在控制、自動化領域，用到的最高深最先進的數學理論工具是什麼？控制是否是工科里用到數學最多最深的領域？

01-16

數學理論研究一般都超前實際應用很多很多年。當被問道現在這些高深的數學理論都有什麼用時，做數學的人都會說這些基礎理論現在看起來好像沒什麼用，但是幾百上千年後也許就會有大用處。著眼當下，工程實際中，對數學基礎理論的應用到了哪一個程度？哪些工程實際應用用到了高深的數學理論？題主是機械工程系的，覺得自動控制用到的數學知識算工科里比較多的了。

事實上前沿的控制理論在數學上的高深程度可能會很大程度上超過專業以外人士的想像.

除了自動控制專業都要學的實分析複分析, 高等代數和矩陣論, 積分變換, 微分方程和動力系統這些基礎知識以外, 高等的現代控制理論中對非線性系統, 隨機系統控制等問題的許多研究已經相當數學化, 用到的現代數學工具極為豐富, 包括變分法(最優控制), 圖論(多智能體,離散系統), 泛函分析, 隨機過程(濾波理論), 隨機微分方程, 點集拓撲, 李群李代數, 微分流形, 辛幾何(非線性系統的幾何理論), 甚至也包括代數拓撲和代數幾何這些純粹數學的前沿理論. 只不過因為工程上多數場合運用基於傳統控制論的演算法就已足夠, 這些數學理論對自動化行業來說還是有些陌生的. 但在要求對具有非線性, 隨機性, 模糊性的系統設計具有較高性能的控制演算法時(如在經濟, 航天航空, 機器人等領域), 就勢必要運用高等的控制理論, 更不用提在量子信息技術中需要用到的量子控制. 未來對以上系統控制問題的研究會使現代數學的工程應用更加廣泛.

正如關肇直先生所說: 「控制論是一門交叉學科, 大家見仁見智, 十八般武藝都可以往上使.」現代控制理論作為人造系統的物理學, 一方面正在像理論物理一樣向抽象數學理論的方向發展, 同時也在尖端的控制技術中得到越來越多的應用. 但也正其交叉學科的身份, 常常在學術界處於略顯尷尬的地位: 自動化工程師覺得控制理論家是做數學的, 數學家則認為他們是搞工程的……

最後推薦一本自動控制專業的教材: 中科院系統所程代展先生的《系統與控制中的近代數學基礎》, 講了現代數學及其在自動控制中的廣泛應用, 其中第一章的幾個建模例子中就用到了工科生在本科階段幾乎不會接觸到的數學工具. 程老師上學期給我們上了關於矩陣半張量積在邏輯系統控制與博弈中的應用的課程, 給人收穫很大.

代數幾何

在線性系統族的實現理論有應用

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參考文獻：

1. Falb 的method of algebraic geometry 1990

2. Shanker 的control theory and algebraic geometry

經典控制理論，需要學好高等數學和複變函數

現代控制理論，需要學好矩陣論

而現在被大家普遍稱為「智能控制XXX」的這些一堆一堆的新的控制理論，則需要學好概率論，統計學，圖論，群論，集合論，非歐幾何，拓撲學，微分幾何，泛函分析等等等等以及他們的綜合。。。。。。

所以周克敏那本h無窮（似乎名字叫魯棒與最優控制？）的綠皮書，一上來就用漫畫形象地告訴大家，控制走過了刀耕火種和多鉚蒸剛這兩個階段之後，就不再是一個工農的職業了，說白了就一句話，控制其實就是數學，我的理解的話，任何數學，只要其中的任何要素可以被映射為時間，那這門數學就都可以映射到一門控制上的分支，剩下的是可實現性。搞純控制理論研究，其實就是在搞數學。這也是為什麼自動控制在很多國外高校不是一門獨立學科，而依附於math，ee，cs等等的原因，math關注理論，其他學科關注應用，以上。

可以去看看?自動控制原理?這書說了什麼

自動控制這書分兩部分。第一部分經典控制理論是用的最普遍的，第二部分現代控制論我除了在學校做課程大作業以外我就沒再用過。

如果你想了解現代工業常用到的控制方法以及數學原理的話，建議閱讀?過程式控制制?。

如果你想學習現在最先進的控制理論，那你需要先學習?現代控制論?。

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現在工業常用的控制演算法是PID，以及建立在PID演算法上的各種"變種"。PID演算法的最大特性在於該演算法不是特別依賴於被控對象的數學模型，在實際工業中體現在就算不知道被控對象模型是什麼樣的，對於有經驗的工作人員依舊可以將該演算法的參數調好，使得輸出達到要求。這是因為該演算法的核心在於:根據當前偏差進行控制量的調整。偏差是什麼?簡單來說"偏差=給定量-輸出量"。舉個例子，現在電機的"給定量"是每分鐘500轉，"輸出量"是每分鐘300轉，那麼"偏差"就是200轉/分鐘了，PID演算法根據這個當前的"偏差"進行計算，就會得到一個控制量來控制電機。當下次採樣的時候"輸出量"會改變，那個控制量也會跟著變。直到偏差為零時，控制量才會平穩。說到這裡，可以發現控制來控制去跟被控對象並沒有關係，為什麼還要關注被控對象的數學模型? 在PID演算法裡面，有三個參數可以根據被控對象的數學模型得到一個大致的範圍，在這個範圍內細調參數能夠使得控制量更快達到平穩，直觀來看就是電機轉速能夠更快穩定在想要的速度上。

