數學可以直觀想像么？

01-17

我一直很好奇，數學的思想是怎麼產生的？抽象的公式是否可以用簡單的思想直觀解釋呢？比如行列式和矩陣的意義，它的秩，它的逆序數有直觀的解釋么？如果有的話，那是不是世界上的一切公式都代表一種概念？我們如何能發現它們解釋他們？人的思維真的可以站在感性的感官體驗去解釋或翻譯出絕對理性的公理呢？

謝邀：首先，很多的數學定理是有幾何解釋的，特別是和幾何相關的東西。但是，不是「一切」數學定理／命題都對應一個幾何解釋。而數學發現中，直觀的作用越來越沒用？很多不懂數學創造的人以為數學家發現新定理的過程和福爾摩斯一樣靠靈機一動，就能突然「看見」所以證明過程，然後寫下來。這是錯的哦，是文藝青年的想像而已。其實很多數學發現，特別是現代的數學，的是建立在一次次失敗的複雜計算上。Krantz和Hormander都說自己大部分的計算都是失敗的，但是那些成功的計算轉化為我們能看見的定理，很多時候發現它的人也不清楚它成立的「根本原因」，因為有一些結果真的很tricky，但是當其他數學家長期的研究它之後再慢慢地理解它。就好像人類很早就能用火了，但是對它的理解是近代的事情。數學也是這樣的，歷史上也是這樣的，牛頓時代就發現微積分，但是知道百年後人們才把它嚴格化，理解起來才慢慢完善。所以，很多東西，數學家只是發現它有用，至於為什麼有用，是後來的事情了。

小平邦彥（菲爾茲獲得者，主攻代數幾何）在提及這一點的時候，他認為數學和自然科學一樣，是一種研究現象的學科，只是它研究的對象是「數學現象」，數學家需要通過「觀察」數學現象來總結。

這裡說的『觀察』不是用眼睛去看，而是根據某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳，但顯然是不同於邏輯推理能力之類的純粹感覺，我認為更接近於視覺。也可稱之為直覺，為了強調是純粹感覺，以下稱此感覺為『數覺』。直覺包含著「一瞬領悟真諦』的含義，不太貼切。數學的敏銳，如同聽覺的敏銳一樣，與頭腦好壞沒有關係（指本質上沒有關係的意思，而不是統計上沒有相關關係）。但是要理解數學，不靠數學便一事無成。沒有數覺的人不懂數學就像五音不全的人不懂音樂一樣（這只要擔當數學不行的孩子的家庭教師就馬上明白。你眼前看到的事情孩子卻怎麼也看不見，說明起來很吃力）。數學家自己並不覺得如在證明定理時主要是具備了數覺，所以就認為是邏輯上作了嚴密的證明，實際並非如此，如果把證明全部用形式邏輯記號寫下看看就明白了。那就過份冗長，實際上不可能（當然不是說證明在邏輯上不嚴密。而是依照數覺，那些明顯的事實就略去邏輯推理而已）。最近每每談及數學的 sense（感受），而作為數學 sense 基礎的感覺，可以說就是數覺。數學家因為都有敏銳的數覺，自己反倒不覺得了。

