球諧函數是什麼？

01-16

求物理化學背景的大神介紹描述下什麼是【球諧函數】。
本人工科背景，最近學到光擴散方程要用球諧函數展開，不太能看懂推導。
十分感謝！

因為題主是從光學角度提問的，下面就從光學角度出發作答，當然實際上無法繞開數學。

球諧函數和振動有關，從某種意義上來說，它和三角函數沒什麼區別。因為它們只是在「不同坐標系」下描述「不同方向」的振動。

我們知道，Maxwell方程導出的波動方程 $abla ^2 E - mu epsilon frac{{partial ^2 E}}{{partial t^2 }} = 0$ （均勻各向同性介質）是描述許多光學現象的出發點。直接假定場在時間上是簡諧振動的 $E(t) propto e^{jomega t}$ （單色光分析），立刻就有 $abla ^2 E + k_0^2 E = 0$ ，其中 $k_0^2 = omega ^2 mu epsilon$ 。當然這個方程可以描述很多種現象，如果把E理解為溫度T，並取 $k_0^2 =0$ ，這就是穩態熱擴散方程；如果把 $k_0^2$ 理解為特徵值，這就是單自由粒子的定態薛定諤方程。所以這個方程的解，及其表現出的一系列振動特徵，在許多領域都是普適的。

我們通常會在3種坐標系下求解這個方程，也就是矩坐標、柱坐標、球坐標。具體應用，在光學中，比如矩形腔、矩形波導，圓柱腔、圓柱波導，球型腔。熱學中，可以有方塊、圓柱、球的熱擴散問題。量子力學裡可以有方勢阱、柱狀阱、有心力場（氫原子）中的粒子運動問題。

每種坐標系都有3個方向，矩坐標x、y、z，柱坐標 $r,phi,z$ ，球坐標 $r, heta ,phi$ 。上述方程在每種坐標的每個方向上都會形成特定的振蕩形態（有時會出現衰減或放大形態）。球諧函數 $Y_l^m ( heta ,phi )$ 描述的就是球坐標系中在 $heta ,phi$ 方向的振蕩形態。這件事通過分離變數法可以看得很清楚。

方程的具體求解都是通過分離變數進行的，具體是：

矩坐標 $E(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)$

柱坐標 $E(r,phi ,z) = R(r)Phi (phi )Z(z)$

球坐標 $E(r, heta ,phi ) = R(r)Theta ( heta )Phi (phi)$

具體求解過程教科書上都有，這裡不再贅述，只看結果。注意，分離變數後的每一個子函數都描述了一個特定方向的形態。

矩坐標系的處理在數學上是最容易的，我們知道三個方向都有相似的振蕩模式，由三角函數描述，比如 $sin k_x x$ 、 $cos k_x x$ ，一般寫為 $e^{jk_x x}$ 。如果 $k_x$ 是實數，就是一個振蕩；如果是虛數，就是一個指數衰減（或放大）。

在柱坐標系中， $Z(z)$ 和矩坐標系沒什麼區別，也是 $e^{jk_z z}$ 的形式。 $R(r)$ 的解是貝塞爾函數，注意，貝塞爾函數 $J_n(x)$ 和 $Y_n(x)$ 描述的就是徑向振蕩形態， $I_n(x)$ 和 $K_n(x)$ 描述的是徑向放大或衰減形態。這和 $e^{jk_z z}$ 有相似的意義。 $Phi(phi)$ 具有 $e^{jmphi}$ 形式的解，也是一個振蕩（由於 $phi$ 向通常要求周期性，故沒有非振蕩解），只是角向振蕩。

在球坐標系中， $R(r)$ 的解是球貝塞爾函數，意義和柱坐標系下類似。 $Phi(phi)$ 仍舊具有 $e^{jmphi}$ 形式的解（同樣有周期性要求）。 $Theta( heta)$ 描述了 $heta$ 方向的振蕩，只不過具體數學形式比較複雜（涉及勒讓德函數）。「球諧函數」就是 $Y_l^m ( heta ,phi ) = Theta ( heta )Phi (phi )$ 。

