為什麼會發生泡利不相容原理？

01-16

為什麼兩個電子不能同時具有相同運動狀態？
該原理能否用更基本的物理原理推導出來？

@Belleve 的回答已經說明了，全同原理可以推出 Pauli 不相容。
看那個回答的評論，大家似乎對全同原理有相當的偏見（很多人認為二者是循環論證，無所謂誰更基本。。）我就補充下為什麼前者很基本（以及很自然），正好暑假寫的 Weinberg 第四章筆記可堪一用。

第一個問題：為什麼我們要研究兩個全同粒子的交換？（儘管初見你可能覺得很無聊）

這是非常重要的，也蘊含深刻的物理。因為物理學家總是極端地追求平權 —— 不信你從科學史角度回想一下：

為什麼前人哥白尼要提出日心說，又為什麼後人的宇宙學原理認為宇宙在每一點都是均勻且各向同性的？
為什麼相對性原理（無論廣義還是狹義）對於時空那麼地重要？
為什麼要研究內部對稱和規範自由度？

因為沒有道理我們人類處於宇宙的中心！因為實驗上我們無法斷定自己是處於哪一個參考系！因為沒有道理纖維叢的截面必須是那樣劃的！所以自古以來物理學家就不敢認為自己相對於宇宙中的他物是特殊的。某種程度上這也是物理總是表現為自然科學的基礎的原因之一。

好了，回到本題，現在全同粒子依定義有完全相同的動量、自旋（or 螺度）和用於分類的離散（內部）指標 $n$ ，而這三個參數正是你定義（自由）多粒子態所用的標記 $ig|m{p}_{1},sigma_{1},n_{1};cdots;m{p}_{k},sigma_{k},n_{k}ig angle$ ，那麼若是交換多粒子態中的兩個全同粒子（如第 $i$ 和 $j$ 個），則根據多粒子態定義，你是無法知曉前後兩者對物理態的影響的，這正是所謂「全同公理」（因為如果我不「額外」標出這兩個被交換的粒子，你根本不會察覺我做了什麼。這裡「額外」二字強調了這個標記是非物理的，也即不會有可觀測物理效應）。這個公理的自然性由多粒子態定義保證。
注意，上面那句話我提到了「物理態」這個略奇怪的詞，因為量子態的概率詮釋讓波函數可以差一個模為一的常數。也即，類似於規範的選擇，圓周 $S^{1}$ 上的每一個點都代表同樣一個物理態，稱為射線態（Ray）。
於是，由於當我們寫下 Dirac 的 ket 矢時，「額外」選定了規範，儘管射線態不會改變，沒有理由說明交換粒子前後，這兩個具有相同射線態的態有相同的「規範」（這裡你又可以看到物理學家是多麼追求平權，不囿於自己（實驗）世界中所處的規範，而積極地把 $S^{1}$ 上的點都等閑視之）。「規範」之間用模為一的複數連接，記為 $alpha$ 。
又及，沒有理由認為這個連接 $alpha$ 不會牽扯其他粒子（這裡再一次把多粒子態中的全部粒子平權，儘管我們只交換了其中兩個全同的粒子），所以綜上，我們可以將全同原理表述為
$egin{align}ig|cdots;m{p},sigma,n;cdots;m{p$ .

註：簡單說來，全同原理僅僅是要求當一個多粒子系統發生交換時，交換前後物理態有關聯，至於怎麼關聯，還不知道！這是非常弱的一個條件，所以可以斷言全同原理比 Pauli 不相容原理更為基本。事實上，後者的推導是用相對性原理和局域因果條件給出的，儘管對量子場論而言這已經很基本了，但全同原理並不需要這兩個條件，我們甚至不要量子場論就可以研究這個問題：多粒子的定域場論必然要涉及粒子交換的問題。