同時，他也認為數學是一門實驗科學。我聽到這個說法和看到他的話後可以說是豁然開朗。

物理學家研究自然現象，在同樣意義上，數學家研究著數學現象。也許有人會說，
物理學家做各種各樣的實驗，而數學家不就是思考嗎？但是，這種情況的『思考』就是
思考實驗的意思，例如與『思考』考試題的性質不同。我們知道，對考試問題，只要適
當組合某個確定範圍內已知的事實，一小時內一定能夠解決，思考的對象、思考的方法
都擺在面前。而實驗則是為了調查研究原先未知的自然現象，當然其結果就無法猜想，
也許什麼結果也得不到。數學也完全一樣，它是探究未知的數學現象的思考實驗，雖說
是思考，但思考的對象是未知的，思考些什麼為好也不知道。數學研究的最大困難就在 於此。
思考實驗中最容易理解的形式是調查實例。例如考慮偶數最少可表為幾個素數的和
的問題。檢查一下實際的偶數，2 是素數不算，
4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，總可以表為二個素數的和。由這一實驗結
果，可以猜想『除 2 以外的一切偶數都可表為二個素數的和』的定理成立（這是早就有
名的哥德巴赫猜想，現在還沒有解決）。如果這樣幾次調查實例，能夠猜想出定理的形
式，以後就可以考慮證明該定理，那麼研究的最初難關就被突破了。當然這是數學，光
堆積幾個實例還不是定理的證明，證明還必須另外考慮。
初等數論些定理就是首先從這樣的實驗結果出發引出猜想，然後才證明的。從上個
世紀末到本世紀初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等義大利代數幾何學家得到的驚
人成果中，依據實驗的不在少數。實際上，J.A. Todd 在1930年左右發表的論文中曾明
確斷言：『代數幾何是實驗科學』。他們的定理全部得以嚴密的證明還是最近的事。值
得注意的是，儘管他們給出的定理證明還很不完全，但是定理卻是正確的。
發現新定理
最近數學的對象一般都非常抽象，實例也還是抽象的，難以想像，因此靠調查實例
來猜想定理的形式，在許多情況下首先就不可能。我不知道在這種狀況下，發現新定理
的思考實驗的方式是什麼樣的。即使說只是含含糊糊地想想思考些什麼，恐怕還是不行
的。實際就是那樣往往是不管怎麼去思考都得不到相應的結果。這麼說來，數學研究是
不是非常困難的工作呢？倒也未必。有時你什麼也沒幹，但卻很自然地接二連三看到那
些值得思考的事情，研究工作輕而易舉地得到進展。這時感受充分表現在夏目漱石在
《十夜夢》中描述運慶雕刻金剛力士的話上。引用其中的一部份：
運慶現在橫著刻完了一寸高的粗眉毛，鑿刀一豎起，就斜著從上一錘打下。他熟練
地鑿著硬木，就在厚木屑隨著錘聲飛揚的時候，鼻翼已完全張開鼻孔的怒鼻的側面已經
顯現出來。看起來他的進刀方法已無所顧忌，沒有絲毫猶豫的樣子。
『原來使用鑿子那麼容易，就把想像中的眉毛、鼻子作成了』，他頗為得意，自言
自語道。於是，剛才的青年就說：『什麼，那並非用鑿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本
已埋在木材中了，只是靠鑿子與鎚子的力量挖了出來。就像從土中挖出石頭一樣，決不
會錯的』。
這種時刻，想想這世間沒有比數學更容易的學科了。如果遇到有些學生對將來是否
干數學還猶豫不定，就會勸告他『一定要選數學，因為再沒有比數學更容易的了』。
接下去漱石的話的要點如下：
他便覺得雕刻也不過如此，誰都能幹的。因此他想自己也雕個金剛力士試試，回到
家，便一個接一個雕刻起後院的那堆木材。不幸的是，一塊木頭裡也沒有發現金剛力
士。他終於明白了，原來明治的木頭裡並沒有埋著金剛力士。
數學也一樣，普通的木頭裡沒有埋著定理。但從外面卻看不出裡面究竟埋著什麼，只好
雕刻著看。數學中的雕刻就是一邊進行繁複的計算，一邊調查文獻，決不是簡單的。在
許多情況下什麼結果也沒有。因此數學研究非常費時間。可以認為，研究的成敗主要取 決於運氣的好壞。
定理與應用
現今的數學，由實例猜想定理是很困難的，不僅如此，定理與實例的關係看來也變
了。在大學低年級的數學中；定理之為定理，乃是由於可應用於許多實例，沒有應用的
定理就沒有意義。好的定理可以說就是應用廣泛的定理。在這個意義上，函數論的柯西
積分定理是最好的數學定理之一。但最近的數學中，有廣泛應用的定理幾乎見不著。豈 止如此，幾乎毫無應用的定理卻不少。正如某君不客氣地說：『現代數學只有兩種，即 有定理而沒有應用例子的數學與只有例子而沒有定理的數學』。從現代數學的立場出
發，『不管有沒有應用，好的定理就是好的定理』，但我卻總覺得，沒有應用的定理總 有點美中不足。

