为了搞清楚我们这配上 3 对到底有多成功，或者说有多大概率是随机事件，后来推了半天才推出来，感觉愧对母校培养。

这个问题看似像经典的 Derangement 问题（Derangement - Wikipedia），但其实有双向选择的要求，稍微更复杂一些。怎么港，绝对是我在生活中解决过的最复杂的数学问题了...

首先，由 linearity of expectation，可以很容易地得到，

$E(x) = 1$

记：N 男 N 女，恰好有 x 对互投的概率为 $P(x)$ ， $0le xle N$ ，则

$P(x) = P_{ ext{noMatch}}(N-x,N) frac{ {{N}choose{x}}^2 cdot x! cdot }{N^{2x}}$

其中 $P_{ ext{noMatch}}(n,N)$ 定义为：共有 N 男 N 女，前 n 个男生和前 n 个女生之间没有配上对的概率。

通过容斥原理不难求出，

$P_{ ext{noMatch}}(n, N) = frac{1}{N^{2n}}sum_{k=0}^{n} (-1)^k {{n}choose{k}}^2 k! N^{2(n-k)}$

最后，对于我们这次活动，N = 27，

$P(xge 3) approx 0.073$

也就是说，如果大家都是随机选择，能够配成 3 对或更多的概率只有 7.3%，可以说我们办这个活动的配对是显著有效的了。

把这个公式写在这里，如果以后有人再办非诚勿扰活动，可以用这个公式算算显著性。。。

# 大家猜猜一开始问显著性的同学学的是什么专业（答案已揭晓！真身见评论区置顶）

= = = = = = = = = 下面是无趣的内容 = = = = = = = =

Update: 评论区有关于 “p 不是要 0.05 才显著吗” 的评论，其实答主无意构建严格的统计推断，也无意论证这里用什么样的 alpha 比较合理，只是把它当成一个好玩的组合问题罢了，显不显著就看个乐子吧~

Update 2: 想不到一天内这么多赞，谢谢大家。其实写这个文章的初衷是觉得计算 null hypothesis 下的概率分布非常有趣。评论区有很多关于 p-value 和模型假设的讨论，本来不想解释基本概念，但考虑到避免初学者被误导，建议初学者了解几个基本问题。

1, p-value 是什么。 p-value - Wikipedia。通俗地说，刻画的是 null hypothesis 跟当前 observation 的相符程度。具体到本文，刻画的是 “大家都随机选择” 这个假设跟 “27 男 27 女有 3 对配对成功“ 这个事件的相符程度。

2, 如果 p-value 很小，意味着什么。意味着，基于目前的 observation，要么 null hypothesis 不正确，要么我们观测到的是非常偶然的事件。

3, 怎么衡量 p-value “足够小”。这个阈值通常称为 alpha，它的选择需要考虑到很多因素，比如你对 type 1 error, type 2 error 的偏好，这个假设检验的结果将会被如何使用，等等。

4, 如果假设检验显著，能够说明什么？见第二个问题。如果认为 null hypothesis 不正确，具体到本文，意思就是 “大家并没有随机选择投票对象“。这可能有颜值因素，有心理学因素，有天气因素，甚至有可能是我们活动举办的好，等等。具体是 null hypothesis 以外的哪个 model，不得而知。我行文中把它完全归功于活动举办的好，纯粹是因为知乎是个娱乐（？）社区，好玩而已。

5, 为什么只考虑完全随机投票，我觉得应该考虑颜值等因素，建立更复杂的模型。很多同学说这个只是开开玩笑，但也有同学看上去比较认真。当然可以提出更多各种各样的 model，然后用观测数据去估测 model 里的各种参数。问题在于，我们几个校友会不太争气，目前就举办了一次活动，只有这一个 data point。“大家都随机选择“ 这个 null hypothesis 非常显然，尝试去 reject 它也是第一步。因为我们只有一个 data point，所以更复杂的 model 暂时没有价值。

6, 为什么不考虑置信区间（confidence interval）。Confidence interval - Wikipedia 因为 confidence interval 是估计某个参数 (parameter) 的时候才要考虑的概念。我们这里没有尝试估计任何 parameter，confidence interval 跟本题无关。我觉得评论区谈到这个的应该是在开玩笑，我也点了赞，但为了避免误导路过的初学者，作此解释。

