均勻骰子有多少種?

均勻骰子的定義是:凸多面體,每個面都是多邊形,每個面都有一個與之平行的面(這樣,一個面著地,另一個面正好朝上,否則擲骰子的結果就不好說了。),對於任兩個面,存在一個骰子到自身的保距變換,使得一個面變成另一個面。

所以首先每個面的形狀都要一樣,而且必須有偶數個面(兩兩平行)。(那種細長的n稜柱或者硬幣就不要拿出來說了)

1 最簡單的是正多面體,有6,8,12,20面(正四面體沒有平行面)。2 其次,正六面體的每個面的中心凸起,與頂點成棱,每個面變成四個一樣的三角形,得到一個24面均勻骰子。同理, 正十二面體可以變成60面均勻骰子。3 把兩個2n稜錐的底面粘起來,得到2n面的雙稜錐,恰當地選取稜錐的頂角,使得每個面都有對應的平行面,得到4n面的均勻骰子。

問題是:除此之外,還有哪些不同的均勻骰子?尤其是4n+2面的。


根據Richard Xu的提示,以下選自Wiki 中 Dice 內的"Uniform fair dice"。這裡提到的骰子有些不滿足『每個面都有一個與之平行的面』。

均勻骰子共五類 (配圖均來自對應的Wikipedia頁面)

1 正多面體Platonic solid,面數有4,6,8,12,20.其中4面體不滿足『每個面都有一個與之平行的面』

2 卡特蘭多面體Catalan solid,共13種,面數有12, 24, 30, 48, 60, 120。其中有一些不滿足『每個面都有一個與之平行的面』

3 雙稜錐Bipyramid,6或以上的偶數面都可以。如果要求『每個面都有一個與之平行的面』,則需要是4的倍數,而且每個面數只有一種。

4 偏方面體Trapezohedron,6或以上的偶數面都可以。4n+2型滿足『每個面都有一個與之平行的面』。而且同樣的面數有無窮多種。

5 鍥形體Disphenoid,都是正四面體的變形。

綜上,4面或以上的偶數面均勻骰子都存在。如果要求『每個面都有一個與之平行的面』,則需要6或以上的偶數(4n+2型用偏方面體,4n型用雙稜錐)。

另外,『沒有奇數面的均勻骰子』好像不是特別平凡。(根據許雪萱的提示,這是1960年的結果)算一下邊數知道,如果存在奇數面均勻骰子,則每個面都是偶數邊形。但確實有九面體,每個面都是四邊形,雖然各面不相等。

PS 謝正剛的答案並不是真正的(數學意義上的)均勻骰子,雖然在實踐中有一樣的效果。那個配圖裡,骰子兩端的面和中間的面不相同,但實踐中兩端的面不會出現。


英文維基被牆了嗎?

看這個頁面就行了:Dice

先發,一會兒看心情翻譯。


這種稜柱形的,你想要多少面都可以。

圖片來自7 Cube Crystal Oblivion (blue)

偶數做三角面,奇數做平直面。


可以參考Mathworld上這個詞條:Isohedron -- from Wolfram MathWorld。

裡面給出了所有isohedron的分類,共30類,出自數學家Branko Grünbaum的工作。Isohedron被定義為「a convex polyhedron with symmetries acting transitively on its faces with respect to the center of gravity」,所以題主想要的傳遞性已經有了,只是變換被加上了保重心的限制,不知道有什麼實質性的影響(編輯:任何圖形到自身的保距變換一定保重心,可以用線性變換與向量值積分可交換順序的性質證明,所以結論是沒影響)。

所以理論上說,只要檢查一下這裡面哪些滿足題主的兩兩平行條件就可以了。


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