推導反函數求導法則的一個疑問？

01-16

為什麼有了條件「Δy趨近於0當且僅當Δx趨近於0」就可以把lim符號下面的「Δx趨近於0」換成「Δy趨近於0」了？像下面的圖中第二個等號左右兩邊那樣…
我現唯一能說服自己的就是用那個變數替換…但是感覺挺麻煩的…總感覺有什麼更直接的東西保證這個做法的正確性…所以想來問一下…

為啥當且僅當就是等價，為啥等價就可以換一下，這是個邏輯問題，而且高中應該是學過的。但是考慮到高中教育水平各地有很大的差別，所以我覺得大學數學教育應該從簡單的數理邏輯開始，要不然後面只能去背證明背定義了。

於是我推薦一本私貨Analysis I by Amann，一開始先講邏輯，再講集合，Birkhauser真該付我推廣費。。

就是反函數啊，把x表示成y的函數，剩下的不就是換元嗎

請允許我實名罵街，這怎麼還有說是「邏輯問題」的...這個事兒問的很好，很數學，應該嚴格的給人家證吧...

專業性強的問題不是那麼懂的話就謙虛一點...別瞎給人答...

什麼叫趨於，書上有定義。

當xn趨於x0時，yn趨於y0，這句話的意思是當xn-x0&<Δ的時候，yn-y0＜e（手機打字諒解，這裡是羅馬字母）。

所以在求極限的時候，當需要yn-y0＜Δ1，只需xn-x0＜Δ2，因此等價。

不知道聽懂了沒...簡單地說，求極限的定義本來就是取點列構造數列取數列極限。所以取點列的時候只要可以保證點列是好的，或者說是以其為聚點的就可以。

應該說明白了，如果還不太懂，可以回去翻一下函數極限的定義，數列極限的定義，回來一對照就行了。

支持 @MMMarvin 的答案。比我用自己的話啰嗦一大堆要高到不知道哪裡去了。

前三條回答答非所問，甚是遺憾。題主不需要你們再教他一遍反函數求導的推導，問的是具體這個替換是怎麼做的。

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事實上，關鍵在於要好好理解「當且僅當」。什麼是當且僅當呢？意思就是說，當1發生的時候2必然也同時發生，當2發生的時候1必然也同時發生。

就是說他倆是被捆綁在一起，永遠都要麼同時發生要麼同時不發生的。術語來講，就是他倆是「等價的」。

既然是這樣的關係，那麼在任何地方，互相等價的命題或條件永遠是可以相互替代的。完全不僅限於這一個例子里。因為「等價」就表明了他們不分你我。這並不需要證明，這只是完全自然的一件符合邏輯的事。

我是@cmy28

detaX和detaY是同階無窮小，題設中可導且導數不為0的條件告訴了這一點，所以可以替換

因為證明的前提條件給了"連續且單調"吧，這樣才能保證x1→x2當且僅當y1→y2

當且僅當的意思是Δx趨於0與Δy趨於0等價，等價可以互換，前面的Δx等於0那個條件是為了保證分母不為0