數學，是否應該按照教科書的體系和順序來對定義和定理進行學習？另有哪些高效的學習方法？

01-16

做題，做題，還是做題。

然後，獲取高分數，取得好成績

再然後，考入名校（數學系排名也得頂尖的那幾個）

就可以接觸到大家和名師，然後再接觸到其他頂尖的知識（不是每個人都有這樣的機會）

最後，每日沉浸在數字的海洋里無法自拔。

當然，即便以上都做到了，也未必能成為數學家，努力之外還需要天份。

（我參加過奧數，也拿過名次，也很努力，但在數學這塊依舊沒有天份）

個人體驗還有一種方式就是按照數學概念發展史來學習數學。注意，不是那種說某某人在几几年發明了什麼東西的歷史，而是闡述了現今概念的初始形式，以及人們是如何不斷完善它的過程史。

數學，從知識的陳述方面來看，大家因課本而結緣的嚴密邏輯性，對這們學科的套路來說，已無他類了。但從數學家們的思想來看，卻有兩大不同派。以羅素為代表的人認為數學就是「蘊含命題」的集合，都是在公理的基礎上的證明推理，這類思想家使數學脫離了經驗的局限，演變成這個樣子。而龐加萊為代表的人認為數學思考則是一種培養出來直覺，比如他說「沒有直覺 ,年輕人在理解數學時便無從著手，他們不可能學會熱愛它 ,他們從中看到的只是空洞的玩弄的詞藻的爭論，尤其是 ,沒有直覺 ,他們永遠也不會有應用數學的能力」。

教材的數學知識編排順序，是按照概念的邏輯性來的，後面的都是依照前面的幾個概念作為基礎通過邏輯推演出來。據我觀察，這種方式如果對於一個天生邏輯很強，喜愛抽象的人來說，是非常好的，他們本來就熱衷於邏輯，符合天生的審美取向。

然而，讀數學史和數學原著就會發現，數學概念卻不是按照這種邏輯順序發展出來的，它們的演變過程反應出一些很符合普通人的思維方式。我概括出了如下幾個規律：

1 很多新概念的提出，起於有解決問題的需求，才激發人開始這方面創造研究，發展的時候會跟我等「凡人」一樣也會經過試錯的過程。

2 初始概念先是實用上被接受的（數值驗證），被嚴格證明是後來補充起來的。

3 人們觀察到好多個別、跨領域的案例有表觀上的相似性，於是投入到普遍規律的尋找工作。

4 數學家創造的思維過程，也是先通過歸納觀察一些例子，得出個推廣的猜想，然後去舉正反例驗證這個猜想，當發現大量例子支持了這個猜想後，便認為這個猜想是比較可靠的，然後就可以著手尋找證明。這其實是用科學那套實驗歸納方法。

第1個，參考納皮爾發明對數，是因為當時計算乘法的方法，利用三角函數的性質來把乘法轉換成加法計算，納皮爾想找到更好的一種函數來代替笨拙的三角函數，於是發明了對數，而它的產生不是按照課本上指數概念推到出來的，當然課本更簡潔。

第2個，歐拉的書中見得多，當時無窮小卻沒人能良好定義，而歐拉就大膽用它去推出了各種函數的冪級數，所以他還不知道級數的收斂性，但這些不靠譜的冪級數公式，不妨礙用來造準確的三角數值表。

第3個，高等數學課本中的泰勒級數那節，會讓很多人覺得莫名奇妙，心理想為什麼突然冒出個這種東西，為什麼我們要證明它，其實按照歷史來說，什麼三角函數的冪級數，有理函數的冪級數，對數函數冪級數之類都是先於泰勒級數就被找到了，而且已經開始運用於近似計算了，泰勒級數就是後來總領概括它們的普遍規律，像是點睛之筆。

第4個，我們不停地刷題，但很少接觸到創造，相關領域的第一個命題是怎麼提出來的？答案從課本教材里是找不到的，但很多數學家都探討過這個問題，很多原著中都會提及，比如推薦一本書，波利亞的《數學與猜想——合情推理》。

普通人的思維方式基本都是觀察，總結，猜想，試驗，反饋這個套路。從數學概念的發展史來看，解決數學問題與其大致的框架差不多，主要差別就在於受過數學訓練的人比沒受過訓練的人多了一套專業直覺。這樣，回歸到問題的開始，學習數學，就是先培養一些簡單、基礎的直覺，形成「合情推理」的能力，然後經過練習發展出更高級的直覺，未得出真相卻能猜測出七八，按照這個套路一層一層向上構建你的經驗大廈。而培養直覺有個非常好的方法是從演化、歷史中啟發，比如模仿歷史名人的創作，研究前人互相批判，前人犯錯的經驗等等。