7, 初学者思考题。 考虑扔一个外观正常的硬币 (1) 关于投掷它的结果，最直接的 null hypothesis 是什么？ (2) 如果扔了 N 次，都是正面，p-value 是多少？(3) 你觉得什么情况下能 reject null hypothesis？(4) 如果把正常硬币错判为非正常硬币，需要支付 x 元代价；把非正常硬币错判为正常硬币，需要支付 y 元代价。x 和 y 的值会怎么改变你在上一题中的回答？(5) 如果我扔了 100 次都是正面，请问以下解释你最喜欢哪个：A, 这个硬币不是一个 fair coin。B, 我非常幸运，主角光环，毕竟乐透都有人反复中奖。C, 硬币结果与一个隐藏的 “手气值” 有关，我今天手气值爆棚，但明天就不好说了。D, 我有超能力。

香农的信息论，1948年才出现，比高等数学和工程计算教科书上所有公式都年轻一个世纪，够高端吧。虽然我只是定性使用这个理论，但一旦具备信息论意识，写作效率就有明显提高。

举个例子，我今天打算写一篇郭德纲的文章，要用到侯宝林的回忆录。但不巧赶上万国来朝的盛世，常用的几个网盘都被和谐了，幸而我记起此前我读回忆录的时候发了一条微博：

夜读侯宝林自传，没看到笑容...

微博中记下的链接也废掉了，但还有配图，第一张配图就是自传选段的首页，我需要根据这个截图找到全文。

如果用《夜店》或者“中国的《夜店》”当搜索词，很明显，不用我说，你们也能猜到结果——注定搜索不到这篇文章，至少不会很快地搜到。下面是搜索结果的第一页：

用“侯宝林+夜店”搜索也不行：

随便抽一句话去搜，虽然出现了结果，但显然干扰元素太多，前几个结果都是不相关的内容：

为什么搜不到自己想要的结果呢？这个时候回头看信息论。香农定义信息熵的原理通俗地说就是“可预测性越强，信息越少”。他曾经让自己的女友逐字逐字母地看小说（挡住后面的部分），然后根据前面的内容猜下一个字母或单词是什么，最后意识到，如果猜出下一个单词（字母）的概率越大，这个单词（字母）带来的信息量就越少。一个信息量最大的文本，就是在没有展开下文的时候看起来像随机组合的文本。随机数列的熵最低，信息量最大，最不可压缩。

这样看来，上面那些词语组合都太平常，或者说在通常的文本中相互关联度太大，当做关键词的时候，提供给搜索引擎的信息太少，少到不足以压倒几十年时间带来的词义变化和词频变化，所以搜不到想要的内容。

那么，用什么关键词来搜索呢？按照香农的理论，关键词组合一定要“随机”。如果在找到原文之前，几个关键词之间看起来毫无关联，这就能提供最大的信息量。保证搜出来的文本最接近于你想要的东西：

比如说，我从原文中摘出三个看起来毫无关联（除了目标文本自身）的词：南兵马司、宪兵队长、高尔基，这个组合看起来很没逻辑，估计信息量不小。搜索一下，果然成功率非常高，只检索到四篇文本，而且前两篇都是可用的材料，大大压缩了二次检索的时间：

简而言之，如果你只有所需资料的一部分文本，或者只有一些模糊的记忆，记得一些碎片化的词语，要搜通过这些不完整的信息去搜索完整的资料，在选择搜索词的时候首先要选择那些非常罕见的词，如果找不到这样的词，在日常用词中要尽量选择那些貌似风马牛不相及的组合，这样才能提高搜索引擎能获取的实际信息量，减少搜索结果，增加搜索精度。

信息论的熵 - guisu

现代人用不好搜索引擎，等于少了一个外部存储器官。了解一些基本的信息理论，就能大大提高这个器官的运行效率。我每天为了写文章，为了刷知乎，起码要进行上百次的搜索，每次搜索节约20秒时间，加起来就是半个多小时，可见学点理论还是很重要的。

更何况大多数搜索不是一次就达到目的。我对新来的同事经常说，如果你只搜索一次，你和读者的知识就在一个起跑线上。要想超越读者，让读者觉得你略微内行，在真正采访专家之前，必须起码搜索两次——根据第一次搜索的结果换一次关键词，在信息流上转一个弯。这样你就能看到普通读者看不到的一点事实，提出有价值的问题。在这种多次更换关键词的搜索中，每次搜索效率提高一倍，总的搜索质量和速度就有指数级别的提高，可以决定一篇新闻稿的水平。

