你研究的數學領域，有哪些重要但是不出名的猜想？

01-16

不出名的標準，大概是數學裡別的領域的人不太知道的這種程度吧。黎曼假設，BSD, Hodge 猜想這種就不用說了。另外請多說兩句，別扔個猜想的名字就跑。

我做代數動力系統，方向比較新，裡面的猜想都不怎麼有名。

有一類比較有意思的是類比算數中的猜想提出來的。

1。一致有界猜想。說對於任何正整數d,D,n，存在一個常數C(d,D,N)滿足下麵條件。

若K是一個數域，在Q上擴展的次數是D， $f:mathbf{P}^n o mathbf{P}^n$ 是一個定義在K上的degree= d的endomorphism。那麼f 最多有C(d,D,N)個定義在K上的預周期點（i.e.說一個點是預周期的，當且僅當它的軌道是有限的）。

這個猜想的一個推論是POONEN的猜想

存在C&>0, 有對於任何有理數c， Q到自己的映射 z-&>z^2+c有最多C個周期點。 POONEN甚至猜想了C具體是多少，好像實4還是5，我忘記了。

另一個推論是阿貝爾簇上的一致有界猜想。這個在橢圓曲線的時候是已經被證明了。

總的來說這個猜想是非常open的，現在除了橢圓曲線的情況，似乎沒有任何非平凡的結果。

2.DYNAMICAL MORDELL LANG猜想。

如果X是一個quasi-projective的復代數簇， f:X-&>X是一個endomorphism. V是X的子簇， p是X的一個閉點。那麼集合 ${n|,, f^n(p)in C }$ 是有限個等差數列的並。

這裡一個數我們也看成公差是0的等差數列。

這個猜想是類比阿貝爾簇的MORDELL LANG猜想的類比。另外一個動機是為了推廣 Skolem–Mahler–Lech theorem. 這個定理說，如果a_n是C上的一個數列滿足線性遞推關係 $a_{n+l}=c_0a_n+dots+c_{l-1}a_{n+l-1}$ 那麼集合 ${n|,, a_n=0}$ 是有限個等差數列的並。

DML猜想對可以推出SML的非線性版本，即如果a_n是C上的一個數列滿足遞推關係 $a_{n+l}=F(a_n,dots,a_{n+l-1})$ ，其中F是一個多項式，那麼集合 ${n|,, a_n=0}$ 是有限個等差數列的並。

DML主要有幾種情況是被證明了,

1）當f是etale的時候，這個是BELL-GHIOCA 和TUCKER證明的。他們用一些p-adic 方法做的。

2 ）當X=C^2的時候。這個是我證明的。這個還可以推出 $f=(F_1(x_1),dots,F_n(x_n)):A^n o A^n$

其中F_i是一元多項式， V是一條曲線的情況。

3.） BELL,GHOCA,ZIEVE，......的一些文章證明了 $f=(f_1(x_1),dots,f(x_n)):=(mathbf{P}^1)^n o (mathbf{P}^1)^n$ ， f_i是單變數有理函數，且滿足各種技術條件，且V是一條曲線的情況。

3. Dynamical Manin Mumford猜想。這個應該是張壽武提的。不過這不是一個很確切的猜想，應該說是一個問題。

如果X是一個quasi-projective的復代數簇， f:X-&>X是一個finite endomorphism. V是X的子簇。記 Preper(f) 是f的預周期點的集合。那麼如果Preper(f)與 V的交在V中是Zariski稠密的。那麼V是預周期的，除非有一些幾何上的原因。

這個猜想對阿貝爾簇上的乘2映射，就變成了經典的MANIN MUMFORD猜想，現在是Raynaud的定理。

經典的MANIN-MUMFORD有好幾個證明除了Raynaud的證明外，還有張壽武,ULLMO用等分布證明了更強的Bogomolov猜想，後來還有HRUSHOVSKI用差分方程給的證明和PILA,ZANNIER用模型論中OMINIMALITY給的證明。

DMM知道的情況不多

1）FAVRE和DUJARDIN在f是C^2上的automorphism，且|Jac(f)|不等於1的時候證明了這個猜想。

2）GHIOCA, Nguyen 和葉和溪解決了 $f=(f_1(x_1),dots,f(x_n)):=(mathbf{P}^1)^n o (mathbf{P}^1)^n$ ， f_i是單變數有理函數的時候。

他們的方法是基於張守武的idea，利用動力系統的等分布來做的。

4. 張守武，AMERIK-CAMPANA,MEDVEDEV-SCANLON 的猜想，

說K是特徵0代數閉域。 X是訂一張K上quasi-projective的代數簇, f是定義在K上的，X上的(rational) endomorphism. 那麼或者X有一個K點，他的軌道是ZARISKI稠密的，或者存在一個X上的非常值有理函數G，有 f^*G=G。

在K不可數時，這個是簡單的。這是AMERIK-CAMPANA的定理。但是K可數，比如是代數數域的時候我們知道的情況不多。

1）. $f=(F_1(x_1),dots,F_n(x_n)):A^n o A^n$ , 其中F_i是一元多項式. 這個是MEDVEDEV-SCANLON的定理，證明基於模型論。

2）. X=A^2的情況。這是我證的。

3）. AMERIK證明了如果f不是有限階的，那麼存在一個點，他的軌道是無窮的。

5 榮格定理說所有的C^2的同構都是仿射變換和初等變換的複合。初等變換是 (x,y)-&>(x,y+P(x)) 這樣的變換，P是一個多項式。

一個問題是，這個定理對C^n, n&>2是否成立。 n=3時被證明不成立。證明相當複雜。 n&>3時大家猜想是不成立。但還是OPEN的。

23/01/2017：update了問題7

1. $(M,omega)$ 是Weinstein manifold， $Lsubset M$ 是任意一個exact Lagrangian torus，則 $[L]in H_n(M;mathbb{Z})$ 是primitive homology class。

Seidel用代數方法可以證明某些Liouville manifold中的Lagrangian sphere具有primitive homology class。假設homological mirror symmetry成立，可以對某些log Calabi-Yau surface證明這個猜想，然而對Fukaya category of compact Lagrangian證明HMS是個困難的問題。

另一方面，Gromov在exotic $mathbb{R}^4$ 中構造了exact Lagrangian torus，因為 $H_2(mathbb{R}^4)=0$ ，因此這個torus的homology class vanish。不過Gromov的exotic $mathbb{R}^4$ 並不具有Weinstein structure，甚至沒有Liouville structure。

2. $(M,omega)$ 是Liouville manifold (completion of Liouville domain)，它的skeleton $Lambdasubset M$ 定義為用negative Liouville flow retract $M$ 後得到的子集。假設 $Lambda$ 限制在smooth loci上isotropic（包括Lagrangian），那麼 $M$ 上是否存在與Liouville vector field compatible的Weinstein structure?

