如果不以極限的思想考慮微積分，微積分到底是什麼？

01-17

這個問題太智障了，感謝大家的回答與批評，還有一些不乾不淨的語言，我深深認識到自己的不足，請大家原諒我的弱智(我真的只想知道0.999……9的循環和1到底是一樣還是不一樣 )

謝邀：楊絳:「你的問題主要在於讀書不多而想得太多「。想不通的情況下那就看別人怎麼說：

如何看待關於 1 與 0.9999… 的大小的爭論？

這裡的回答夠清楚了。不要妄想什麼一口氣得到真理，你基礎很差，差到把微積分理解成「微不足道就可以忽略「這種水平，這是不及格的哦。沒有極限的微積分？那你為什麼不去做一碗沒有米飯的揚州炒飯？

怎麼辦？那就一點點學，搞清楚一個個概念，一個個題目，想不通就看別人怎麼說，和人多交流，不要動不動就「騙局」什麼的。難道閣下天資過人，超越古今所有人，看出了牛頓柯西以來的大陰謀不成。找一本好書，不帶有偏見地、認真地學。我相信任何一個智力正常，具有一定基礎的人都能在一年內學會微積分的基本知識，那時候你就明白這其實壓根不存在什麼忽略的問題，他們就是一回事。

如果想不通而不是質疑的話，請用「為什麼」而不是「憑什麼」。同時請不要用反問來提出自己的觀點，而應該採取客觀陳述，並保持謙虛的語氣。

在小學，中學以及非數學系的數學裡，實數是沒有嚴格定義過的，只有直觀的想像。實數的小數表示法，也只是直觀的，沒有嚴格定義。

在考慮一個你不熟悉的數學公式時，請先問是什麼（定義），再問為什麼。

你知道這每組裡的兩種區間之間有什麼區別嗎？

(1). $left [0 ,1 ight )$ 和 $left [0 , a ight ],forall ain left (0 , 1 ight )$

(2). $left [1 ,+infty ight )$ 和 $left [1 ,b ight ],forall b>1$

數學民科里有一類人，就是在不理解極限到底是啥，上面的區間到底有啥不同的情況下，開始跟你談微積分有什麼什麼缺陷，集合論有什麼毛病，數學課本上教都是騙人的，而且還你咋說都沒用，他認為你已被課本荼毒。。。。。。

我只能擺出這種表情ｏ（╯□╰）ｏ然後默默想著：如果買菜的時候要用微積分，是不是這種人就可以少一點了。。。

PS：「微積分的極限不是1就是0 」我想知道題主這句話從何而來啊？

題主可以去看看非標準分析，那裡有題主想要的。但是聽說很難很難。

哲學的說我們只是能定義兩者之間的一種 equivalence relation，這個 relation 滿足自反、對稱、傳遞以及 axiom of substitution （不知道這個怎麼翻譯），使得我們可以在很多時候不加區分地根據需要來進行替換。

那個 0.9999999 乘以 10 來證等於 1 的其實是個錯誤的循環證明。真正的證明其實都是在說兩者間能定義一個 equivalence relation 不破壞已有的實數域上的 operations。當然這又回到了 decimal system 和級數的收斂問題上了。

買回去讀讀吧。

不貴，不厚，不難，能解決你的問題。

其實題主可以認為0.9循環與1不同，這樣的世界觀並沒有問題。只是在數學上由於我們承認了實數系的公理如戴德金分割，可以理解成假設了實數系有一種結構，我們可以自然推出0.9循環與1相等。所以質疑這樣的命題等價於質疑實數域的構造，這當然是允許的。但同時數學並不關心這樣的質疑，而關心在一定的結構下，可以得到怎樣的結果。

同學還是回去好好看書吧，高數書上用了一整章講從數列極限定義拓展到函數極限，之後微分、積分的定義全部使用了極限。你可以不認可極限的思路，但是你就會無法理解微積分這門以極限為基本工具的課程，你微積分這門課就過不了。@_@

