能不能在數學上證明芝諾的烏龜是錯誤的，還是說芝諾的烏龜在數學上沒問題？ ?

01-16

拿人追得上烏龜的證明來證明芝諾的烏龜是錯誤的，那就好比拿光的波動性來證明光微粒性是錯誤一樣的！因為追不上和追得上從兩個不同的角度來說明能否從芝諾的角度來證明芝諾是錯誤的呢（在數學上）？

1+0.1+0.01+0.001+0.0001+……

芝諾說，這是無窮大，所以追不上。

然而數學家說，這不就是10/9么？

因為芝諾沒有無窮的概念。就沒有函數收斂的概念，沒有無窮數列求和的概念。芝諾默認無窮數列求和一定發散。所以他當然認為是追不上的。

這是一個極限的問題

人同烏龜之間有距離S，人到達烏龜原位置用的時間是T1，這段時間裡烏龜走的距離S1S

1是一定小於S的因為人跑得比龜快，記人每次到達烏龜原位置的時間分別為T1234``````n

Tn時間內烏龜向前跑得距離為Sn。會發現Sn,Tn越來越小直到趨於零

將T1到Tn累加得到T，時間T就是人追上烏龜的時間。所以這個悖論的正確表述方法應該是

在人追上烏龜前人追不上烏龜

芝諾論證的錯誤之處在於它使用了一個被他認爲是理所當然的前提——無窮次的追趕需要無窮多的時間（永遠追不上），——然而這個前提是錯的。

記得小學做數學應用題的時候陷入過這個陷阱，後來琢磨明白了，有沒有發現，當你無限細分下去的時候，時間也跟著趨近於靜止了，就想你播放視頻一樣，將視頻無限放慢，慢到視頻完全暫停了，視頻中的人物自然就沒法運動了，不運動還怎麼前進？

不妨設二者距離為xn，設初始情況x1。

人速度為v1，烏龜速度為v2，其中v1&>v2。

先看第一次追及：

人追上x1耗時t1=x1/v1，這段時間烏龜前進了x2=x1/v1*v2，即二者的新距離

整理一下，x2/x1=v2/v1

接下來的情況可以看成初始距離是x2求x3，以此類推，得到x(n+1)/xn=v2/v1

方便起見，我們設k=v2/v1從而x(n+1)=xn*k

所以xn=x1*k^(n-1)

誒我們發現xn恆正且趨向於（極限是）0呢！所以難道芝諾說的是對的？

我們來關注一下另一個東西，時間。

同樣的演算法可以得到tn=xn/v1

所以tn=x1/v1*k^(n-1)

求和Tn=∑tn=x1/v1*(1-k^n)/(1-k)

如果n很大很大到無窮大（n→＋∞），Tn就趨向於（極限是）x1/[v1*(1-k)]

代進k，T=x1/(v1-v2)

（事實上就是用普通追及求的答案）

我們對xn求和再求極限還可以順便求出人運動的距離S=x1*v1/(v1-v2)

因此芝諾悖論說的是

人以v1速度追前方x1距離遠的以v2速度移動的烏龜時，在追到S=x1*v1/(v1-v2)前（注1），或稱在時間到T=x1/(v1-v2）之前（注2），人追不上烏龜。

這不是廢話嘛。

因為在S處、當T時就追到了啊。

注1：按芝諾悖論的描述，人每次運動距離xn趨於零，經上述計算其和不會超過S（就是S）

注2：按芝諾的描述，有和S相同的原因。

我在另外一個問題里回答了這個，比較詳盡。

http://www.zhihu.com/question/20371450/answer/133155941

1+0.1+0.01....

再特么無窮我走到2的時候也追上了

提供另一個思路，歡迎探討。可以將運動想像成離散的。在某個時刻人跨出一步後總是會超過烏龜跨出一步後的位置，於是就追上了