注意，根據McDuff的工作，存在Liouville manifold $M$ 使得 $H_i(M;mathbb{Z}) eq0$ 對 $i>n$ 成立，而Morse theory告訴我們對任何Weinstein manifold，所有大於middle degree的同調消沒（對於affine variety，可以在Voisin的書里找到證明，Weinstein情形類似）。因此假如不加上 $Lambda$ isotropic的假設，上述猜想不成立。

3. 是否存在一個Liouville manifold $M$ ，使得symplectic cohomology $mathit{SH}^ast(M) eq0$ 是有限維的？相應地，是否存在一個non-compact Lagrangian submanifold，它是wrapped Fukaya category $mathcal{W}(M)$ 中的object， $mathit{HW}^ast(L,L) eq0$ 且是有限維的？

McLean證明了對於n-dimensional的smooth affine variety $A$ ， $mathit{SH}^ast(A)$ 的growth rate有個upper bound，depend on $dim_mathbb{C}(A)$ 和 $A$ 的compactifying divisor。Ritter找到了non-exact的symplectic manifold的例子使得 $mathit{SH}^ast(M) eq0$ 且是有限維的，他的例子都是non-compact convex toric variety，我找到了更多這樣的例子，並且 $M$ 不必是toric的，也不用convex的限制。感覺這樣一個Liouville manifold應該不存在。問題的第二部分只不過是第一部分的open string counterpart。

4. 假設 $(M,omega)$ 是 $2n$ -dimensional completion of stable symplectic filling of contact boundary $(V,xi)$ ，並且 $M$ monotone。假設 $H^{2j}(V;mathbb{Q})=0$ 對 $lceil n/2 ceilleq jleq n-1$ 成立，是否有 $j=lceil n/2 ceil$ th quantum power of first Chern class滿足 $c_1(M)^{star j}in H^{2j}(M;mathbb{K})subsetmathit{QH}^{2j}(M;mathbb{K})$ ，其中quantum cohomology上的grading理解為reduced grading， $mathbb{K}$ 是代數閉域。

這不是大範圍內關注的問題，然而我個人對這個問題感興趣因為這關係到是否能在stable filling情形證明open closed map的image non-trivial，從而得到對Lagrangian embedding的限制。在我的工作中我假設了這個條件成立，並且用這個trick證明了non-triviality。我驗證了這個條件對許多情形成立，比如 $M$ 是total space of split vector bundle $mathcal{O}(-m)^{oplus n_1} ightarrowmathbb{CP}^{n_2}$ ，其中 $mn_1leq n_2$ 。注意，對一大類contact toric manifold，用Gysin sequence可以證明 $H^{2j}(V;mathbb{Q})=0$ 對 $lceil n/2 ceilleq jleq n-1$ 成立，是否能對這些contact boundary的stable filling證明上述條件成立呢？

5. 假設 $M$ 是Liouville manifold，且 $Lsubset M$ 是exact Lagrangian torus，是否有 $mathit{SH}^ast(M)$ 的growth rate &>1？

對任何filtered directed system可以定義growth rate，因此這是個algebraic的概念，一般用來measure一個無限維的graded vector space（通過pass to direct limit定義）距離locally finite graded有多遠，而&>1一般說明不是locally finite graded。我這個猜想和Seidel-Smith的一個定理有關，他們證明了如果一個Liouville 4-manifold裡面存在Lagrangian torus $L$ (不必exact) 滿足 $mathit{HF}^ast(L,L) eq0$ ，則 $mathit{SH}^ast(M) eq0$ 。也許我可以在一年內給上述問題一個否定的回答？

6. 假設smooth affine hypersurface $Asubsetmathbb{C}^{n+1}$ 同時是個affine conic bundle over $mathbb{C}^{n-1}$ ，那麼不存在從 $K(pi,1)$ 到 $A$ 的exact Lagrangian embedding。

在一些特殊情形，比如 $A_k$ Milnor fiber，已經知道這是對的。證明依賴於Seidel在categorical dynamics上的idea。我正在考慮這個問題，希望自己能在不久的將來給一個肯定的回答。原因在於對這些affine conic bundle有很好的homological mirror symmetry (restrict to compact core)的interpretation，從而可以把compact Fukaya category identify成quiver algebra···不能再說更多。相關進展：https://arxiv.org/pdf/1611.06849.pdf

7.是否存在一個smooth affine variety $X$ ，使得存在exact Lagrangian embedding $Q ightarrow X$ ，其中 $Q$ 是hyperbolic manifold。

考慮 $T^ast Q$ ，根據Margulis的結果，它的symplectic cohomology $mathit{SH}^ast(T^ast Q)$ 具有growth rate $+infty$ ，而McLean證明了對任何affine variety $A$ ， $mathit{SH}^ast(A)$ 的growth rate $leq n$ 。因此任何cotangent bundle of hyperbolic manifold都不是affine variety。假如你認為growth rate是local property，則或許可以從Viterbo restriction map的角度導出non-existence。從Legendrian Kirby calculus的角度可以考慮存在性：假如能在 $A^2$ 的contact boundary上找到right-handed trefoil knot，就可以證明genus 2 Lagrangian surface的存在性。對於某些Milnor fiber of non-isolated singularity，比如 ${x^2y^3+z^2=1}subsetmathbb{C}^3$ 我們已經可以找到left-handed trefoil knot。

Update 我想我已經有辦法證明在 $pgeq5$ 時affine surface $M_p={x^p+y^p+z^2=1}subsetmathbb{C}^3$ 中存在genus 2 exact Lagrangian surface。方法是使用A"Campo method找到Milnor fiber of 2 variables ${x^p+y^p=1}subsetmathbb{C}^2$ 的vanishing cycle的intersection pattern。因為 $M_p$ 是其stabilization，所以它的vanishing cycles有相同的intersection pattern。這樣可以得到6個具有特定intersection pattern的Lagrangian sphere。經過7次Lagrangian surgery可以得到一個genus 2的Lagrangian surface。因為我不知道這個結果有什麼用，所以暫時還不準備寫下來。有時間可能寫個知乎專欄說說細節。

我來提一個我們領域我最熟悉的猜想吧。事實上不是一個猜想，而是一大套綱領。

假設我們有一個映射 $F:M imes[0,T) o N$ ，這裡 $N$ 是一個n維的流形， $M$ 是一個某個維數小於 $n$ 的流形，且這個映射滿足方程 $frac{partial F}{partial t}=-vec{H}$ （這裡 $vec{H}$ 是映射後作為子流形的平均曲率），那我們稱這個映射是一個平均曲率流(MCF)。我們可以把這個幾何流看成從某個子流形出發，每一點往它的平均曲率反方向流動的這麼一個幾何流。