用初等數學的方法證明，什麼1＝0.999…兩邊除三或者兩邊乘9減原數，當然是對的，但是並不能幫你理解極限的本質，用數列極限或者級數求和證明，更是對的，但你極限是啥都沒整明白，估計也看不懂。

最後說一句，其他教材不知道，成電版《微積分Ⅰ》中有一句:…我們能證明，f（x）與其極限a的差距小於任意指定誤差。

即使用樸素的初等數學觀點，應該也能把0.999…9和1聯繫起來了吧。

講極限的人很多了，我就默默吐槽一句。。。

微積分的極限不是1就是0是什麼鬼。。。

最直觀一點任意一個為1的極限，左右兩端同時乘k，極限就為k。。。

騷年題目看得太少啦～

在沒搞懂極限之前研究微積分，這不就是第二次數學危機嗎？

認真講，數學規律不是客觀存在的，不像物理化學一樣，數學是一個人為創造的學科，所有數學體系都是由最基本的、無法也無需證明的公理出發，通過嚴密的邏輯推導得到一個又一個的結論。而微積分的邏輯推導必須有極限這個前置定義，非要拋開極限，求導的計算就不嚴密了，積分也只能變成近似。可以說，極限定義的引入，將微積分的計算從約等號划上等號。

至於0.9999…和1，如果你認為它不等，問題來了，兩者的差是多少？你會發現你寫不出來，或者寫出了一個無窮小量。無窮小量，好像又回到極限去了哦？這時候，最簡單的做法就是，稍微修改一下中小學的「相等」的定義，把兩個差為無窮小量的數定義為相等，這樣的修改不會給原有體系（也就是中小學數學）帶來任何矛盾，還順帶滿足了0.3333…×3＝1的問題，perfect！

0.999…和1的故事折磨了太多無辜的同學、青年，但最操蛋的則是一些心智很有意思的人，以一句「智商不行，理解不了就是理解不了了」來打壓？前者… 建議題主先靜下心來學學數學分析，弄懂極限概念，順便看看實數理論，簡單的康托爾集合理論及實無窮概念等，相信等你再回過頭來看你原來的疑惑時，大概已煙消雲散。題主現在的問題其實大概可以比喻成一個故事：有一天，一個叫小明的人對思維和自身的存在起了疑惑，自問，我是不是小明？叫小明的這個人是不是我？是不是叫小明的人都是我？(「寓意」？：語言和其指代物的聯繫和區別)p.s.抱歉，又讓小明躺槍_(:3」∠)_…

不用極限的語言，引入無窮小，然後直接定義無窮小的運演算法則，那也可以，是非標準分析的路子。可以看問題討論http://math.stackexchange.com/questions/51453/is-non-standard-analysis-worth-learning

陶哲軒的Blog也討論過，認為非標準分析雖然沒有新東西，但在有些問題上能簡化語言。

微積分是用極限定義的，準確的說，微分和積分都是一種極限。所以，微積分是不可能脫離極限的，極限一定會在其中。

客觀世界的隨時間的動態變化，微積分提供了解釋的基礎。這麼偉大的用來解釋這個世界的東西，在你眼中竟然只是1和0。

作為數學學弱給一點小小的建議：首先，不要仇視數學；其次，微積分的極限不只是1或0，只是可能目前你接觸到的只有這兩個；第三，現代數學體系建立在若干基本概念和基本規律比如公理之上並衍生出諸多分支，用於描述現實世界，到目前為止還沒有發現要用到數字但數學不適用的領域（本人學弱，如果有請指出）……再回到問題本身，1和0.999...之間相差無窮小量，但是無窮小量不影響計算結果因此不單獨列出，這樣極大簡化了數學公式定理的推導和應用過程中的計算。而問題中不以極限的思想考慮微積分，如果不承認極限那麼微積分等後續內容自然不成立，問題是在諸多領域微積分都適用，你還不承認極限豈不是掩耳盜鈴？！

正是極限的意義明確後微積分才真正的被嚴格定義。古典的微積分是有缺陷的。

1/3=0.3的循環

上式你覺得有問題嗎？為什麼？

弄清上面那個後

兩邊乘以3

???!(??????) ?

無限和有限，能相提並論嗎？