如何通俗解釋譜分解？譜分解有哪幾種方法？

01-16

數學譜分解

謝邀：要真正理解一般正規運算元的譜分解是困難的，你幾乎是繞不開「運算元代數」的，我現在說一下思路：

1:有界的正規運算元

設 $T$ 是希爾伯特空間上的有界線性運算元，它可以生成一個交換的 $C^*$ 運算元代數 $A_T$ ，而且它的極大理想可以和 $sigma(T)$ 構成的對應，因此我們可以有一個從 $A_T$ 到 $C(sigma(T))$ 的Gelfand map $Gamma$ ，而且這個映射是 $*$ 代數同構的，也就是說，反過來，我們隨便給一個連續函數 $uin C(sigma(T))$ ，那麼 $Gamma^{-1} (u)$ 是一個有界線性運算元，特別的，我們可以有 $Gamma^{-1}(1)=I$ , $Gamma^{-1}(z)=T$ , 假設 $sigma(T)={lambda_1,cdots,lambda_n}$ ，也就是說譜剛剛好是有限個點譜, 如果是一個矩陣，那麼它的譜肯定是點譜。那麼如果這個時候我們考慮函數 $chi_{lambda_i}$ ，也就是每一個點上的示性函數，在這個離散的情況下，這個函數是連續函數，所以我們可以構造 $E_i=Gamma^{-1}(chi_{lambda_i})$ ,不難證明 $E_i$ 是正交投影運算元，而且

$Tx:=sum lambda_i E_i x$ .

發現核心問題了嗎？對於一般的 $sigma(T)$ ,示性函數不是連續函數，也就是說Gelfand map沒用了，可是投影運算元是對應示性函數的，事實上設 $P$ 是投影運算元，那麼 $P^2=P$ ,如果它對應一個 $sigma(T)$ 的函數 $u$ ，那麼 $u^2(z)=u(z)$ ,所以在每個點這個函數只能是0或者1.

為了處理一般的運算元，我們需要引入 $W^*$ -運算元代數 $W_T$ ，本質上是 $A_T$ 在一個弱拓撲下的閉包，

最大的優點是可以讓 $Gamma$ 可以覆蓋示性函數從而得到

$Tx:=int lambda d E_lambda$ （這裡也從離散和變為一般的積分）

「一般的對稱運算元「

首先根據上面的結論，對於任何unitary運算元 $U$ ,因為它的譜肯定在一個圓環上，我們可以找到一個譜分解

$U=int_0^{2pi} e^{i heta} d F_ heta$ ，

然後對於任何無界的對稱運算元 $A$ ，Cayley 變換 $B=frac{A-i I}{A+iI}$ 是一個unitary運算元，也就是說

$B=int_0^{2pi} e^{i heta} d F_ heta$ ,如我們引入定義 $lambda=-cot( heta/2), E(lambda):=F( heta)$ ，那麼變換可以把一個圓環拉成實數軸，這個時候

$U=int_{mathbb{R}}frac{lambda -i}{lambda+i} dE(lambda)$ ,

如果我們定義運算元

$C=int_{mathbb{R}} lambda dE(lambda)$ ，

可以證明 $C=A$ ，這裡主要需要一些Cayley變換和對稱運算元的一些性質。

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這種「通俗易通」地學習是容易的，但是卻沒啥價值，我這裡引用一下某個數學家的話：一個東西如果你自己不能用，舉不出例子，那麼你就壓根沒學會。

謝邀。

很慚愧我泛函學得不怎麼樣，沒法像dhchen那樣做深入淺出的分析。對我來說，譜分解就是有限維線性代數中「復正規矩陣都可以酉對角化」這個結論的無窮維推廣；在無窮維Hilbert空間中，對角矩陣的類似物就是乘法運算元（把每一個函數乘以一個固定的函數f給出的運算元），那麼譜分解定理可以表述為：對於Hilbert space H上的normal operator A（我實在不喜歡正常運算元這個翻譯。。），存在某個緊Hausdorff拓撲空間X (我不記得這個X是不是就是A的spectrum)，以及unitary equivalence $phi:H o L^2(X)$ , 乘法運算元 $F:L^2(X) o L^2(X), gmapsto gf$ for some $f in C(X)$ ,使得 $A=phi^{-1}circ Fcirc phi$ .

這是我本科的泛函老師給出的一種比較簡單的解釋，實際上就是說無窮維的normal operator也是酉等價於「無窮維對角矩陣」（也就是乘法運算元）的，只是你要把空間換一下。當然也可以基於譜測度或者運算元代數去理解，像dhchen解釋的那樣，我不怎麼懂泛函就不多說了。

給個參考文獻。

Paul Halmos 的這篇評註文章： What does the spectral theorem say?

http://www.math.wsu.edu/faculty/watkins/Math502/pdfiles/spectral.pdf

討論了dhchen 和 yuhang liu的兩種說法 (spectral measure version and the multiplication version of the spectral theorem) 的聯繫。基本讀懂不需要太多的運算元理論。文章在引入乘法運算元(multiplication operator) 以後，還提到了線性代數中的矩陣對角化用乘法運算元的語言寫出來是什麼樣的，很「通俗」。貼個開頭：

不認為你要理解譜分解就得了解運算元代數，恰恰相反為了理解運算元代數可以反過來通過矩陣和傅里葉變換來增進直觀。正規運算元/矩陣之所以可以譜分解是因為他生成的C*子代數可交換，說人話就是他本身的定義而已。正規矩陣酉相似對角型就是譜分解，傅里葉級數展開也是譜分解，就是分解成他們的特徵/特徵向量的疊加

如果把矩陣理解為線性變換，譜分解將矩陣分解為以特徵向量為列的矩陣和含有特徵值的對角矩陣。特徵向量表示了此線性變換的主要變換方向，而特徵值表示對應特徵向量的重要性。

譜分解在多元統計中也有重要應用，可了解主成分分析，所謂的PCA。