MCF是一個非常自然的幾何流，因為 $N$ 中的極小子流形都是MCF的靜止解，即在這個流下保持不動的解。類比到線性拋物方程或者熱方程或者Ricci流，從任何一個給定的子流形出發，我們總期望最後這個幾何流可以將這個子流形流到一個極小子流形。在Ricci流下這個想法是非常成功的，最終導致了三維Poincare猜想的證明。

以下的敘述如果沒有特別聲明，都考慮 $M$ 是 $N$ 中的超曲面的情況，因為對於余維數大於1的情形我們基本上不知道什麼結果。

現在說說問題在哪裡。核心的問題當然就是會出現奇點了。事實上MCF幾乎必定出現奇點。當然有奇點也不怕，如果能夠了解奇點的具體信息，還是有可能讓MCF一直流下去的。事實上在Poincare猜想的證明中，Pelerman最後殺死比賽的進球就是細緻地分析了早年Hamilton解決不了的一類奇點。而四維Ricci Flow之所以現在進展不是很大，也正是因為四維的Ricci Flow奇點太壞，很難分析清楚。

回到MCF，我們能不能讓MCF「自然地」流過奇點？

首先我們想對奇點有好的了解。首先奇點的數量大概不能太多，比如在時間上應該要是離散的。這個是Colding-Minicozzi的結果。在空間上應該是有比較好的維數估計的，這點最早從Brakke就開始有大量的工作，我相信主要的部分是由White解決的；通過對奇點做Blow up分析，我們知道奇點可以由所有的歐式空間中的homothetic的解分類，這些解被稱為self-shrinker。self-shrinker的分類一直是個很困難的問題（類比一下就是極小曲面的分類……非常困難），所以其實對於可能出現的奇點我們的了解還非常非常少。

這些問題都很值得研究。不過根據Colding-Minicozzi在09年後的一系列的結果，在歐式空間中，有所謂熵穩定的self-shrinker只可能是各種廣義的圓柱體 $S^k imesmathbb{R}^{n-k}$ 。根據Huisken早年的結果，他們甚至證明了mean convex的完備self-shrinker只能是各種廣義的柱體。所以可以想像，通過微小的擾動或者一開始的曲面就是mean convex的話，我們實際上只需要考慮流的過程中只出現圓柱體這樣的奇點。於是問題就來了：

一、這個擾動能不能進行？想像上似乎我們可以把不穩定的奇點通過擾動消解掉，那就只有穩定的奇點了。實際上大家沒什麼嚴格的辦法說這件事；

二、如何讓MCF流過這些圓柱體的奇點？因為這些奇點是熵穩定的，肯定是不能通過擾動消失了。所以在幾何上、拓撲上通過這些奇點意味著什麼，現在還是謎；

三、假設MCF能有辦法流過這些奇點，那最終流向什麼東西？我們當然希望是極小子流形，但（這個我是聽人說的了）即使是從某個離一個極小曲面非常接近的曲面開始讓MCF流，很有可能最終這個曲面並不會流到這個靠的很近的極小曲面。所以最終會流成啥還是一個謎。

以上就是MCF的幾個綱領性的問題，目前的工作也基本上都是在圍繞這幾個問題展開。下面說幾個這些問題如果解決可能帶來的Bonus：

零、找極小曲面。

一、在複流形上找代數曲線。

二、在Calabi-Yau 3 fold上找Special Lagrangian submanifold。這點很神奇，是有人發現了如果從Lagrangian submanifold開始用MCF流，那麼對於所有的時間都是Lagrangian的，即MCF會保持Lagrangian這個條件。

三、研究各種子流形的拓撲。想法自然是我們用MCF去流它，如果有奇點我們做surgery，那麼最後總會拆分成一個一個小原子子流形，那麼再把它們拼起來就能得到原來子流形的拓撲了。

四、MCF其實可以用level set的語言來描述，這其實是一種構造MCF的弱解的方法（另一種主要來自於幾何測度論的想法）。在某種意義下來說，每一個MCF的定理都能找到一個對應在level set flow中的定理。所以以上的研究對於我們理解level set flow也是有幫助的。

以下幾個不知道有多出名，但是肯定比不上題目里的幾個

1.section conjecture：令X是K上一光滑proper curve with geunus 大於等於2. K是一數域。 $overline{x}$ 為其上一geometric point。我們有自然的群映射 $pi_{1}^{et}(X,overline{x}) ightarrow Gal(overline{K}/K)$ 。

X上的 $K-$ rational point $a$ 會決定上面映射的一個section:注意到a給出一個映射 $Spec(K) ightarrow X$ ，這誘導fundamental group上的一個映射 $phi: Gal(overline{K}/K) ightarrow pi_{1}^{et}(X,overline{a})$ 。這裡 $overline{a}$ 是 $a$ 對應的一個geometric point。考慮一個同構 $f : pi_{1}^{et}(X,overline{a})xrightarrow{sim} pi_{1}^{et}(X,overline{x})$ 。於是 $fcircphi$ 給出上面那個映射的一個section（up tp conjugacy）。也就是說，一個有理點給出一個section（up to conjugacy)。section conjecture就是說這個是個一一對應。

至少Grothendieck那時就已經知道這個對應是個injection，不過surjectivity才是難的地方。Grothendieck期望這個東西能推出Mordell conjecture但是好像還沒有人能證明這個implication。

2.Tate-Shafarevich：令 $E/K$ 是一橢圓曲線,用 $mathcal{M}$ 記 $K$ 的所有nonarchimedean place的集合。Let $G=Gal(overline{K}/K)$ , $G_{v}=Gal(overline{K_v}/K_{v})$ ,for $v in mathcal{M}$ .於是我們有映射 $H^1(G,E) ightarrow H^1(G_v,E_v)$

其Tate-Shafarevich群定義為： $Ker(H^1(G,E) ightarrow Pi H^1(G_v,E_v))$

而Tate-Shafarevich猜想就是說這個群是個有限群。

眾所周知， $H^1(G,E)$ 可以被等同於 $E$ 的所有（principal）homogenous space的集合，而裡面的trivial element剛好對應到有有理點的homogenous space（即isomorphic to $E$ 的）。於是T-S conjecture可以翻譯成對於給定的 $E$ ，那些對所以 $v$ 都有一個 $K_v$ -rational point但是沒有 $K$ -rational point的homogenous space只有有限多個。