當然，這並不是說我們就搜集有趣的知識碎片，或者說比嚴謹簡潔的教科書要好，主要是因為想寫給還迷茫的大多數群體，對於他們來說，這個學習方式的好處就是每一步都很有意思，能明白明天要學的知識有啥啥意義，以後可以在哪裡用的上。從沒興趣到有興趣，從不會用到會應用，就是巨大的飛躍。而對於有更高追求的人來說，自然還是得接受系統化的正規訓練。

好的教科書是啟發式的教育：先從定理的結果開始：提出問題，用定理解決應用問題，讓學生先充分體會到定理是如何應用的，感受到定理非常有用和有趣，有興趣之後再來看定理是如何被推導出來的。我們的教科書大部分是按部就班的介紹定義和定理，以至於我們學完了課程，不知道這些定理是幹什麼用的，沒有場景感，不能形成深刻的印象。

對於一個對數學感興趣的成人來講，高效的學習方法是這樣的：

首先建立一條數學線，讓數學在大腦里形成一個行進的路線。
學習或者補充數學基礎知識，比如極限、連續、導數、積分，像背小九九一樣，不用問為什麼，記住定理就好。這是數學的基礎部分，比如高等代數、線性代數，這些都是基礎知識。
深入到專業知識，就要問為什麼？有什麼應用？需要多了解定理的背景，激發興趣。
由淺入深地讀書。一本書能看明白定理，就不用看證明了，定理證明是為了進一步理解定理的內容服務的，關鍵是掌握思想。

下面講講什麼是數學線：

基礎數學大體可以分為分析線、代數線、概率、拓撲線：

分析線：研究的是連續的對象。

數學分析：研究微積分。
實變函數：把數學分析的理論進一步深入提高，深入極限理論，測度理論。實變函數是為泛函分析做準備的。
泛函分析：重點講空間理論。把數學理論體系放到一個框架里，具備某種同類性質的函數建立了一個空間，深入分析這類函數的性質。比如通過內積引入了幾何概念，內積等於零就是正交的概念，引進範數來定義一個函數的大小。
非線性分析：泛函分析有線性的和非線性的，線性的在教科書上已經有了，非線性正處於研究階段。幾乎所有的數學模型都是用微分方程描述的，比如航天、空氣動力學、材料力學，複合材料力學等，都是非線性方程描述的。

代數線：研究有限的離散對象。

基礎工具是矩陣理論。
運籌、統籌、規劃都需要用到線性代數的知識。
代數線的高階是群論。
代數線需要高等數學的知識。

概率統計：研究不確定對象。

主要學科有概率論、數理統計。
概率統計需要高等數學、線性代數的知識。

拓撲線：研究對象連續變化的軌跡。

拓撲學是研究對象的連續變化。
需要高等數學、代數、泛函分析的理論。
有人認為拓撲學是數學的最高境界。

如果不按照教材的順序，那麼就必須按照另一種順序來學習，就必須有一本(或者一套)教材，按照另一種思路和順序對知識進行重組。遺憾的是，這種奇書目前彷彿還沒有，現在的書基本上都是按照經典教材的順序來編排的。

知識與人之間存在緣分。比方說，有的人就是學不好數學，有的人從小數學就很好。這種緣分不光是與天賦有關，也與教學資源有關。比方說，父親是特級廚師，孩子成為高級廚師的概率就更大。

知識與知識之間存在廣泛的聯繫，學數學學到一定境界，就能發現這個規律。有時候你做一道數列的題，居然能聯想到二次函數或者數論的技巧。只有當你的知識達到一定密度時，你才能悟到更多的聯繫。

不清楚問題中的數學指的是那種程度的數學，對於不同階段的數學其實學習方法的差異是非常大的。

對於高中程度的數學，除了幾何之外，基本都不是按照邏輯公理化體系講述的，代數、分析、概率都放在一本教材里。

數學粗略的可以分為幾類：分析、幾何、代數、拓撲；這幾類直接相互聯繫，但是最為基礎的內容是微積分，關於微積分的學習可以分成兩類課程：微積分（高等數學）和數學分析。這兩門課程側重點不太一樣，學習方法也不太一樣。