第二個問題：為什麼 $alpha$ 只與粒子種類有關？（這個性質將被用於定義 Boson 和 Fermion）

證明分為多步：

承認非糾纏類實驗的公理（所以你看，理論物理根本是不空穴來風，而依舊與實驗緊密聯繫）：（非糾纏）實驗中，當空間間隔足夠遠時，結果不相關。否則我們要研究一個東西，必須先認識整個宇宙，這件導致整個物理學無法研究宇宙，不被接受！（某種程度上講這算是人類可知論的要求。。）由此可以推出 $alpha(m{p},m{p$ .
由於不存在三維旋轉群（這來源於量子場論基本假設：時空對稱群為 Lorentz 群，至於為什麼這裡我們研究三維旋轉群就夠了，這是一個群表示的數學要求，參見為什麼旋量場可以構成龐加萊群的無限維幺正表示，與不同動量的little group構成的表示有聯繫嗎？）的非平凡一維表示，所以 $alpha(m{p},m{p$
$alpha$ 首先是 Lorentz 不變的，否則通過變換可使其模不再為一，與射線態定義不容。故而，如果 $alpha$ 與動量關聯，其只能是標量 $p^{mu}p_{mu}$ 之函數，具體寫來就是形如 $alpha({p_{1}}^{mu}{p_{2}}_{mu};n)$ ，可以立即看到，這個形式下， $alpha$ 是粒子交換下不變的，也即與動量無關，故可以簡記為 $alpha(n)equivalpha_{n}$ 。

註：這個證明，揭示交換前後兩個態到底是怎麼關聯，也證明了 $alpha$ 只能與粒子種類有關，故「可以」將之用於粒子分類。

第三個問題是平凡的：為什麼 $alpha_{n}=pm1$ ？ （也即只能交換對稱或者交換反對稱）
答：再交換一次，發現 $alpha_{n}^{2}=1$ 。

註：到了這一步，我們才將對應不同的 $alpha_{n}$ 值的粒子，分別定義為 Boson （ $alpha=1$ ）和 Fermion（ $alpha=-1$ ），而其良定義性，已經被前面的討論證明了。

綜上，我 follow 了 Weinberg 的證明

至於為什麼電子自旋 $1/2$ 能夠推出它是 Fermion ，進而依據 Fermion 定義滿足反交換性，這就又是量子場論的另一個話題了（自旋統計定理）。

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一個簡單的課後問題供大家思考：

儘管上述證明顯示了只能有 $alpha=pm1$ ，但事實山，全同原理依舊和凝聚態物理中廣泛存在的既不是交換對稱、也不是交換反對稱（即 $alpha$ 允許是其他值）的任意子兼容，請說明是哪一步允許其存在，也即，使該證明不成立。

電子之間彼此不可區分，因此對於交換任意兩個粒子前後概率密度函數必須相同。

那麼只有兩種情況：交換對稱和交換反對稱。

電子自旋是 1/2，根據自旋統計定理為費米子，交換反對稱。

要搞交換反對稱最簡單的辦法就是上行列式，那麼考慮：

$Psi^{(A)}_{1 cdots N} (x_1, cdots x_N) = frac{1}{sqrt{N!}} left| egin{matrix} psi_{1}(x_1) psi_{1}(x_2) cdots psi_{1}(x_N) \ psi_{2}(x_1) psi_{2}(x_2) cdots psi_{2}(x_N) \ cdots cdots cdots cdots \ psi_{N}(x_1) psi_{N}(x_2) cdots psi_{N}(x_N) \ end{matrix} ight| ,!$

如果 $psi_1=psi_2$ （即：允許兩個電子處於一個軌道），那麼行列式就為 0，連歸一化都做不到……

所以任意兩個電子不能處於一個狀態。

ps. 四個量子數不能都相等是上面的衍生，更深層的含義是可選的軌道不能線性相關

沒有泡利不相容，這個世界還有什麼意思。

這裡的故事是：先有現象，才有原理（這個原理是對現象的總結）

至於到底為什麼，現在仍是我們所不能解釋的。

科學只是一個自圓其說的過程。只要你解釋得通，並且觀察結果符合你基於這套理論下的推論結果，那麼恭喜你成功了

題主問的應該是Pauli不相容原理背後的原因。從量子場論的觀點來看，這是要求量子場論中描述費米子場的自洽性的必然結果。我不做證明只是說明，如果有需要可以去查閱量子場論的相關書籍，比如Peskin的An Introduction to Quantum Field Theory。大體的邏輯鏈和需要知道的事實如下，

事實1.

3+1維時空的Lorentz群是SO(3,1),　局部等價於SU(2) x SU(2)。

事實２.

SU(2)的群表示要用整數和半整數來標記，即整數0，1，2，……；半整數1/2，3/2……。因此SO(3,1)群也由整數和半整數來標記其群表示，記為(a,b)，a，b為整數或者半整數。

事實3.