這個應該可以看成local-global principle對一般variety的破缺在橢圓曲線情況下的一種補救？

3.說到local-global principle，我記得曾經看到過如下更一般的猜想：令 $K,mathcal{M}$ 同上。令 $V/K$ 是一數域上的variety，那麼最多只有有限個variety $V$ （up to $K$ -isomorphism）,使得對每一個 $vin mathcal{M}$ , $V$ 和 $V$ 在 $K_v$ 上同構但是不在 $K$ 上同構。

不過我不記得在哪裡看到的了，也不記得是誰提出來的。。。。。。

暫時就這些吧。。

最近在丟番圖逼近領域混跡，發現了一些之前不知道的大猜想。它們有一個特點，就是咋一看還以為是已經解決很久的經典結果。

第一個是Duffin-Schaeffer猜想。他是考慮下面這個Dirichlet定理的變體：

假設 $Psi: mathbb{R}_{geq 1} o mathbb{R}_{geq 0}$ 是一個連續函數。對於實數 $x$ ，是否存在無窮多個既約有理數 $p/q$ （ $q >0, (p,q) =1$ ）使得

$|x - p/q| < Psi(q)$ 。

當 $Psi(q) = q^{-2}$ 時，這就是Dirichlet定理：對於任意的實數 $x$ ，都有無窮多個有理數滿足不等式。

對於一般的情況，Duffin-Schaeffer猜想斷言：只要級數 $sum_{q=1}^{infty} varphi(q) Psi(q)$ 發散(其中 $varphi(q)$ 表示比 $q$ 小且與 $q$ 互質的正整數的個數)，那麼對於幾乎所有（相對於Lebesgue測度）的 $x in mathbb{R}$ ，都存在無窮多個有理數滿足不等式。

是不是感覺很驚訝，這麼簡單的問題都還沒解決。是的，而且還是在有很多人努力嘗試解決這個問題的情況下。

對於 $x^2 Psi(x)$ 是單調遞減的情況，這就是著名的Khintchine定理：我們只需要級數 $sum q Psi(q)$ 發散就夠了。

這個問題的困難也是熟知的，就是在應用Borel-Cantelli引理的時候要證明對於不同的有理數 $p/q$ 和 $p$ ，事件 ${x: |x - p/q| < Psi(q)}$ 和 ${x: |x - p$ 具有某種「獨立性」。這個難點在 $x^2 Psi(x)$ 單調遞減時比較容易解決。

第二個是Wirsing-Schmidt猜想。也是有Dirichlet定理推廣而來。我們考慮的是由代數數來逼近超越數的問題。對於一個超越數 $x$ ，我們想考慮用代數數 $alpha$ 逼近 $x$ 的速度。關於代數數我們有兩個量來衡量它的複雜程度，第一個是代數數的degree（記作 $deg alpha$ ），也就是它的極小多項數的次數（對於有理數，degree就是1）；第二個是代數數的height（記作 $H(alpha)$ ），也就是它的極小多項式的各項係數的絕對值的最大值（對於有理數，height就是它的分母的絕對值）。Dirichlet定理說的是對於任意的無理數 $x$ ，都存在無窮多個有理數 $alpha = p/q$ ，使得 $|x - alpha | < q^{-2}$ 。注意到這個 $q^{-2}$ 就是 $H(alpha)^{-deg alpha -1}$ 。所以在代數數的框架下，Wirsing-Schmidt猜想就做出了下面的斷言：

對於任意一個超越數 $x$ ，以及任意一個 $n$ ，都存在一個常數 $C >0$ ，都存在無窮多個degree小於或等於n的代數數 $alpha$ ，滿足 $|x - alpha| leq C H(alpha)^{-n-1}$ 。

這個猜想可以看作Dirichlet定理在代數數框架下的自然推廣。這個猜想目前只有 $n=1,2$ 時被證明了，一般情況都沒有結果。

最近比較痴迷分形和幾何測度論, 也接觸了一些看起來不太能證明的猜想:

1. Kakeya Conjecture:

在n維歐式空間中的一個集合 $Ksubsetmathbb{R}^n$

如果對於任何的 $omegain S^{n-1}$ 我們能找到一條 $omega$ 方向上的單位長度的線段, 那麼 $K$ 的Hausdorff維度是 $n$

對於 n=2 的情況, 這個猜想成立, 但是高維的情況是一個非常困難的問題, T. Wolff, J,Bougain, T.Tao, B.Green 等人均在此問題作出一些進展, 現在最好的一般結果是在n維空間下 K的Hausdorff維度至少是: P(n)n, P(n)是一些小於1大於0.5的正數.

Kakeya conjecture | What"s new

2.Visible part conjecture:

對於一個在n維歐幾里德空間中的集合K, 如果這個集合的 Hausdorff維度是 $sleq n$ 那麼我們有 Marstrand－Mattila定理, 對於n維空間到 k維空間的投影, $pi K$ , 在幾乎所有的方向上投影的Hausdorff維度是 $min{k, dim_H K}$

除了投影, 我們可以考慮visible part, 直觀上說就是在某一點上能被看到的部分, 準確的說就是對於一個點 $xinmathbb{R}^n$ , 對於經過 $x$ 的任何的射線 $L$ , $Lcap K$ 集合如果非空, 那麼距離x最近的點就是基於x的可視點, 所有的基於x的可視點就是基於x的 visible part.

猜想內容: 對於緊緻集合K 對於幾乎所有的點x, 基於x的visible part 的Hausdorff維度是 $min{k, dim_H K}$

對於一些特殊情況, 比如K是一類特殊的 self similar set 上述猜想成立

https://arxiv.org/abs/1004.5067v1

3. Self similar set with overlap

Self similar set 是一類特殊的集合, 在分形理論裡面佔據重要的一部分,

Self-similarity - Wikipedia

我們想要計算 self similar set的各種維度, 但是對於一些複雜的情況, 比如 self similar map存在overlap 計算難度十分的巨大, 目前最好的結果如下, 就是如果維度不能用一個公式計算說明self similar map 中存在收縮超越指數級的間距

https://arxiv.org/abs/1503.09043

相應的猜想是: 就是如果維度不能用一個公式計算說明self similar map 中存在嚴格的0間距.