最後，上面出現的各種函數都有各自的正交完備性，類似於三角函數的正交完備性。所以可以用來展開其他函數，正如傅里葉變換。

定義

令 $vec L = -i vec r imes abla$ 為角動量算符（微分算符），球諧函數是角動量算符的本徵函數：

$egin{split} vec L^2 Y_ell^m ( heta,varphi) = ell (ell +1)Y_ell^m ( heta,varphi) \ L_zY_ell^m ( heta,varphi) = mY_ell^m ( heta,varphi) end{split}$

在球坐標下， $vec L^2 = -frac{1}{sin heta}frac{partial}{partial heta} - frac{1}{sin^2 heta}frac{partial^2}{partial varphi^2},$ $L_z = -i frac{partial}{partial varphi}$ 。

可以使用分離變數法這兩個方程： $Y_ell^m( heta,varphi) = Theta( heta)Phi(varphi)$

$egin{split} frac{1}{Phi(varphi)} frac{d^2 Phi(varphi)}{dvarphi^2} = -mu^2 \ frac{1}{Theta( heta)sin heta} frac{d}{d heta} left [ sin heta frac{dTheta}{d heta} ight ] - frac{mu^2}{sin^2 heta}= ell(ell+1)\ frac{1}{Phi(varphi)}frac{d}{dvarphi}Phi(varphi) = i m end{split}$

顯然容易得到， $mu = m$ 。

作為角動量算符的本徵函數，球諧函數具有良好的轉動性質（另見：CG係數）。

函數形式

$Y_ell^m( heta, varphi) =(i)^{m+|m|} sqrt{{(2ell+1)over 4pi}{(ell - |m|)!over (ell+|m|)!}} , P_ell^m (cos{ heta}) , e^{imvarphi}$ 這裡 $P_{ell}^m(x)$ 是勒讓德多項式， $P_ell(x) = {1 over 2^ell ell!} {d^ellover dx^ell }(x^2 - 1)^ell$ 。

正交完備性

$int_{0}^pi d hetaint_{0}^{2pi}dvarphi Y_ell^m , Y_{ell$

$sum_{ell=-infty}^inftysum_{m=-ell}^ell Y_ell^m( heta,varphi){Y_ell^{m}}^*( heta$

因此球諧函數可以作為一組正交完備基，展開任意「性質良好」的函數 $f( heta, varphi)$ ，

$f( heta, varphi) = sum_{ell=0}^infty sum_{m=-ell}^ell f_{ell m} , Y_{ell m}( heta, varphi).$

圖形

3D 圖(球坐標)： $r = Y_ell^m( heta,phi)$

2D密度圖：

應用

應用在拉普拉斯算符——散度：

$abla^2 f = {1 over r^2}{partial over partial r}left(r^2 {partial f over partial r} ight) + {1 over r^2sin heta}{partial over partial heta}left(sin heta {partial f over partial heta} ight) + {1 over r^2sin^2 heta}{partial^2 f over partial varphi^2} equiv {1 over r^2}{partial over partial r}left(r^2 {partial f over partial r} ight) + frac{vec L^2}{r^2}$

這是因為散度算符是沒有方向的。拉普拉斯方程、赫姆霍滋的解可以寫成：

$f(m r) = sum_n sum_{ell = 0}^{infty}sum_{m=-ell}^{+ell} R_{nell m}(r) Y_{ell}^m( heta, varphi)$

應用在多極展開：

$frac{1}{|m r - m r$ ^{ell+1}}
Y_{ell m}( heta, phi) Y_{ell m}^{*}( heta^{prime}, phi^{prime})" eeimg="1">, 其中 $m r = (r, heta, varphi)$ 、 $m r$ 是極坐標， $r_< = min{r, r$ = max{r, r"}" eeimg="1">。

實際上，該函數是非齊次拉普拉斯方程, $abla^2 frac{1}{|m r - m r$ ，在自由邊界條件下的解。自由邊界條件下任意非齊次拉普拉斯方程的解都可以由此構造出來，這就是所謂的庫侖定律：

若函數 $phi(m r)$ 滿足： $abla^2 phi(m r) = 4pi ho(m r)$ ， $ho(m r)$ 是個性質良好的已知函數。則,

$phi(m r) = int mathrm d^3 r$ .

