任何線性空間（有限維或者無限維）的子空間是否都有補？

例：已知線性空間U是線性空間V的子空間,求證是否存在線性空間W使得

U交W={0}

U+W=V

線代課上老師講完有限維後留下的思考題，我覺得無限維空間如果字空間也是無限的，就難以想像出來補空間了，還希望大家指導指導

謝謝

謝邀：是的，證明依賴下面的結果

(1) 任何線性空間都有一組基。

以上結果依賴於選擇公理，或者說Zorn"s Lemma. 然後可以

證明對於線性空間 中任意一個子空間 ，我們都可以找到它的補空間。

在泛函分析上，這種補叫「代數補」，因為這不涉及任何拓撲結構，只涉及代數結構。思路很簡單，找出 的基 ，然後可以發現商空間 也構成一個線性空間，自然它也有基 ，其中的每個元素本質上都是一個 模掉 後的等價類，不妨從商集(coset) 中任意選取一個元素 ,然後證明 是線性無關的，然後它和 一起構成 的基。這是一個思路，還有一個思路是基於：

(2) 任何一組線性無關的集合都可以延拓成一組基。

下面是具體的第一種思路的證明過程：

這裡附上結果(1)和（2）的簡單說明：

第二種思路比較直接，我就不多說了。