復動力系統里有一些很有名但是不像黎曼猜想那麼有名的猜想，懸而未決已將近百年，

1. Fatou猜想：存在一個黎曼球面上的有理函數，它有非平凡的Julia集(非平凡指既不是空集也不是全集)，並且Lebesgue測度大於0。

最近Buff, Cheritat (2012, Ann. Math) 證明了Fatou猜想，他們找到了一個二次多項式滿足猜想。對於任意degree的有理函數仍未能找到一般的構造方法，因此對於其他degree 能否找到這樣的例子依然open。

2. DH猜想：考慮degree為d的有理函數，所有雙曲有理函數在參數空間里是開且稠密的。

Mcmullen曾建議把該猜想命名為「Fatou最後定理」，但因為Fatou的論述與該猜想的現代形式並不完全一致而作罷。DH意思即為density of hyperbolicity。該猜想也被收錄在Smale的「21世紀的18個數學問題」中。目前開已被Mane, Sad和Sullivan (1983, Ann. Sci. ENS)證明，稠密性依然懸而未決。

以上是一維復動力系統的猜想。高維的復動力系統的歷史不過三十年，裡面的猜想就更不太為人所知了。

3. Non-wandering domain猜想：所有P^k上的全純自同態的Fatou分支都是non-wandering的。

這個猜想比較自然是因為k=1的時候是Sullivan的偉大的傑作，直接導致了對Fatou集上的動力系統的完全分類。人們期待類似的non-wandering定理在高維也成立。最近Astorg, Buff, Dujardin, Peters. Raissy (2015, Ann. Math) 找到了一個二維的反例。在高維事情沒有那麼完美，但是我們仍然希望non-wandering定理能對儘可能多的動力系統成立。

4. J=J*猜想：對於complex Henon map, J是它的Julia set，同時有一個使測度熵最大的測度miu，令J*=supp(miu)，則

J=J*。

目前對雙曲Henon map知道結果正確，以及有一些其他部分結果。

5. 最近老闆告訴我一個Milnor的猜想：P^2上存在一個全純自同態以及一個非平凡的整體attractor(非平凡指不是全集也不是有限個周期點), 滿足Fatou集為空。這裡的attractor是測度意義下的：http://www.scholarpedia.org/article/Attractor。

Orlov"s folklore conjecture

Let $X$ be a smooth projective variety admitting a full exceptional collection(of line bundles), then $X$ is rational variety.

之所以說是folklore conjecture,就是說大家都認為這是對的，但是證明卻很困難，一維的情形是平凡的，二維情形的證明都沒有。這也是我自己比較關心的猜想，也把它作為我的長期目標。下面我主要來談談在二維的情形，這個猜想的一些進展。首先注意到的是這個猜想的逆命題是真的：

Let $X$ be a rational surface, then it admits full exceptional collection(of line bundles).

S.Brown 和I.Shipman 在特殊情況下，證明了二維的猜想：

Let $X$ be a smooth projective surface admitting full strong exceptional collection of line bundles, it is a rational surface.

我想簡要說說證明的關鍵點。一般來說，證明一個光滑代數曲面是有理的，最常使用的是Castelnuovo"s rationality criterion, 也就是說如果能證明 $h^1(O_X)=h^0(2K_X)=0$ ,就行了。證明 $h^1(O_X)=0$ 是不難的：只要有一個非零rank的exceptional objects就行了，而在我們整理，存在exceptional line bundle, 所以這點是可以達到的。而直接得到第二個等式是比較困難的。一個自然的想法是如果 $-K_X$ 是strictly effective的，那麼可以得到 $h^0(2K_X)=0$ . 這確實是一個不錯的想法，事實上，如果exceptional collection of line bundles 同時是cyclic strong exceptional collection of line bundles, 那麼我們確實可以得到 $-K_X$ 是effective的，從而得到 $X$ 是有理曲面，而進一步，在這個情形下，我們甚至可以得到這個曲面是weak del Pezzo surfaces:

Theorem: Let $X$ be smooth projective surface admitting cyclic strong exceptional collection of line bundles, then $X$ is rational surface, moreover, it is a weak del Pezzo surface.

也就是說，在這個情況下， $X$ 是 $mathbb{P}^2$ blow up at most 6 points in almost general position or $mathbb{P}^1 imesmathbb{P}^1$ and $mathbb{F}_2$ . 這是我與我的合作者證明的一個定理。

而我們知道，一般情況下， $-K_X>0$ 是非常難以達到的，存在許多有理曲面 $-K_X$ 並不是effective的。這時，我們需要另闢蹊徑，而這也是BrownShipman的貢獻之一，他們採用的是如下邏輯：證明 $X$ 是uniruled, 而 $h^1(O_X)=0$ 意味著rationality. 而如何證明 $X$ 是uniruled呢？我們需要證明 $X$ 上有所謂free rational curve. 而這個很幾何的條件是可以從strong exceptional collection of line bundles 得到的：我們考慮一個strong exceptional pair $(O_X,O_X(D))$ , 只要 $D$ 是一個effective divisor whose $h^0(D)geq 2$ , 那麼線性系統 $|D|$ 就有moving component,並且 $D$ 的每個reduced irreducible component 都是smooth rational curve. 這樣我們就有free rational curve了。而full strong exceptional collection of line bundles 的存在性可以保證我們從可以在exceptional collection 中找到這樣的 $D$ 。從而完成這個證明。

事實上，仔細分析他們的證明，我們可以去掉strong exceptional collection是full的條件，而加強為：

Let $X$ be a smooth projective surface admitting strong exceptional collection of line bundles of maximal length, then $X$ is a rational surface.

而這個命題的一個有趣的推論就是在很多我們已經熟知的general type surface with $q=p_g=0$ 上，儘管是存在exceptional collection of line bundles of maximal length, 但是這樣的exceptional collection 永遠不可能是strong的。

然而，這與二維的folklore 猜想依然存在差距，因為在原猜想中，我們只是假設exceptional collection 是full的，並沒有加上strong的條件，而且exceptional collection中的對象可以是很一般的對象，導出範疇中的對象可以是很複雜的complexes, 一般的sheaf，而line bundle實在是太特殊了。但是目前的狀況是，即使是在full exceptional collection of line bundles 的情況下，這個猜想都沒有證明。由於我自己對這個猜想很感興趣，也仔細考慮過這個猜想，至少我在我的工作中已經證明了如下定理：

Let $X$ be a smooth projective surface such that $rkN^1(X)leq 3$ admitting a full exceptional collection of line bundles, then $X$ is a rational surface.

也就是說當 $X$ 的picard rank 比較小的時候，並且exceptional collection都是由line bundles 組成的情況下，可以得到這個猜想的證明。當然注意到當picard rank 是1的時候，這個猜想是well known的，也就是 $Xcongmathbb{P}^2$ . 這個定理的有趣推論是：

Let $X$ be smooth projective surface, then $X$ is a Hirzebruch surface if and only if $X$ admits full exceptional collection of line bundles of length 4.