玻色子（Boson）是由整數標記的SO(3,1)的群表示來刻畫的量子場，比如標量場(0,0)，矢量場(1/2,1/2)；而費米子（Fermion）則是由半整數標記的SO(3,1)群表示來刻畫的量子場，比如Weyl fermion (1/2, 0), (0,1/2)， Dirac fermion (1/2,0)+(0,1/2)。

事實4.（最重要的一步）

無論Boson還是Fermion場都要進行正則量子化，而正則量子化的自洽性要求：量子化後的Hamiltonian不能夠有負能態。因此Boson場只能遵守對易關係（commuting relation），Fermion場只能遵守反對易關係（anti-commuting relation），否則量子化後的Hamilton會有無窮多的負能態，物理上不自洽。

事實5.

遵循反對易關係的Fermion場則必然是反對稱的，從而自然的得出Fermi-Dirac自旋統計，以及Pauli不相容原理。

以上。

可以說是來源於微觀粒子全同性。

至於最根本的原因，沒人知道。而且目前實驗現象也沒發現違反這個原理，所以大家也就這麼接受了。

如果不服從泡利不相容原理，世界是會亂的。

比如一個原子，原子核中電子是費米子（只有費米子遵循），假設電子不服從不相容原理，原子的能級，不可否認是無限大的，世界也許是另一個樣子了，所以說，我們不能違背自然選擇。

同時我們知道，費米子在全同性質下是反對稱的，自旋也為半整數，因此不可能在同一狀態下擁有或發現2個，或以上的相同粒子。

簡單地說因為電子是fermion，fermions的波動方程anti-symmetric，如果spin和state一樣的話一對fermion的波動方程疊加為0，沒有物理意義。

進一步解釋為什麼fermions的波動方程anti-symmetric：基本粒子的定義要求他們之間identical，這樣系統中任意兩個粒子交換位置，波動方程的觀測值需要不變，由此要求波動方程的phase difference為0 or pi，對應boson or fermion。

所以有pauli exclusion，從化學的角度來說，要求若spin一樣則state／molecular orbital不能一樣。值得一提的是，同一個orbital中雖然存在多個vibrational states（即此MO下的particle-in-a-『box』(or more like a finite potential well)的解），但pauli exclusion依舊hold。以及state的變換必須在lowest vibrational state發生。

今天早些時候被問到biophotonics的物理原理，剛好看到相關的題就答一下，僅作參考。

正如像我們可以的理解的，三維空間中的地球公轉軌跡和四維空間中的地球公轉軌跡是不一樣的一樣。泡利不相容也應該是和全同性原理一樣，都是基於對我們人類所遇到的所有問題的解釋，而產生的理論。就像細細想來，現在大多說的世界是十一維的一樣，這也只是為了使我們人類對於我們所遇到一切問題能有一個可以解釋的答案，而假設的。並沒有什麼實際意義。

類同「地球公轉軌跡」這樣的理解，表面看起來地球公轉好像每年都一樣，實則，放在三維和四維中看，都不是一樣的。同理，對於所有的電子都不相容，我們可以站在更高的維度去理解，即便是世界中電子很多，可是空間中，維數的增加也並不是一個加上一個那麼的簡單，從平行時空的的無限種可能中可見一斑。

要是要找到一個能夠解釋泡利不相容的原理，我想也應該是，物理學家們為了解釋另外一些更加深奧問題，自己搗騰出來的原理。理論物理其實就是能夠自圓其說就可以了。的至於能從更基本的物理原理來推的話，我是很樂意聽到的。

我認為可以這樣理解，泡利不相容可以使我們更好的解釋我們的問題。比如，你和你的朋友兩個人去吃飯一般都會面對面坐著，至於為什麼會面對面做，就可以用泡利不相容來解釋。

「以上純屬個人淺薄的見識，萬望勿噴」

量子力學五條公設之一：全同粒子假設。這是前提，不能證實也不能證偽。然後的推導過程同 @Belleve 大大所述，利用費米子交換反對稱的條件，得到電子不相容的結果

物理學只負責描述，不負責解釋

因為泡利能帶來厄運，只要他出現，無論你的實驗準備有多充分，都必定會失敗

曾經我們有個老師說過，他們搞數學的，為了一個理論費盡心思推導證明推導證明，最後得出結論是怎麼怎麼樣的。

而那幫搞物理的，只要感覺上好像是這樣的，那麼做個實驗試試吧！實驗成功了那麼OK就是這樣的。。。。