應用在量子力學 —— 氫原子波函數、分子軌道等：如氫原子的薛定諤方程可以寫作：

$igg( -frac{hbar^2}{2m} abla^2 - frac{k e^2}{r} igg)psi = E psi$ ，

其中含有拉普拉斯算符，因此氫原子的波函數可以寫作：

$psi(m r) = sum_n sum_{ell = 0}^{infty}sum_{m=-ell}^{+ell} R_{nell m}(r) Y_{ell}^m( heta, varphi) equiv sum_{n,m,ell} psi_{nmell}(m r)$

其中 $psi_{nmell}(m r) = R_{nmell}(r) Y_ell^m( heta, varphi)$ 是其本徵態分類。

大家說得都很明白了:

從在物理中的來源上看, 球諧函數是 Laplace 運算元角項部分的一組正交完備的解.

從數學上看, 球諧函數實際上是 SO(3) 一組不可約表示的基, 而 Laplace 運算元角項部分也正好就是 SO(3) 的 Casimir 運算元.

容易驗證, SO(3) 的三個生成元在 $mathbb{R}^3$ 上的可微函數構成的空間的線性表示是 $L_i=iepsilon_{ijk}x_jpartial_k$ . 根據最高權表示定理, 我們知道一定存在非零向量 $Y^l_l( heta,phi)$ 滿足 $L_3Y_l^l=lY_l^l$ , $L_+Y_l^l=0$ . 換到球坐標系下求解這個微分方程組, 就得到了球諧函數 $Y_l^l$ . 不斷對其作用 $L_-$ 直至為零, 就得到其他的球諧函數. 這可能算是球諧函數的另外一種"推導方式"?

由此可以根據群論的知識立刻得到球諧函數一大票性質, 不在此贅述.

不太能看懂推導，這應該不是球諧函數的問題吧。。

回頭重新看看球坐標下的拉普拉斯方程（或者亥姆赫茲方程）是怎麼分離變數的。

球諧函數是三維空間坐標的拉普拉斯算符作用在標量函數上進行變數分離後，在求坐標下，兩個角度坐標子空間中的正交完備基函數。正交完備的意思是可以展開任意性質良好的函數，至於每個基函數的圖像，可以上wiki看看圖片。

順便提一句，這個函數是複函數。另一個回答裡面給出了基本的數學表達式。

題主，你需要一本王竹溪先生寫的《特殊函數概論》，或者是劉式適的《特殊函數》。這兩本書上有球諧函數的詳細推導過程。

在量子力學裡，可以通過角動量的升降算符很自然的推導出球諧函數的形式，且十分的簡潔明了（記得科恩那本書一步不漏才十幾條公式），而不需要使用連帶Legender函數什麼的工具。具體可以參閱格里菲斯《量子力學導論》角動量部分或科恩《量子力學卷一》球諧函數部分。這種方法有助於理解，但參數較大的情況需要反覆使用並歸一化

不是很清楚在數學物理里的推導。不過應該也與角動量相關。就使用而言應該是一樣的，對函數變臉分離後，拉普拉斯方程被分解為與r有關的徑向方程，和與兩個角座標有關的方程，後者的解就是球諧函數。

你為什麼不用wikipedia？這種幾乎每個理工科學生都會學的知識在wikipedia上寫得堪比教科書，甚至優於教科書。

球諧函數是球面拉普拉斯方程的解，因為二維拉普拉斯方程的解按照習慣稱作"調和函數"(解析函數的實部或虛部)，故三維球面類似的也稱作"球面調和函數"，或者"球諧函數"。

球諧函數，實際上是一個偏微分方程本徵值問題的本徵函數(對應一個本徵值有不止一個本徵函數)。自變數為θ和Φ，θ∈(0，π)，Φ∈(0，2π)，分離變數後θ方向上為連帶Legender方程加上邊界有界條件，Φ方向上為簡諧方程(不知道該怎麼稱呼他。。)加上周期邊界條件，若方程有非零解，則本徵值為λ=l(l+1)，(l=0，1，2，…)，本徵函數為球諧函數，對應一個本徵值有2l+1個本徵函數，也即2l+1重簡併。

至於這些名為球諧函數的本徵函數的物理意義嘛：

參考自吳崇試先生2015秋的《數學物理方法》課件，侵刪。

薛定諤方程球坐標化後變數分離，那psi 和fi對應的函數即是球諧函數

你應該隨便找一本數學物理方法的書看看。球諧函數一種特殊函數，三維拉普拉斯方程角向特徵解。

角動量算符和角動量平方算符的本徵函數。也是一組空間完備的正交基