也就是說，給出了Hirzebruch surface的一個導出範疇的刻畫。

證明的主要idea 還是BrownShipman。關鍵要找出這樣的 $D$ such that $h^0(D)geq 2$ 。最最關鍵的是要想想如何從exceptional collection 是full的這個條件得到一些effective divisor $D$ ,也就是說如何得到一些exceptional line bundles之間的 $Hom$ 是非平凡的。我的想法是使用了Alexander Kuznetsov 發展的一套用來探測所謂Phantom category的計算hochshild cohomology of derived category of coherent sheaves的spectral sequence的工具，由這些工具能夠推出exceptional collection 中必然有一些非零的 $Hom$ . 不過遺憾的是，目前，我無法用這些工具得到這個猜想的全部情形的證明。我和我的一個合作者最近的工作就是設法以初等的方式來理解為什麼fullness 這個條件能夠推出non-trivial的 $Hom$ 的存在性

我研究的領域中還有幾個猜想與這個猜想緊密相關

1 有理曲面上沒有幻影子範疇(Phantom category)

2 有理曲面上的exceptional collection of maximal length 都是full的

我跟我的另一個合作者在這個假期試圖證明這個猜想2在exceptional collection of line bundles的情形以及一些高維的類似命題，也取得了一些進展。

下次，我可能會寫寫我比較感興趣的李鐸最近的一項有趣的工作，所謂categorical Kobayashi theorem:

[1711.07129v2] Categorical characterization of quadrics

想要了解這些問題，以及問題的具體的內容，其實找一本書就可以了，就是這本《10000個科學難題—數學卷》出名的不出名的都有。收集有一萬個猜想以及猜想的具體內容。夠題主看嘍。

這本書挺厚挺貴，不想買？我們的中華人民共和國教育部，科學技術司把（非掃描）電子版文檔給大家免費提供下載了，只是沒人下載而已啊。。。地址在這：http://www.moe.edu.cn/s78/A16/A16_ztzl/ztzl_kxnt/kxnt_sgxz/201512/t20151218_225337.html

對了，看完答案去下載這書的同學，不點個贊再走么……

沒人點贊的話，唔，那就讓這個答案摺疊吧。。。

寫一個我碩士階段嘗試過的猜想. Udo Simon conjecture: 設 $M$ 為單位球面 $S^n$ 中的緊緻極小曲面，如果誘導度量 $ds^2$ 的高斯曲率 $K$ 滿足 2/k(k+1) $leq Kleq$ 2/k(k-1), 其中 $kgeq 2$ 是整數。則 $K$ 必是常數2/k(k+1)或2/k(k+1).

在1980年，在New Orleans的調和映射會議上Berlin大學教授Udo Simon根據Lawson的剛性定理提出了關於球面中的極小曲面的猜測。

在1969年，通過計算第二基本形式的Laplacian和利用Takahashi定理，Lawson證明了 $k=2$ 情形。

1984年， M. Kozlowski和Udo Simon使用同樣的方法證明了k=3情形。

1988年，J. Bolton等人在全無歧點(totally unramified)情況證明了任意 $kgeq 2$ 情形。

在2008年，本人的碩士導師與合作者使用陳先生和Wolfson發展起來的調和序列方法給出了k=2,3的新證明，並證明了1/7&< $Kleq$ 1/6時， $K=1/6$ ，以及得到其他的一些結論.

本人對這個問題也思考了很久，目前仍具有本質困難。

先講幾個不用碼公式的吧。雖然他們對學跟幾何有關的東西的人都是熟知的，不過其他領域的專家可能就沒聽說過了。

1.每個偶數維非負曲率Riemann閉流形有正Euler數(除掉平凡的例子)。

按評論區，補充一點說明，通常Hopf猜想是指正曲率的情況，但非負曲率對應的猜想除了平環面似乎也還沒有其他反例。

2.緊的rank&>1的對稱空間上沒有正曲率度量。

特別地S2×S2上沒有這種度量。

3.2k維aspherical閉拓撲流形的Euler數如果非0，就和(-1)^k同號。

上面三個稱作Hopf猜想，據我所知，他們都沒有被完全解決。

4. K-stable Fano流形上有Kahler-Einstein度量。

這個曾經被稱為Yau猜想，去年剛剛被解決。現在大概該叫CDS定理了。當然你也可以把他叫Tian定理。這段故事就不用我講了吧。

5.想講講Novikov猜想，但是不想碼公式23333

6.補充一個Yau猜想:每個近複流形上都有復結構。

Moret-Bailly猜想，由Laurent Moret-Bailly（L. Moret-Bailly）提出，具體介紹見https://www.math.u-bordeaux.fr/~fpazuki/index_fichiers/MBChern.pdf。Soulé有過一個介紹該猜想的短課，On the Arakelov theory of arithmetic surfaces (1/4)。

ABC猜想，費馬大定理和Mordell猜想都是該猜想的推論。進一步，如果該猜想可以給出Effective的版本，那麼ABC猜想和Mordell猜想亦可。

我完全不懂望月新一的那一套理論，不過據懂的人說，那套理論並不能撼動該猜想。

1988年，宮崗洋一在費馬大定理上翻船，也是詐證了該猜想。

1. Campana-Peternell猜想。這個猜想是說切叢nef的Fano流形一定都是rational homogenous space，它等價於要證明nef的切叢都是globally generated。詳細的介紹可以參見A survey on the Campana-Peternell Conjecture。在代數幾何裡面，這個猜想可以看成Mori證明的Hartshorne猜想的進一步推廣。在微分幾何裡面，Hartshorne猜想對應Siu-Yau證明的Frankel猜想，其微分幾何的推廣就是Mok證明的廣義的Frankel猜想。為了證明Campana-Peternell猜想，Mok跟Hwang發展了現在稱之為VMRT（variety of minimal rational tangents）的技術，這個工具後面發現也可以處理很多其它的問題。詳細的介紹可以參考Hwang在ICM的報告 Mori geometry meets Cartan geometry: Varieties of minimal rational tangents。

2. Peternell猜想。這個猜想起源了古典的Kodaira代數逼近問題，即所有的凱萊曲面都可以被代數曲面光滑逼近，但是在高於四維的時候，Voisin構造了反例，使得某些凱萊流形不能被射影流形光滑逼近，最近有一系列的工作在證明三維的時候Kodaira問題也是成立的（剩下的一個情形是Kodaira維數為2時還未證明）。高維的一般情形現在主要就是Peternell猜想，即對於所有的Kodaira維數非負的凱萊流形，都存在一個雙亞純的Kahler space with at worst terminal singularities使得其存在一個代數逼近。特別的，這個猜想提供了實現所有的Kahler群為projective群的方法（現在已經在3維證明了所有的Kahler群都是projective群）。

最近在弄resurgence和complex Chern-Simons, 我就來說一個扭結理論里的吧，叫volume conjecture.

