為什麼π是3.1415926...？

01-16

為什麼π是3.1415…而不是3或者4呢？
簡單點說，在二維的圓中，周長為直徑的π倍，然而在升維後，三維球中，表面積卻為截面圓面積的4倍，這不合常理啊…
難道跟空間的構造有關？

那麼我們不妨來討論一下，對於一個n(&>1)維的球，(n-1)維球面的表面積，和(n-1)維截面積的比。

(n-1)維球面的表面積是： $S_{n-1}(R)=2pi^{n/2}R^{n-1}/Gamma(n/2)$

(n-1)維截面積，等於一個(n-1)維同半徑球的體積： $V_{n-1}(R)=pi^{(n-1)/2}R^{n-1}/Gamma((n+1)/2)$

而它們的比值等於 $2pi^{1/2}Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2)$ ，其中的前幾個值為：

n=2： $pi$

n=3：4

n=4： $3pi/2$

n=5：16/3

n=6： $15pi/8$

n=7：32/5

題主一定發現 $pi$ 出現與不出現的規律了^ ^~至於通項公式的話，需要區分n為奇數偶數的情況將Gamma函數在分別情況下的表達式帶進去，也是可以寫出來的。謝邀啦。

其實吧.... $pi$ 真的可以是4....

給你看一篇老文,探討了不同距離定義下的圓周率,很早以前寫的,奇葩之處無視好了.

再來一張圖:

感覺我啥也沒說....我還是匿了吧....

用最通俗的辦法來講

因為與圓柱相比，球的截面圓大小是各不相同的，圓與圓之間存在「斜度」

所以

即使圓柱的包括直徑的那個長方形截面面積乘圓周率所得結果即圓柱的側面積

但

球的大圓（即包括直徑的那個截面圓）乘圓周率所得結果並非圓的表面積

題主可能認為π就是圓的周長除以直徑

但是周長的定義是什麼呢？

所以π的定義最好是用三角函數結合極限來定義

那麼這個極限的有理性就值得懷疑了。