數學的唯一理解方法：

即使不作研究，只看看書與論文，數學也很費時間。比如只看定理而跳過證明，二
三冊書似乎很快就能讀完的。但是實際上跳過證明去讀，印象就不深，結果一無所知。
要理解數學書，只有一步一止循著證明。數學的證明不只是論證，還有思考實驗的意 思。所謂理解證明，也不是確認論證中沒有錯誤，而是自己嘗試重新修改思考實驗。理 解也可以說是自身的體驗。
難以想像的是，此外沒有別的理解數學的方法。比如物理學，即使是最新的基本粒
子理論，如果閱讀通俗讀物，總能大致明白、至少自己認為明白了，儘管很自然地與專
家的理解方法不同。這就存在著老百姓的理解方法，它與專家的理解方法不同。但是，
數學不存在老百姓的理解方法。大概不可能寫出關於數學最近成果的通俗讀物。

『豐富的』理論體系：

現在數學的理論體系，一般是從公理體系出發，依次證明定理。公理系僅僅是假
定，只要不包含矛盾，怎麼都行。數學家當然具有選取任何公理系的自由。但在實際
上，公理系如果不能以豐富的理論體系為出發點，便毫無用處。公理系不僅是無矛盾
的，而且必須是豐富的。考慮到這點，公理系的選擇自由就非常有限。
為了說明這件事，把數學的理論體系比作遊戲，那麼公理系就相當於遊戲規則。所
謂公理系豐富的意思就是遊戲有趣。例如在圍棋盤上布子的遊戲，現在知道的只有圍
棋、五子棋和二類朝鮮圍棋只 4 種類型。就是說，此刻所知道的公理系只有 4 個。除
這 4 個以外，還有沒有有趣的遊戲呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又
如何呢？實際上下 n 子棋，當 n 在 4 以下，先手必勝，即刻分出勝負，所以索然無
味；而當 n 在 6 以上時，則永遠分不出勝負，也毫無意思。發現這種新的有趣的遊戲
並不容易。要找出跟圍棋差不多有意思的遊戲大概是不可能的。雖然這只是我的想法。
數學也同樣，發現豐富的公理系是極其困難的。公理系的選擇自由實際上等於沒有。
理論的豐富推廣
數學家一般都本能地喜歡推廣。例如假設存在以某個公理系 A 為基礎的豐富的理論
體系 S。這時誰都會想像到，從 A 中去掉若干個公理得到公理 B，從 B 出發推廣 S 得
到理論體系 T，再進行展開。稍加思索就覺得 T 是比 S 更豐富的體系，因為 T 乃是
S 的推廣，但如果實際試驗一下這種推廣，許多場合與期待的相反，T 的內容貧乏得令
人失望。這種時候，可以說 T 不過是 S 的稀疏化而不是推廣。當然並非所有的推廣都
是稀疏化。數學從來是依據推廣而發展起來的。最近推廣不斷墮入稀疏化，倒不能說是
一種奇怪的現象。
那麼，能發展成豐富的理論的推廣，其特徵是什麼呢？進一步，公理系能作為豐富
的理論體系的出發點的特徵又是什麼呢？現代數學對這種問題不感興趣。例如，群論顯
然是比格論更為豐富的體系，但群的公理系優於格的公理系之點是什麼呢？又在拓樸
學、代數幾何、多變數函數論等等中，基本層的理論的出發點（看來似乎）是毫無價值
的推廣，它不過是用及數替換以前的常數作為上同調群的係數。而實際上卻是非常豐富
的推廣，其理由何在呢？與此相反，連續幾何被看作是射影幾何的令人驚嘆的推廣，但
卻沒有什麼發展，這又是為什麼呢？當把數學作為一種現象直接觀察時，所產生的這類
問題不勝枚舉。雖然我並不知道，它們是否都是不屑一顧的愚蠢問題，抑或能否建立一
門的回答此類問題為目標、研究數學現象的學科，即數學現象學呢？但是如果能夠建
立，那一定是非常有意思的學科。為了研究數學現象，從開始起唯一明顯的困難就是，
首先必須對數學的主要領域有個全面的、大概的了解。正如前面說的，為此就得花費大
量的時間。沒有能夠寫出數學的現代史我想也是由於同樣的理由。

