看到一個帖子說衛星軌道不符合開普勒定律，牛頓定律，請問實際中衛星軌道是如何計算的呢？

01-16

開普勒定律，牛頓定律肯定是近似，但我想問這個近似在計算軌道真的不行么？為什麼？謝謝

開普勒定律和牛頓定律要分開來看。

如果不考慮相對論效應，牛頓定律F=ma是普適的定律，衛星在無論如何複雜的引力場中運動（以及同時使用多複雜的推進方案），每時每刻都遵守牛頓定律。但牛頓定律過於簡潔和底層，沒法用來做事而已。

開普勒定律則是一種理想化的簡單情況，是天體軌道最簡化的一種描述方式，只能描述一個中心天體保守引力場中的軌道，對於比較複雜的受力狀況它的假設從一開始就不成立，遑論適不適用了。但在工程中並非沒有用處，比如深空探測裡面用的圓錐曲線拼接法，就是把幾段簡化後的開普勒軌道在適當的地點接起來，如果要提高精度，則要考慮干擾因素並引入修正項。

開普勒定律沒有脫離牛頓定律的範疇，但內涵上是有差別的，「英國那些事兒」的小編不一定能體會到這個層面。

你看的是http://news.mydrivers.com/1/454/454524.htm這個帖子？

整句話是「放到幾百年前，在牛頓或者開普勒的年代。如果有任何一個然敢畫出這樣的軌道的人。都會受到毫不留情的取笑，因為這軌道中的一切，都不符合牛頓和開普勒定律的基礎。」

也就是說，整體看似不符合，但用現代計算機來計算其動態控制參數，每一個時刻都是符合的。

同學你知道SSO軌道嗎？

太陽同步軌道：（攝動力的應用）

晚上下班回來開始逼逼，請靜候(^0^)/

主要講以下幾點：

基本軌道知識，從牛頓到開普勒

進階，從牛頓到拉格朗日

各種軌道的原理及應用

深空探測的幾個問題

致敬Robert老先神！

% ………………………開始填坑……………………………… %

1.從牛頓到克卜勒（女神的專輯叫《克卜勒》有木有啊！）

牛頓說：要有引力！於是就有了引力。牛頓說兩個物體之間的引力為 $F=Gfrac{Mm}{r^{2} }$ 並且指向對方，一些以伽利略為首的運動學專家總結出的圓周運動規律契合了天體橢圓軌道運動的原型。形象一點就是，你拿繩子拴住一隻蘋果，拿另一頭甩起來一圈一圈轉，假如不考慮重力，你對蘋果只有一個向心力，這個力大小即使不變，方向時時改變，高中物理告訴我們這樣產生了嚴格看來不能叫勻速運動的勻速圓周運動。當時我就想，要是地球和太陽，衛星和地球都是符合這種勻速圓周運動，中心引力提供向心力，宇宙多和諧啊。宇宙的和諧從來不是簡單，而是豐富。後來我們發現，有種運動叫橢圓運動，連圓都是倆焦點重合的橢圓。後來才發現橢圓也包括在圓錐曲線裡邊，僅考慮兩個天體的所有軌道都是圓錐曲線，這是後話。先說說橢圓的故事。

初中中午回家吃飯喜歡看書，看到過觀測家第谷和徒弟開普勒的故事。第谷觀測天體一觀就是大半輩子，雖然嘔心瀝血但是缺乏總結能力和一定的科學技術敏感性，導致只留下來一些珍貴的觀測資料而沒有像樣的結論。他把衣缽傳給徒弟開普勒。感謝天花病魔沒有燒壞開普勒的腦子，才有了後來他總結的三定律。開普勒第一定律說所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。感覺他瞬間打開了軌道力學這一領域的大門！現代的表述為二體問題中，運動的天體其軌道為圓錐曲線，中心天體位於圓錐曲線的一個焦點上。二體問題的軌道表述為一個公式: $r=frac{h^2}{mu } frac{1}{1+ecos heta }$ 其中 $e$ 是完全根據動力學積分而來的一個常數。這個公式的推導如下：

