在一個集合到自身的映射中用迭代法尋找不動點的條件?
01-16
來源:一道數學分析題,證明連續函數中必有一點使得。
推廣:題主試圖考慮這樣一個問題,從某個出發,令,重複此步驟,可得到一個數列。數列有這些情況:
- 在有限步之後進入循環
- 進入一個不循環的序列
- 達到一個不動點
(三種情況不完全平行,但題主想不出更好的語言表述)
問題:在只知道連續的情況下
- 是否可以保證,總存在 ,使得它會生成一個不循環數列?
- 如果可以,是否存在一個不循環數列的極限為不動點?
- 是否能保證它生成一個達到不動點的數列?
如果不行,分別要給 1 2 3 問添加上什麼樣的條件才能保證有相應的結論?
- 「是否可以保證,總存在 ,使得它會生成一個不循環數列?」
不一定, 例子
f(x) 定義如下: =x 若 x屬於[1/2,1]; =1/2+2(1/2-x) 若x屬於[1/4, 1/2]; =4x 當 x屬於[0,1/4].容易驗證 f是[0,1] 到[0,1]的連續映射, 且對任何x屬於[0,1], x都是准周期的,即"在有限步之後進入循環".如果加條件,要求f是解析的且f不是有限階的,那麼一定有你要的x_0. 因為這時候准周期點的集合是可數的。
2. 3 "如果可以,是否存在一個不循環數列的極限為不動點?」「是否能保證它生成一個達到不動點的數列?」
不一定, 例子
a) f(x)=x^2. 那麼所有不循環數列的極限為不動點。b) f(x)=(2x-1)^2 注意到f在[0,1]中所有周期點上都是擴張的。 所以不可能是非周期軌道的極限。我之所以想回答這個問題,是因為我想到代數動力系統中有個與之有關的問題。 一個簡單的情況如下。
如果f=P/Q是一個有理函數,且所有係數都是有理數。 那麼f誘導了一個Q∪{無窮} 到自身的映射。我們假設f不是有限階的,即不存在n&>1 有f迭代n次後=id.問: 是否存在x屬於Q∪{無窮} 使得 x不是准周期的?
答案是:是。
證明留作習題。(提示:高度)進一步,我們可以對代數簇上的rational map 提這個問題。 這個推廣也是對的,這是AMERIK的定理。再進一步,我們可以問,是否存在x使得x的軌道是Zariski稠密的。 這個就是張壽武的一個猜想。 現在還是OPEN的。
這個問題和區間映射的吸引子的分類有關。關於一維區間映射吸引子的分類最早來自於John Milnor1985年數學物理通訊上的論文。這個問題在90年代被一批數學家解決。
"任何"一個區間映射,它的吸引子只有三種情況,即吸引的周期軌,周期區間的循環和cantor集。並且吸引了幾乎處處的點。還有一個形式非常簡單的3n+1猜想與之有關。對情況1和情況2並不熟,只能說說情況3。我假設題主具有數學系本科水準,尤其是拓撲和泛函。 這個問題其實就是非常重要的不動點問題。這裡的條件其實很豐富了,因為f是[0,1]是的連續函數,空間有非常多的好的性質。 原題的證明是樸素的,因為[0,1]是一個閉集,從閉集到它自身的連續映射一定存在不動點。(Brouwer fixed-point theorem) 然後,我們弱化題目中的條件(比如連續,閉,有界)。 1,最常見的不動點存在定理就是壓縮映像原理。所以最簡單的條件就是要求||f||&<1。f的運算元範數在不同空間的定義不同,關鍵是在於壓縮。 2,若f不連續,因為實數集是全序的,所以若ER,E是一個任意鏈都upper bound的集合,f:EE,那麼第二種就是x&<||f(x)||.任意的xE .(bourbaki-kneser-princple). 3,[0,1]是個有界閉凸集,保留集合的有界,閉,凸,則若f是緊運算元也可以保證不動點存在。(schauder fixed-point theorem) 上面幾種情況中,壓縮映像原理和schauder不動點定理是最常見的。
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