大學程度非數學專業的數學就開始按照邏輯公理化的體系講述數學知識了，為了整個體系的完整在教材中會出現大量抽象的概念，雖然這些對於非數學專業來講這些知識不「實用」。例如高數中的δ-ε語言。這部分學生主要需要的是如何利用微積分這一工具去解決各自專業中的問題，至於微積分的基礎是否牢固，理論體系是否完善並不是他們所關心的。學習微積分中定理的證明其實從實用的角度完全沒有必要。

對於數學專業來說，主要學習的就是各個數學分支的公理體系。至於如何用微積分去解決具體的問題反倒不是很重要。對於微積分的理論基礎，僅僅就是數學分析這一門課的學習還是不夠的，因為要用到實分析中的一些內容。目前歐美的教材就開始將整個分析學當做一門三個學期的課來講（廣義的數學分析包括：實分析、複分析、泛函分析、調和分析）。

其它的數學分支的情況和微積分差不多，都可以分成側重理論和側重應用的兩種學習方法。

對於教科書，其目的在於用盡量少的時間把這門課程中必要的內容介紹給學生。所以教科書的內容必須是精鍊的，很多相關但不重要的內容是被捨去了的，不過歐美的一些教材倒是可能會篇幅很大。對於數學來說，最精鍊的部分就是這門課程的公理體系，也就是：定義-定理-證明，再加上一些應用方面的內容和習題。但是歷史上對於這些知識的發現可能是按照完全相反的順序進行的，微積分最早就是用來對具體的問題做計算的，而很多的定理和定義是在之後的很多年才出現的。

因此對於數學的學習並不只有定義-定理-證明這一種學習的順序。

對一般人來說這個順序是不錯的

很多東西不一定是最好的,但是是還不錯的

以前有個同學,高數課基本上是半聽課半自學,什麼順序我們也搞不懂,老師講的跟他同步了,他可能就聽下,突然有次跟我們說,某某這個規律經常出現啊,要是定律就方便了,我們告訴他這就是,已經講過了

先假設你還沒上大學，高數之前的數學就是代數幾何後來引入函數（把代數和幾何結合了起來）我們的教科書其實是偏難的，按照定義原理來寫並不完全符合人的認知心裡，當然你會看到每節課之前都有類似導言引入的小段文字，有些老師是無視的。

但對於學生來說這是非常重要的，尤其是讓學生要自己可以感覺到這節課，這個定義原理的要幹什麼，當年那人牛人是怎麼想到的，怎麼最後得到的，你可不可以也自己推導演繹出來

而事實上教科書不太注意，老師更不注意。所以

順序上先學定義原理（如何得到證明）不是很科學，尤其是對於部分學生來說尤其不合適。

我上大學（xiao）的時候，就不明白為什麼要學微積分，學微積分的意義何在，就去問老師，老師說了半天也沒說明白為啥要學微積分，後來我買了一套小冊子，大家應該也見過，就是一套數學簡史，它告訴我每一個年代每一個數學家是如何在解決實際問題中，發現那些定理的，例如阿基米德一直用多邊形來求解圓，他差一點就提前發現了微積分裡面那個著名的定理，我想理解數學是如何發展到今天的歷史，有助於學習數學，拙見、拙見。

很同意 @Maggie姐說的~

另外，我覺得，除了有一個自己的理解數學的體系（麥姐所說的「線」），真正讓人愉悅的，還是對數學的喜愛。有了喜愛的興趣，即使再複雜的的數學問題，也可以慢慢理清、學會的。

而且，做題、做題、再做題，也是必要的。一個證明的想法，不是看看書就能學會的，一個定理到底處於數學的什麼什麼位置上也不是看看書就能明白的，做題，是解決這些問題的唯一途徑，因為每個人都有自己理解中的數學系統，別人的經驗只能成為構建自己想法的借鑒，不一定是結果。所以，做題吧，真的要做很多才行啊……

陳嘉映說學哲學就是學哲學史，我覺得學數學也是學數學史。

跟數學史上的巨人，一起面對問題，然後參考他們的思路，學習他們的解決方法。

這個是我一直想要的學習方式，（而不可得）

應該把數學知識和數學思維方法區分開來。數知識應該有序，數學思維方法則不一定。

回答問題之前請教各位指路人一個簡單的數學問題：

說：在0~1這個區間隨意的取數字，令N1表示你在這個區間抓出來的所有有理數的個數，N2表示所有無理數的個數，請問N1在什麼時候會大於N2。（註：不用考慮任何高中、大學甚至博士里的數學方法。）

概率統計屬於隨機分析，仍為分析一線。泛函屬於分析，線代，拓撲的交叉分支。