如何解釋（證明）在y=lnx中，當x小於0時，不能構成連續曲線？

01-17

看到《高觀點下的初等數學》中提到的，在x取有理數時，y軸左側的點有右側的一半稠密，而加入無理數後，右側變為連續曲線，而左側卻不行？

提醒一下匿名用戶，F. Klein的這本《高觀點下的初等數學》不是給中學生看的……

（雖然我最早接觸到這本書是高中的時候從果殼一個帖子當中扒下來的，印象里是推薦各個領域的書籍……看了十幾頁就看不下去，自動放棄了……）

這本書其實是給中學數學教師看的，作者在第一頁就寫道：

我向數學界，特別是向中學數學教師奉獻的這一卷新書，應該看做是「中學數學教學講義」……而目前前我所關心的是數學教學內容的種種進展。我的努力方向是充分結合當今的數學教學方法，從現代數學科學觀點出發，向數學教師以及已成熟的學生介紹數學教學的內容及基礎，但要儘可能做到簡潔、有啟發性，也有說服力。

確實，只要認真地學習過複變函數/複分析，都能理解這裡作者想要表達的觀點；然而作者所要解決的問題並不是一個數學問題，而是一個教育學問題：如何適當地選擇教學內容，使得學習的過程是一個階梯式上升的過程，而不是讓學生直接面對一座懸崖。

這是在討論指對數函數定義的問題，因為嚴格來說開偶數次根號其實可以有兩個值，正值和負值。但是引入負值不利於推廣到實數範圍。

如果實數的部分用有理數極限來定義，就會出現選取不同子列極限不同的情況，這就尷尬了

以下討論都是在實數域上的。

首先讓我們重新討論一下分數冪的定義

高中數學和絕大多數大學數學課程里，指數函數的底數都是大於0的，如

在這種情況下，y的取值一般認為是大於0的，所以當x取一個形如p/q的有理數時，我們有定義

$a^{frac{p}{q}} = sqrt[q]{a^p}$

此處p和q為自然數且互質。這是我們之前所學的內容。

但是對於一個更一般的情況，也就是如果我們給分數指數一個新的定義

$a^ { frac{p}{q}}=u qquad (u^q=a^p)$

那麼 $a^{frac{p}{q}}$ 的取值就不一定是唯一的了。如果取a=2, p=3, q=2, 在我們新的定義下，我們可以得到

$2^ { frac{3}{2}}=pmsqrt[]{2^3}=pmsqrt{8}$

因為 $(pmsqrt{8})^2=2^3$ 。所以在這個新定義下，如果指數的分母是偶數，一個正實數的分數冪是可以有兩個取值的。當然如果指數的分母是奇數的話，正實數的分數冪就只能對應一個值了，如

$2^ { frac{4}{3}} =+sqrt[3]{2^4}=+sqrt[3]{16}$

然後根據我們的新的指數定義，我們可以重新定義對數函數

對數函數就是指數函數的反函數，所以聯繫之前的定義，我們可以把對數函數的定義域擴展到一部分負實數上，如：

$log_2(-sqrt{8})=log_2(2^ { frac{3}{2} })={ frac{3}{2}}= log_2(sqrt{8})$

這一部分負實數只包括 ${ xmid x=-sqrt[q]{2^p} , q為偶數, p和q互質 }$ ，也就是負實數的一個子集。可以證明（也就是說我就不證了，哈哈哈）這個集合在負實數上是稠密的。而且對於每一個有定義的負實數x， $log_2(x)=log_2(-x)=log_2(mid x mid)$

將對數函數的定義域擴展到實數

對於正實數部分，因為所有的 $yinmathbb{Q}$ 都有一個正實數x與之對應，所以對於x&>0的部分是可以擴展成為一個在 $mathbb{R}^+$ 上的連續函數，而且值域為 $mathbb{R}$ 。麻煩的是負數部分。如果按照之前的理論，對數函數在x&<0時，定義域取不到所有負實數，值域只是有理數的一個真子集，而另一部分有理數上是取不到的（分母為奇數的），所以擴展到實數就不像正數部分那麼自然了。

以 $y=log_2x$ 為例，x&>0的部分可以擴展到正實數上，然後考慮x在負半實數軸上的情況。x小於0的時候在集合 $A={ xmid x=-sqrt[q]{2^p} , q為偶數, p和q互質 }$ 上是連續的而且該集合在負實數中稠密。所以

對於 $forall xin mathbb{R}^-, exists{ x_m}in A,lim_{m oinfty} mid x-x_mmid=0$

而由於y(x)在A上收斂，所以 ${y(x_m) }_m$ 是一個柯西序列，又因為A不完備，所以在A中不一定有極限。又根據之前的結論，在負半軸上 $log_2(x)=log_2(-x)=log_2(mid x mid)$ ，我們可以知道

$lim_{m oinfty}y(x_m)=lim_{m oinfty}y(-x_m)=y(-x)$

-x是正實數，而且已經有定義了。所以這時我們可以把負半軸上的「空隙」填滿了，非常簡單的

$log_2(x)=log_2(-x) qquad x<0$

但是這是非常不漂亮的，因為這個已經擴展了的對數函數和之前的對數函數已經不一樣了。擴展後的函數一部分取值來自於指數的逆運算，一部分來自我們通過取極限後的定義。所以其中一些值是不能通過指數的逆運算得到的，如 $x=-sqrt[3]{2^2}$ ,原來的 $log_2(x)$ 沒有意義，但是我們認為它是等於

$log_2(-sqrt[3]{2^2})=log_2(2^ { frac{2}{3}})= {frac{2}{3}}$

可以看到，擴展後的函數意義已經發生改變，所以為了不產生歧義，一般將定義在 $mathbb{R}-{0}$ 上的底數為2的對數函數寫成 $log_2(mid xmid)$ ，這樣也好看一點，對吧？

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不是很懂為什麼我在回答里插入公式，會有一些分數變成奇怪的二階偏微分號。。。

說一句，這個需要跳出初等數學的範疇看，就很好理解了

知乎要求回答不能是對問題的評論，那就原問題發表一下看法。

首先對數函數ln x的定義就是這樣的，y的分母為偶數的時候x必須選取正值，這個我也改不了，要問第一個這樣定義的人去。這樣定義肯定是有好處的，用大一級別的高數可以有兩條解釋：第一是文中說的，如果允許x取負值，推廣到無理數會造成極限不收斂導致沒定義；第二，也是更重要的，指數函數在實數上的定義早就不是那個幾次方再開幾次根號然後有理數列逼近無理數列那一串了-儘管它們在數值上相等／教材通過引入這種定義來介紹指數函數-用微分方程、冪級數、數列逼近哪個定義不好非要搞開根號這種說不明白的東西？相應的作為指數函數的反函數，對數函數的定義也就不涉及你提出的問題了。

其次如果就算你非要按照你這個指數函數定義來，也能推出微分方程和冪級數的表示形式，從這個基礎上你瞎推導一氣就會發現一件事：

$e^{ipi }=-1$

然後負數的對數值就不用你操心了...誰還會考慮那些「一半稠密」的有理數

（作者這麼寫不是坑中學生呢嗎...還「一半稠密」「函數論更高深的知識」2333）

原答案：

你想多了。

等你將來學高等數學大概會明白一大半，學完復變差不多能完全解答你的問題。

還有不建議中學生看這種書，挺無聊的...真有這方面愛好又不擔心失業，搞搞競賽或者提前看點大學東西不好嗎？

第三次譴責這本書的作者，將來出了哪個顛覆歐拉公式的民科把鍋都扣到他頭上(??ω?)??