在一個集合到自身的映射中用迭代法尋找不動點的條件？

來源：一道數學分析題，證明連續函數中必有一點使得。

推廣：題主試圖考慮這樣一個問題，從某個出發，令，重複此步驟，可得到一個數列。數列有這些情況：

1. 在有限步之後進入循環
2. 進入一個不循環的序列
3. 達到一個不動點

（三種情況不完全平行，但題主想不出更好的語言表述）

問題：在只知道連續的情況下

1. 是否可以保證，總存在 ，使得它會生成一個不循環數列？
2. 如果可以，是否存在一個不循環數列的極限為不動點？
3. 是否能保證它生成一個達到不動點的數列？

如果不行，分別要給 1 2 3 問添加上什麼樣的條件才能保證有相應的結論？

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1. 「是否可以保證，總存在 ，使得它會生成一個不循環數列？」

不一定， 例子

f(x) 定義如下： =x 若 x屬於[1/2,1]; =1/2+2(1/2-x) 若x屬於[1/4, 1/2]; =4x 當 x屬於[0,1/4].

容易驗證 f是[0,1] 到[0,1]的連續映射， 且對任何x屬於[0,1]， x都是准周期的，即"在有限步之後進入循環".

如果加條件，要求f是解析的且f不是有限階的，那麼一定有你要的x_0. 因為這時候准周期點的集合是可數的。

2. 3 "如果可以，是否存在一個不循環數列的極限為不動點？」「是否能保證它生成一個達到不動點的數列？」

不一定， 例子

a) f(x)=x^2. 那麼所有不循環數列的極限為不動點。

b) f(x)=(2x-1)^2 注意到f在[0,1]中所有周期點上都是擴張的。 所以不可能是非周期軌道的極限。

我之所以想回答這個問題，是因為我想到代數動力系統中有個與之有關的問題。 一個簡單的情況如下。

如果f=P/Q是一個有理函數，且所有係數都是有理數。 那麼f誘導了一個Q∪{無窮} 到自身的映射。我們假設f不是有限階的，即不存在n&>1 有f迭代n次後=id.

問： 是否存在x屬於Q∪{無窮} 使得 x不是准周期的？

答案是：是。

證明留作習題。（提示：高度）

進一步，我們可以對代數簇上的rational map 提這個問題。 這個推廣也是對的，這是AMERIK的定理。

再進一步，我們可以問，是否存在x使得x的軌道是Zariski稠密的。 這個就是張壽武的一個猜想。 現在還是OPEN的。

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這個問題和區間映射的吸引子的分類有關。關於一維區間映射吸引子的分類最早來自於John Milnor1985年數學物理通訊上的論文。這個問題在90年代被一批數學家解決。

"任何"一個區間映射，它的吸引子只有三種情況，即吸引的周期軌，周期區間的循環和cantor集。並且吸引了幾乎處處的點。

還有一個形式非常簡單的3n+1猜想與之有關。

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對情況1和情況2並不熟，只能說說情況3。我假設題主具有數學系本科水準，尤其是拓撲和泛函。

這個問題其實就是非常重要的不動點問題。這裡的條件其實很豐富了，因為f是[0,1]是的連續函數，空間有非常多的好的性質。

原題的證明是樸素的，因為[0,1]是一個閉集，從閉集到它自身的連續映射一定存在不動點。（Brouwer fixed-point theorem）

然後，我們弱化題目中的條件（比如連續，閉，有界）。

1，最常見的不動點存在定理就是壓縮映像原理。所以最簡單的條件就是要求||f||&<1。f的運算元範數在不同空間的定義不同，關鍵是在於壓縮。

2，若f不連續，因為實數集是全序的，所以若ER，E是一個任意鏈都upper bound的集合，f：EE,那麼第二種就是x&<||f(x)||.任意的xE .(bourbaki-kneser-princple).

3，[0,1]是個有界閉凸集，保留集合的有界，閉，凸，則若f是緊運算元也可以保證不動點存在。（schauder fixed-point theorem）

上面幾種情況中，壓縮映像原理和schauder不動點定理是最常見的。

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