謝邀。

早期的數學都是直觀的，並且樸素的。

可以，任何想像力都是靠經驗的映射。你這個問題其實涉及到超過數學研究的範圍。

數學，研究什麼？從比較不通俗和比較根本上來講，數學，研究「概念本身」和「概念之間」的關係。That"s all.

物理學，研究的是表象世界「概念本身」和「概念之間」的關係。

而這些概念的形成，都是靠現實世界的映射，因為一切想像都是基於經驗的（對不起我是休謨的贊同者）。如果你真的要深究這個問題，這就到了哲學層面，你就不能以數學和物理學來說明。當然你也可以在哲學層面思考這個問題同時捍衛非經驗主義的觀點。

不過我可以以一個簡單的例子來說明你的想像力的經驗性。你想像到了天使，你認為天使是這個世界上不存在的生物，所以你覺得你的想像力可以超脫現實。但我會告訴你，你想的天使是人的手腳，鳥的翅膀。你想像的龍也一樣，傳說中中國龍的來源是部落之間的統一。部落把別人部落的圖騰的一部分湊到自己圖騰上，因此形成了龍。它具有鹿角，蛇身，鷹爪。。。。。。

總的來說，人的想像力是有局限的，但是我們仍然可以發現一些我們幾乎不能直接理解的東西，比如量子力學。但是它的數學是很好理解的，所以我們可以把它的數學骨架反過來指導我們理解，這就產生了新的東西，新的理解。

