如何理解泊松求和公式？

函數在所有整數點的和等於其傅里葉變換在所有整數點的和。有沒有直觀或深層的意義？

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泊松求和公式可以從不少角度理解，這裡說一個我覺得最自然也是最直觀的。

開始之前我們需要指出，泊松求和公式顯然只能是在一定意義下對一類成立(對於一般的函數左右兩端的求和都不一定有意義)。我們考慮比較自然的 Schwartz space，。此時均為光滑速降函數，上式兩段求和都是絕對收斂的。

而對於一個上定義的Schwartz function ，我們有兩種比較自然的方式將其『周期化』，也就是構造出一個上的函數與之對應：

第一種方法就是直接選的整點值作為的傅里葉級數的係數，於是此時

。

第二種呢，考慮到速降，我們可以把在每一個整數網格裡面的值都拿出來加起來，得到的函數總是收斂的，此時

。

顯然兩種情況都給出了一個我們想要的周期函數，那麼這跟泊松公式有什麼關係呢？

泊松公式告訴我們這兩種方式得到的和是一樣的！事實上，泊松公式僅僅只是這個特例而已。而驗證的過程就給出了泊松求和公式的一個證明，這裡買個萌留給有興趣的讀者作為練習^_^

P.S. 我可能會在某些地方漏掉個什麼的大家不要在意這些細節。。

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首先要強調對史瓦西空間函數的傅里葉變換是穩定的，泊松求和適用於這個函數空間及其對偶空間。其次如果把整點（每n取點）換成每Tn取點，T為一個正實數，那麼這個summation等價於在其傅里葉變換函數每1/T*n 取點的summation，就是取點頻率換了。T=1的時候取點頻率才是一樣的。

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一種規律拆解，可總結一些顯性規則。

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我不懂數學啊。我只知道這個公式說的貌似是，時域周期延拓等效於頻域採樣。

數字通信中，對於帶限PAM傳輸，如果輸入符號序列是全1，符號速率足夠（好像是超過1/2倍Nyquist速率），那麼輸出就是直流。好吧沒有太多用處。也不是完全沒有。

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