其实每个人都在不自觉地利用这个原理，比如说记人的时候，往往会记住他最独特的特征，比如说我对金圣叹的记忆首先是“花生与豆腐干同嚼，有火腿味 ”。有一次我在写明清税收问题的时候，想查金圣叹这个人，一时居然忘了他的名字，就用花生、豆腐干、火腿、遗言当关键词，一下子就找到了他的名字。

这句话是否存在，不影响金圣叹在文学史和社会史上的地位，但对我来说，他区别于其他明清文人，最大的特征就是花生+豆腐干=火腿的公式，是他最显著的一个文化标记，所以我首先记住这个特点。古龙说只有起错的名字，没有起错的外号，也是基于同一个原理。

补充：回复中 @党沛龙朋友举了一个很有意思的例子：【山楂糕枣泥饼酸奶冰棍】，本来这几个词之间的关联不是很大，和“马前卒”的关系也不大。但一旦我用它当了签名，马前卒和山楂糕就建立了独特的联系，搜索“山楂糕枣泥饼酸奶冰棍”就全是我的文章，这的确是我在百度上验证自己文章扩散速度的一个重要办法，也适合本文当例子。

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I proposed to my girlfriend with the ring (Mn(?), +, ·) and she refused me. Oh damn I know I should have tried something commutative.

最高深有点夸张了，不过之前看微分方程时候碰到的一个例子

用微分方程解释男女的爱情。

x代表女孩（susan）喜欢男孩（george）的程度。

y代表男孩喜欢女孩的程度。

上面一个方程表示，女孩如果发现自己更喜欢男孩了或者男孩更喜欢自己了，那么就会更喜欢男孩（x"为正）

下面一个方程表示，如果george发现susan更喜欢自己，或者自己更喜欢susan了，那么因为担心被缠住，会讨厌女孩（y"为负，渣男一个）

答案是啥呢？

椭圆，他们生生死死被套在一起无限循环

每个女生都会面临的一个问题，”买了这么多衣服可是每天出门都不知道穿什么“。

有一天逛街的时候灵机一动，感觉这个问题其实是这样的：

假设我randomly的逛街，我买到的衣服在各个温度的分布应该是约等于服装店衣服对各个温度的分布的。

然后问题应该是出在店里衣服的分布和事实上的温度分布严重不符。

然后刚好手边有美国各地的历史天气数据（做一个能源衍生品的project的时候搞来的 = . = ）

顺手取了靠近纽约曼哈顿的一个点，画了个图拟合了个Gaussian Mixture Model，然后把结果换算回摄氏度。

纽约的温度empirical distribution有两个Gaussian峰，一个center在12度左右，一个center在23度左右，然后谷底在17-18度的时候。。。

然而一般经常逛街的人都知道，店里最喜欢卖的就是这种17-18度能穿的衣服，一般时尚杂志和公众号里面各种所谓的搭配也差不多是最适合17-18度这么穿，然而现实中温度分布要么热得穿短袖，要么直接要穿棉袄了。

纽约以外别的地区没试，大伙可以试试。。。

以前老婆（那时候还不是老婆）搬家的时候，问我要怎么打包各种东西，我说你去马云家买点纸板箱就行。

老婆问我，那都要买多大的，买多少个呢？

当时我就两眼发光，非常激动的意识到，这是一个01背包问题啊。

为了在老婆面前显摆一下作为程序员的高端技能，我和她说，你把要打包的物品清单发给我，不可拆开的物品注明一下尺寸，还有一个需要特殊方式放置的东西，比如花花草草之类的，也特别注明一下。

同时我赶紧去马云家的网站上查找纸板箱都有什么尺寸，突然想到，好像除了体积以外，重量这个变量也要考虑，于是又让老婆把各个物件的重量也发给我。

就在我热火朝天的计算之际，老婆发来了微信，说她买好了。

我惊讶的问她怎么这么快确定要买多少个的。

她说，买了十个，因为十个包邮...