費米說過，你看這數學公式，雖然它就那麼一行，但是要比我們聰明得多。

所以，數學，當然是可以直觀想像的。有的數學家說，他們其實一開始都像物理學家一樣想像的，獲得靈感與方向，但是他們必須在那之後給出嚴格的東西。

數學，也當然是可以直觀想像的，還因為，所有概念都來源於你的頭腦，而這些都是來自世界的映射。

把給你買了兩個棒棒糖，媽媽偷吃了一個，你還有幾個？

這樣的問題我兒子還沒開發出抽象思維能力的時候就會算了。

先選本好點的數理邏輯教材，然後想像力被各種邏輯上的奇行種按在地上摩擦幾次之後，你就會放棄數學可以靠直觀想像的幻想了。

先說說數學方程。

不是所有的數學方程都可以直觀化，因為人類只能想像三維（最多四維）的物體。但是數學方程是可以隨意寫出很多個變數的，這在統計學中非常常見，比如很簡單的多元回歸：

$Y=b0+b1X1+b2X2+b3x3+b4x4+b5x5Y$

你能想像一條在五維空間里的直線嗎？反正我是腦容量有限。

有時候，即使是在一維空間，也不是所有的方程都可以完全可視化。

比如說 $y=sin(sec(x))$

看到沒有，當x靠近 π/2, 3π/2 等等的時候，出現了很神奇的事情：函數不停地來回穿越x軸，多少次呢？無窮， infinite 。你給我想像一下試試。

還有很多這樣古怪的方程：

Blancmange curve 每處連續但是處處不可微。

我一般認為直觀的就是幾何，圖形之類的……

比如各類坐標系就可以直觀表示方程和函數……

行列式、矩陣、向量都可以用圖形表示（當然，對於這三者，圖形的形式、定義和意義都有些區別）……

矩陣可以用來表示二元關係及其運算，又可以將其表示為關係圖……圖的屬性反應在關係矩陣上，通過關係矩陣的計算，可以得到圖的性質，以及新的圖……

不嚴謹的說，矩陣和圖的關係，就像表達式和函數圖……分別是同一個問題的代數解釋和幾何解釋……

矩陣也是高元一次方程組的一種表達方式，N行M列的矩陣，可以表示為N條M維直線，其交點就是方程組的解（準確的說是交點的集，這個集是空集，就無解；有一個非空元素，就是單解；無數非空元素，就是無窮多解……）。對矩陣的計算、變換也對應圖形的變換（或者系的變換）

行列式，表示的是向量，也可以說N維行列式表示的是一個N維平行幾何體（比如二維的矩形、平行四邊形，三維的立方體，平行六面體……）。準確的說，是以一個N維超正方形的一個頂點為原點，該點的各邊為一軸正半軸，由原點指向軸上各邊另一點的有向線段為一N維向量，將其變換為另一平行幾何體，各向量的改變結果，就是行列式……

所以行列式的幾何意義之一，就是表達了一個N維平行幾何體，其值就是該圖形的有向體積（或者面積），而這個值的求法，也就是N個N維向量的向量積……

同理，矩陣也可以用來表達一個N維空間下的M維幾何體。（頂點不一定在原點）

而子式就是它在低維子空間的投影。

秩就是可以讓這個圖形的投影（子式）的X維體積不為零（非零），且最高維數的（最大）維數（的階）（也就是最大非零子式的階）。

比如一個平行四邊形，可以表示在三維空間，但是它的三維體積是零，但是這個三維空間內，總存在二維子空間，可以使這個平行四邊形的投影的二維體積（即面積）不為零……所以它的秩是2……

一條直線，也可以表示在三維空間內，但是他在任何一個三維空間的投影三維體積，和二維空間的投影的二維體積（面積），都是零。但是總存在一維空間，使其在其內的投影的一維體積（長度）不為零……所以它的秩是1……

總之，這些問題、屬性，都是有與之對應的幾何性質、幾何表達的……

我不是這個專業的……這是我之前學習中總結的……也可能錯的不少……還請各位前輩、同學多多教正……

我先用簡單的語言解釋下數字與數學。

無知的人類--quot;數字quot;與quot;數學quot;篇 - 知乎專欄

從某種角度，數學本身就反應了人的思想活動。

想像？那我們想像一下如何重新建立一套數學體系吧。

首先，我們需要通過觀察總結得到一套公理。然後以此為基礎進行推導論證……好像整個過程和想像沒有什麼關係。

在中國，原始的數學體系是這樣的：（還是自己來重新配圖吧）

不說大的問題

矩陣就是個袋子，單獨提矩陣真的沒意義……什麼東西都能往矩陣裡面裝的……

大三數學系，正在學拓撲和泛函。

大部分能夠用圖形直觀描述的都是在性質非常良好的歐式空間中進行。脫離歐式空間之後，再想用圖形建立直觀上的感覺極有可能進入一個誤區，而且大部分空間中無法建立圖形,無法直觀想像。

我想只有在一遍遍認真閱讀和理解後才能建立起對於抽象概念的直觀感受，而要建立起這些還需要不斷的學習更高的數學觀點，還需要時間上的積澱。

新一輪課改中，中學數學有六大核心素養，其中之一就是「直觀想像」，而我覺得直觀想像既是必要的，也是數學的魅力所在

almost sure ~ 你應該想的是，為什麼這個東東不可以直觀地想。萬物有靈，用你的靈氣讓它動起來。