記 $O$ 為unknot, 對於任一hyberbolic knot $K$ , 定義其Kashaev不變數為： $left( K ight)_N= lim_{q ightarrow e^{2pi i/N} }frac{J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}$ ，其中 $J_{K,N}(q)$ 為 $K$ 的N-th colored瓊斯多項式。猜想如下：

$lim_{N ightarrow infty }{frac{2pi ext{log}left| left( K ight)_N ight| }{N} } = ext{vol}(K)$ ，其中 $ext{vol}(K)$ 是 $S^3$ $K$ 的雙曲體積。

這個猜想是Kashaev在1997年通過觀察 $4_1, 5_2, 6_1$ 這幾個扭結的不變數而提出的，它因為聯繫了量子拓撲（Kashaev不變數通過quantum dilog表示）和雙曲幾何而重要。

近來因為與帶復規範群的微擾Chern-Simons理論的聯繫（由Murakami在2001年指出），在物理上也逐漸拋頭露面。物理上，因為 $SU(2)_k$ 表示的最高權解析延拓了，所以 $SL(2,mathbb{C})$ 復平坦聯絡對路徑積分的漸進展開產生貢獻。

最早涉及它的物理文獻應該是Gukov的Three-Dimensional Quantum Gravity, Chern-Simons Theory, And The A-Polynomial，他提出了猜想的推廣：Chern-Simons的level $k$ 也進行解析延拓，聯繫了A-polynomial和spectral curve.

Gukov最新的Resurgence in complex Chern-Simons theory又用推廣的猜想和resurgence的方法，把瓊斯多項式分圓域展開的拉普拉斯變換和Siefert流形上3維 $mathcal{N}=2$ 超對稱場論路徑積分等價。

另外在Witten的Analytic Continuation of Chern-Simon Theory中，最後也提到了解析延拓之後的Chern-Simons不變數的虛部和hyperbolic volume成正比。

謝邀。

既然夏神提到了正曲率方面的Hopf猜想，而我老闆恰好是正曲率方面的專家，所以說一點正截面曲率相關的東西吧（是截面曲率啊，不是Ricci或者別的）。

現在發現的（嚴格）正截面曲率的緊流形的「非平凡」例子，只有24維以下的。25維以上現在只知道CROSS（compact rank one symmetric spaces，具體寫出來就是round spheres, CP^n, HP^n, CaP^2，這些被稱為「平凡」的例子）。所以一個非常樂觀的猜想是：25維以上的緊流形如果容許嚴格正截面曲率，那麼它就同胚於（或者至少同倫等價於）某個CROSS。

現在取得比較接近這個猜想的結果，是如果維數充分大，且流形上面有一個cohomogeinety相比維數比較小的等距作用，且容許正曲率，那麼該流形同倫等價於CROSS。具體寫下來是如下定理：

Theorem 4.1 (Wilking). If M^n admits a positively curved metric with an isometric
action of cohomogeneity k ≥ 1 with n &> 18(k + 1)^2, then M is homotopy equivalent to a
rank one symmetric space.

反正現在大家對正曲率流形的了解應該是很少的。上面那個猜想，如果是對的，就表明正曲率有很強的rigidity，說不定可以把所有容許正曲率的流形都具體寫出來（即完全的分類）。如果是錯的，那意味著我們可以在高維找到非平凡的正曲率的例子，而有趣的例子永遠是好的數學。總之不管結果如何我們都不虧～

我來講一個吧，計算複雜性裡頭的一個猜想，準確地說是一類猜想，叫direct sum conjecture/direct product conjecture. 計算複雜性就是研究計算一個函數，或者完成一個計算任務所需要的資源。假如說給定一個函數或者計算任務, 對於一個輸入（比如說計算任務是計算一個函數f, 輸入x, 任務就是要算出 f(x)）需要的計算資源是 c. 問題就是，如果現在有k的獨立的輸入，最壞情況需要的資源是不是必須是 kc. 進一步假設，如果對於一個輸入，使用完c個計算資源，成功的概率小於１，　比如說是 2/3，那麼對於k個獨立的輸入，允許使用 kc個資源，全部成功的概率是不是（2/3）^k, 或者說成功概率跟k成指數關係呢？

Direct sum conjecture

完成k個輸入，需要的資源是 k c.

Direct product conjecture

一個輸入成功概率是2/3，那麼完成ｋ個輸入，允許kc 個資源，全部成功的概率跟k 成指數關係。

這是一類猜想。因為這裡並沒有具體說是什麼是計算資源。那麼在不同的計算模型和計算資源下，就有不同的猜想。這個猜想在有的計算模型下是錯的。最簡單的例子，比如把內存空間當做計算資源，我可以一個一個地計算每個輸入，重複使用內存空間。對於其他的一些計算資源，這個猜想是成立的，比如說在經典/量子決策樹模型下的把決策樹深度當成計算資源，也有叫查詢複雜性（query complexity）和量子查詢複雜性（quantum query complexity）。還有一個模型，互動式證明中的一類game，叫 two-prover one-round game。在那個模型下這個猜想是對的，這就是Parallel repetition theorem. 這個是PCP定理里核心的一步。PCP定理被認為是計算複雜性理論從誕生至今最重要的幾個定理之一。（我看過一個說法，計算複雜性從誕生至今就出現過2個最重要的定理，第一個是NP-complete, 就是Cook, Karp 發現了最開始的那幾個NP完全問題。第二個就是PCP定理了。對於這種說法，我不完全贊同，但可見其重要性。）

還有一個比較有意思的計算資源就是通訊複雜性（communication complexity）. 這個模型簡單地說就是有兩個人A 和 B， A 拿到x, B 拿到 y, 然後他們要計算 f(x,y)，問題是他們至少需要交換多少個比特信息。交換的比特數就是我們關心的計算資源。通訊複雜性根據成功概率分為確定型和隨機型的。確定性的就是最終不允許出錯。這個模型下的direct sum conjecture 跟計算複雜性里中的線路複雜性下界相關。而這個屬於計算複雜性中的老大難問題，P vs NP 就是關於線路複雜性下界中的一個問題。隨機型就是允許最終以小概率出錯。關於這個過去幾年一直有進展，但問題還是沒有被徹底解決。有意思的是相關進展主要是利用香農的資訊理論。同時它又發展了香農的資訊理論，把香農的資訊理論推廣到非漸進情形，交互情形下。導致現在資訊理論里出了一個新的分支，one-shot information theory/interactive information theory. 而且對這個猜想的研究，還給了人們做其他一些貌似不想關的方向新的思路。比如分散式計算，大數據計算中的streaming algorithm, 線性規劃和半正定規劃等。