更多故事可以去看妹子的回答：和程序猿谈恋爱是一种怎样的体验？

不打耳洞(逃

生活中用到最高端的数学知识当属傅立叶变换。

从时域上观察，老婆的发脾气是无厘头、不可理喻和杂乱无章的。然而从频域上观察，规律就大为显著了。比如：生理周期（每月总有那么几天，孩子定期的生病及吵闹）、社会周期（双11又要到了，各种商场的促销季节）、家庭周期（过年回哪里，理财产品到期）、个人周期（发工资的时候）。

数学是个好工具，还能促进情商和人与人的理解。

…更多文章请到数据冰山 - 知乎专栏

…更多回答请看何明科

打双升的时候，用两张K冲锋，会被两张A捉到的概率只有2/9（不考虑极端情况），所以可以放心出。

再来一个更高端的：从学校回家有四路公交车可以坐，每路车的间隔为 30 分钟，但发车时间非常不准时，可以认为是均匀分布。那么，我平均要等多久才能坐上车呢？

设我到达车站的时刻为 0，第 $i$ 班车在 $X_i$ 时刻到达，则 $X_1, ldots, X_4$ 独立且均服从 $[0,30]$ 的均匀分布。我要等待的时间是 $X_{min}=min_i X_i$ ，现在要求它的期望。

对于像 $X_{min}$ 这种次序统计量，用累积密度函数处理起来更方便。

$egin{align} P(X_min < x) = 1 - P(X_min > x) \ = 1 - prod_{i=1}^4 P(X_i > x) \ = 1 - (1 - x/30)^4 end{align}$

求导可得 $X_min$ 的概率密度函数： $p(x) = frac{4}{30}left(1-frac{x}{30} ight)^3$

积分求期望： $E(X_min) = int_0^{30} xcdot p(x),mathrm{d}x = 6$

所以平均需要等待 6 分钟。

更一般的结论是：若一共有 $n$ 路车，每路车的发车间隔为 $m$ ，则期望等待时间为 $frac{m}{n+1}$ 。

吃披萨时折起来吃

【Numberphile】披萨为什么要折起来吃？ @圆桌字幕组

（虽然晚了但是好想答(//?//)）

嗯，我们高中宿舍对面是女寝，然后。。。

“次奥，看！那个腿好漂亮！”

“哪个？哪个？！”

“以左上角为原点建系，（3，-2）看到没？”

“嗷嗷嗷嗷嗷嗷”

大学时期一个朋友约了一帮人去他家里三国杀，当时我住得比较远只能打车去。他们问我什么时候能打到车，我说“一般5分钟能打到一个车。“ 于是其他人算着时间都集合了准备开杀。过了10分钟他们打电话问我到了没还有多久，我说在等车。

他们继续问：”还要等多久啊？“

”5分钟吧。“

又过了5分钟又打电话问我上车了吗。

我说”没有。“

”还要多久啊。“

”5分钟吧。“

打电话那位就说”我靠，怎么一直5分钟，5分钟前也是5分钟。“ 我脱口而出：

”指数分布又没有记忆。“

简单解释一下就是还有多久能等到车和之前已经等了多久并没有任何关系。刚出门的时候你觉得自己平均要等五分钟，那么五分钟过去了会对这个世界上的出租车有什么影响吗？完全没有，你就和刚刚出门的状态一模一样，所以你平均还是得等5分钟... 其实每一个时间点的平均等车时间都一样是5分钟。。

同样的道理，家门口的公交车站平均十分钟来一班（如时刻表上面写的），如果你的公交站点离起点站很远的话，等待公车的时间也大致符合指数分布，也就是说你去站点发现已经有很多人在排队了并不能代表车快来了，而有可能会过很久之后两辆公车同时来，这样还是确保了平均10分钟一班。。

说到这里还有个比较可怕的现象。如果说公交车的时间是固定的5分钟一班（这不太现实，除非离起始站很近），那么你随机选择一个时间去等车，等待的平均时间就是2.5分钟（想象一条5分钟长的时间线，你任意选一个点，期望值在2.5分钟）。如果说公交车到站的频率是平均5分钟一辆，那么你的平均等待时间就会是5分钟了（不然这个“平均5分钟一辆”又是怎么来的？）。可是对于公交车公司来说，他们发车的总量是一样的（固定5分钟一辆和平均5分钟一辆需要的车次是一样的）。很可怕吧~

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