從數學角度來看，經典控制理論是使用傳遞函數來描述被控對象，而傳遞函數是根據被控對象的"線性微分方程"+"拉普拉斯變換"得到的，這個傳遞函數只關注於"輸入"和"輸出"，系統中間發生了什麼一概不考慮，這也就成了它的弊端。

而現代控制論則是更加註重在被控對象的數學模型上，如果一個被控對象能夠被"精準"用數學方式描述出來，那麼根據現代控制論就可以在可調範圍內想怎麼控制就怎麼控制，真的是"隨心所欲"。但是這種控制方式的代價在於"精準描述"上面，對一個被控對象進行"精準描述"是極其耗時耗力的工作。再拿電機來說，工廠電機那麼多，如果全要求"精準描述"恐怕要等上幾個月才能開工幹活，但是使用PID的話，三天就能調好。這也是為什麼都願意用PID的原因。

在數學方面，現代控制論的基礎是矩陣，專業一點叫做"狀態空間"。整個矩陣描述不僅有系統的輸入輸出，還帶有系統每個環節中"傳遞的控制量"。你可以這樣看:

經典控制: 輸入進到系統中，直接就有了輸出，這個輸入在系統中發生了什麼你什麼都不知道也不關注，整個系統通過傳遞函數描述。

現代控制:輸入進到整體系統，整體系統被劃分成一個一個最簡的小系統，輸入在一個個小系統中穿梭，穿梭時輸入怎麼變換,變成什麼樣這個過程一直到輸出，你都是知道的一清二楚，而這些小系統的描述就被集合到一個矩陣中，這個矩陣被稱為"狀態空間"。

到這裡基礎的解釋就差不多了，文中使用大量引號是因為為了通俗的描述，我對一些專業名詞進行加工，有一些詞語的描述其實是錯的，但為了幫助入門才這麼做的。

想必應該是最優控制裡面，Pontryagon Minimum Principle之類的東西了吧。或者dynamic programming或者Hinf control之類的。

答主目前電氣工程專業，就結合本專業的應用做一下粗淺的回答吧。我們研究生期間有一門現代控制理論課程，實際上就是把先進控制理論用在發電機等電力設備或系統的控制上。課程主要分了線性最優控制，非線性最優控制，線性魯棒控制還有非線性魯棒控制四個部分(其實就是領域內幾個大牛的研究成果)。

其中線性最優控制是建立在泛函分析基礎上，本質是求解泛函的極值。基本數學理論就是動態規劃的貝爾曼最優性定理，或者說是龐特里亞金的極小(大)值原理。非線性最優控制的基礎理論則還涉及到了微分幾何和李群李代數部分內容(課程主要研究的是仿射非線性系統)。上述兩項研究主要彙集了我國電氣工程領域盧強院士的早期研究成果。相關成果在上世紀90年代就在我國各大電網應用(主要是用於發電機勵磁控制)。相關理論有專著《輸電系統最優控制》和《電力系統非線性控制》兩本書可供參考。

魯棒控制裡面的內容就更多了。課程里主要涉及到的是魯棒LQR, 線性和非線性Hinf控制。魯棒LQR這塊主要是考慮了擾動的線性最優控制。線性Hinf控制本質上是求解線性Riccati不等式，非線性Hinf控制的數學模型是一個微分博弈的問題，本質上是求解Hamilton-Jacobi不等式，不過這玩意非常難求，所以又衍生出了一系列近似方法。

講講我在控制領域接觸過的數學吧。

SOS（sums of squares）用到了real algebraic geometry的知識，利用凸優化來尋找lyapunov function。

path integral control：一年前選了一門叫stochastic control的課，老師是這個演算法的發明者，他先花了兩個星期證明了一個pde里的定理，然後告訴我們由於這個定理，我們只要隨機生成幾條軌跡就可以得到最優控制的解了。當時就震驚了！！！可惜那個定理完全沒聽明白，所以也忘了是啥了，只記得了這個屌屌的結果。

最後提提雙足行走的專家Aaron Ames. 他的博士畢業論文用到的是category theory，現在做的叫hybrid zero dynamics的方法，用到了微分流形和李群方面的知識。

建議你看看《工程數學》

以下為個人愚見

理論向的話，數學工具就是我等凡人看都看不懂的咯~之前看導師審的別人學校的博士論文，全篇數學推導，看的我一愣一愣

工程向的話，我自認為加減乘除可以解決大部分問題，再就是各種機器學習演算法，不深入研究只是工程使用的話，會敲代碼調用函數就足夠了

@周鑫我就來強行裝一波

加減乘除

謝邀

個人覺得控制跟數學關係不是很大

我高中數學考過17

大學數學基本及格線上跑

現在出來一樣搞控制

而且還做的挺不錯的

感覺高贊的答主已經講的很全面了，我個人認為，模糊演算法和人工神經網路結合是算比較前沿了，所以讀研也想往這方面多靠靠。高數在控制工程中的作用相當於表達系統控制系統的一種工具，為達到控制和表達反應必不可少的工具你說重不重要多不多用到咯