數學裡面有兩大類猜想，一類是說最好的東西長什麼樣子，有多麼好。一類的最不好的那一些東西再差也差不過什麼樣子。

等周不等式或者一些特徵值下界估計都是考慮一個體系的平衡態能有多好。都是考慮最好的東西能有多好，而不是最差的東西再差也不能差到什麼樣子。這種東西morally都比後者容易

而考慮最差的東西也不會太差這種猜想，因為好的東西都是一樣的，差的東西各有各的問題。。。，就難得多，比如臭名昭著的kakeya猜想。好的東西都是一樣的，但是有的體系裡面還有差的東西，比如john pardon對於gromov扭結那個問題舉出的反例。再比如我昨天看到的跟凸體有關的問題，實際上我們可以對於amonge ampere方程考慮特徵值問題，這是一個變分問題的最大值和最小值，最大值在球取到，morally就是等周不等式。最小值人們猜想在正方體取到。。。但是明顯難得多的多得多。。。。

Rota"s conjecture:In any finite field, representable matroids have finitely many excluded minor

前兩年被系裡的大佬宣告證完，但是證明太長有幾百頁還在整理

如果學過圖論里的minor就知道 Robertson–Seymour的Graph Minors Theorem 有多重要，可以（在理論上）characterize所有minor-closed的圖的集合，而Rota"s conjecture就是在matroid上的推廣。在實數域上可表示的matroid已經知道性質非常糟糕，根本不可能有類似的結果，但是在有限域還有一番天地

猜想是對open problem往一個方向猜的結果，稍微離題講一個有趣點的東西吧。

我們都知道工程上我們處理很多幾何體是利用一些三角形網格來替換真實的三維空間中的幾何體表面，利用四面體網格來替換真實的幾何體。比如下圖（圖片來自於"A SIMPLE MESH GENERATOR IN MATLAB"

當然，我們很多時候也會使用六面體網格來取代幾何體，用四邊形網格來取代幾何體的表面。

現在有一個自然的問題，是否能找到一個演算法，對於一個四邊形網格，這個演算法能夠判斷這個四邊形網格是否是一個六面體網格的「邊緣」？對於存在的情形，能否生成它？

搞工科的很多小夥伴可能能夠理解這個演算法的實際意義，講道理我這個學數學的其實不是很懂這個演算法的實際意義。大概是在一個幾何體表面鋪一張網，程序就能夠自然而然地跑出其內部構造?想想貌似還是很令人激動的。

嚴格的數學表述是：對於一個R^3中的緊緻連通集合，其邊界是一個2-流形，Q是2-流形上的一個「四邊形網格」。「四邊形網格」的定義即由一組「四邊形」「連結」而成（連結 = 兩個相交四邊形僅允許在頂點處相交，或者共享一條邊；四邊形 = 一般意義上的平面凸圖形），現在要尋求一個演算法，對於這種四邊形網格尋求一個六面體網格（類似定義，注意六面體的每個面都必須是」平面「，即四點共面）的邊界（即邊界上的四邊形是奇數個六面體的一個面）。

這個事情到目前為止貌似還是一個open problem.不僅如此，對於一些異常簡單的幾何體目前也沒有分劃方案，比如以下三個：

但是Jeff Erickson 14年發表的一篇論文"Efficiently Hex-Meshing Things with Topology"似乎邁出了很大的一步。（上面的圖就來自於這篇論文）

Erickson證明了，如果我們放低對網格的要求，不要求六面體的每個面的四個點一定共面，那麼這麼一個演算法是存在的。並且他從數學上給出了所謂」拓撲六面體網格「存在的等價條件：

對於偶數個閉的（Z_2同調意義下的）面組成的拓撲四邊形網格（為什麼是偶數個，原因很簡單~），存在一個拓撲六面體網格的邊界是它的充要條件是：

1）每一個Q上的零調子圖都有偶數條邊

2）Q的對偶Q*零調

（這些表述不準確，也不準備具體解釋這是啥意思，看paper去吧~總之意思就是很輕鬆就搞出來了）

並且他對於存在拓撲六面體網格的情形，給出了生成演算法。（見paper)

至於一般的幾何六面體的情況，據我所知到目前還是一個open problem.貌似大家都覺得還需要一些條件。

自由邊界的正則性問題:

考慮經典的單相自由邊界問題（one-phase free boundary problem):

$left{ egin{array} ext{ Delta u=0 } ext{ in }Omega:={u>0},\ |<br /> abla u|=1 ext{ on }partial Omega. end{array}<br /> ight.$

Caffarelli 的成名作始於這個問題的正則性研究，見：H. W. Alt, L. A. Caffarelli, Existence and regularity for a minimum problem with free boundary. J. Reine Angew. Math. 325 (1981), 105–144.

從變分的角度看，需要尋找關於能量泛函

$E(u, B)=int_B | abla u|^2+chi_{{u>0}}dx$

的穩定臨界點，即二階變分

$frac{d^2}{dt^2}Bigg|_{t=0}E(u(x+tPhi(x)), B_R)geq0$ ,

其中 $Phi(x):mathbb{R}^n ightarrow mathbb{R}^n$ 為光滑向量場，並且 $0 otin supp(Phi)subset B_R$ .

猜想：當 $nleq 6$ 時，方程唯一的穩定齊次解只有： $u=(xcdot u)^+$ .這裡 $u$ 是自由邊界 $partial{u>0}$ 的外法向。

假如這個猜想是對的，那麼標準的處理自由邊界問題的邊界爆破技術（blow-up) 直接就能給出邊界不包含奇點。

n=3的情形：被Caffarelli，Jerison, Kenig給解決了，見 L. A. Caffarelli, D. Jerison, C. E. Kenig, Global energy minimizers for free boundary problems and full regularity in three dimensions. Noncompact problems at the intersection of geometry, analysis, and topology, 83–97, Contemp. Math., 350, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

n=4的情形：2015年由Savin，Jerison解決，見D. Jerison, O. Savin, Some remarks on stability of cones for the one-phase free boundary problem. Geom. Funct. Anal. 25 (2015), no. 4, 1240–1257.

n=5,6情況至今還是open。從n=3到n=4用了十年的時間就可見這個問題的難度，據說Caffarelli本人想了很多年都沒有結果，上次暑假開會的時候Savin又提起這個猜想。

值得一提的是 $ngeq 7$ 這個結果是不對的，這個是從極小曲面著名的simons cone給出的，所以高維數的自由邊界是不能排除奇點的存在的。