均勻骰子有多少種？

01-16

均勻骰子的定義是：凸多面體，每個面都是多邊形，每個面都有一個與之平行的面（這樣，一個面著地，另一個面正好朝上，否則擲骰子的結果就不好說了。），對於任兩個面，存在一個骰子到自身的保距變換，使得一個面變成另一個面。
所以首先每個面的形狀都要一樣，而且必須有偶數個面（兩兩平行）。（那種細長的n稜柱或者硬幣就不要拿出來說了）
1 最簡單的是正多面體，有6，8，12，20面（正四面體沒有平行面）。2 其次，正六面體的每個面的中心凸起，與頂點成棱，每個面變成四個一樣的三角形，得到一個24面均勻骰子。同理，正十二面體可以變成60面均勻骰子。3 把兩個2n稜錐的底面粘起來，得到2n面的雙稜錐，恰當地選取稜錐的頂角，使得每個面都有對應的平行面，得到4n面的均勻骰子。
問題是：除此之外，還有哪些不同的均勻骰子？尤其是4n+2面的。

根據Richard Xu的提示，以下選自Wiki 中 Dice 內的"Uniform fair dice"。這裡提到的骰子有些不滿足『每個面都有一個與之平行的面』。

均勻骰子共五類 (配圖均來自對應的Wikipedia頁面)

1 正多面體Platonic solid，面數有4，6，8，12，20.其中4面體不滿足『每個面都有一個與之平行的面』

2 卡特蘭多面體Catalan solid，共13種，面數有12, 24, 30, 48, 60, 120。其中有一些不滿足『每個面都有一個與之平行的面』

3 雙稜錐Bipyramid，6或以上的偶數面都可以。如果要求『每個面都有一個與之平行的面』，則需要是4的倍數，而且每個面數只有一種。

4 偏方面體Trapezohedron，6或以上的偶數面都可以。4n+2型滿足『每個面都有一個與之平行的面』。而且同樣的面數有無窮多種。

5 鍥形體Disphenoid，都是正四面體的變形。

綜上，4面或以上的偶數面均勻骰子都存在。如果要求『每個面都有一個與之平行的面』，則需要6或以上的偶數（4n+2型用偏方面體，4n型用雙稜錐）。

另外，『沒有奇數面的均勻骰子』好像不是特別平凡。（根據許雪萱的提示，這是1960年的結果）算一下邊數知道，如果存在奇數面均勻骰子，則每個面都是偶數邊形。但確實有九面體，每個面都是四邊形，雖然各面不相等。

PS 謝正剛的答案並不是真正的（數學意義上的）均勻骰子，雖然在實踐中有一樣的效果。那個配圖裡，骰子兩端的面和中間的面不相同，但實踐中兩端的面不會出現。

英文維基被牆了嗎？

看這個頁面就行了：Dice

先發，一會兒看心情翻譯。

這種稜柱形的，你想要多少面都可以。

圖片來自7 Cube Crystal Oblivion (blue)

偶數做三角面，奇數做平直面。

可以參考Mathworld上這個詞條：Isohedron -- from Wolfram MathWorld。

裡面給出了所有isohedron的分類，共30類，出自數學家Branko Grünbaum的工作。Isohedron被定義為「a convex polyhedron with symmetries acting transitively on its faces with respect to the center of gravity」，所以題主想要的傳遞性已經有了，只是變換被加上了保重心的限制，不知道有什麼實質性的影響（編輯：任何圖形到自身的保距變換一定保重心，可以用線性變換與向量值積分可交換順序的性質證明，所以結論是沒影響）。

所以理論上說，只要檢查一下這裡面哪些滿足題主的兩兩平行條件就可以了。