分別討論 $0<e<1$ ， $e=1$ 和 $e>1$ 對應橢圓，拋物線和雙曲線方程， $e=0$ 對應圓。

這就是符合開普勒定律和牛頓定律的軌道。

2.從二體問題到拉格朗日方程

三維軌道牽扯到軌道六根數及其對時間的求導，最後轉化為拉格朗日行星運動方程，後邊更

這才是考慮了攝動的實際運行的軌道！

3.各種軌道的原理及應用

太陽同步軌道

地球同步軌道

凍結軌道

回歸軌道

4.深空探測的幾個問題

蘭伯特問題

今天20141104早上Super Strypi小火箭發射失敗，航天不容易啊！

不早了，明後天更！

% ………………………7.11.2015更………………………………
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2.從二體問題到拉格朗日方程

三維軌道牽扯到軌道六根數及其對時間的求導，最後轉化為拉格朗日行星運動方程，後邊更

這才是考慮了攝動的實際運行的軌道！

先上圖，經典的軌道圖，然後講從動力學對應到圖上的參數

解釋一下上圖：

$gamma$ 為黃道面與赤道面的交線，指向春分點，每年會有50秒的移動，近似不動。（2000多年前，一群仰（xian）望（de）星（dan）空（teng）的天文學家將當時春分點對著的遙遠的白羊座定為基準，可是白羊座與地球連線的方位幾乎固定，無奈地球運動存在「歲差」即地軸畫錐，導致現在已經移動到雙魚座。）

1.圖中粗線為橢圓半長軸 $a$ ；

2.橢圓軸方向上的矢量 $e$ ，還記得前邊的推導嗎，就是那個 $e$ ，稱為偏心率；

3.軌道面與赤道面的夾角為 $i$ ，稱為軌道傾角；

4.軌道軌道自南向北穿過赤道面與赤道面的交點稱為升交點，對應於升交線 $N$ ，升交線與 $gamma$ 的夾角為 $Omega$ ，稱為升交點赤經；

5.在軌道平面上，偏心率與升交線的夾角為 $omega$ ，稱為近地點幅角，因為衛星運行到那個點離地球（質心）最近。

6.衛星實時位置與地心連線，與近地點的夾角為 $heta$ ，稱為真●近點角，呸，真近點角！

空間中的衛星質點運動問題也就是軌道問題存在六個自由度，即位置矢量 $r$ 和速度矢量 $v$ 各三個分量。以上六個參數可以將其描述清楚並存在對應的轉化關係，稱為軌道六根數。

抱歉不更啦，轉行了

軌道預報的精度是跟你的實際應用需求相聯繫的。比如我們討論定性問題時，只要用中學物理粗略算一下就可以了。使用光學望遠鏡觀測時，如果望遠鏡視場是30角分，那麼預報誤差超過30角分的話就會觀測失敗，此時一般就需要考慮地球扁率項和大氣阻力。而使用激光測距手段測量衛星時，激光束必須準確打中衛星，此時對軌道預報的精度要求更高，一般精度可能在米級以下，此時會考慮幾十階的地球引力場模型，大氣阻力，其他星體攝動，太陽光壓，相對論效應等。

印象里引力彈弓是上個世紀的產物……所以古人肯定想不到還能這麼玩……

現會玩啊！

一般而言，衛星軌道就是按照牛頓定律計算，也就是說知道力求加速度，積分得到速度和位置。由於衛星除了地球球形引力外，還受到各種微小擾動力的作用。衛星軌道理論主要解決怎麼樣取捨這些擾動力來達到所需要的精度，還有就是定性定量給出這些擾動力下的運動規律。

問題中說到不滿足牛頓定律在一定意義下也是正確的。因為衛星運動速度達到幾千米每秒，再加上地球公轉速度，合起來也很可觀，所以硬要考慮狹義相對論效應也是木有問題的。但是又回到剛才說的取捨問題，如果精度不高，就完全沒有必要考慮這個。給個具體的數，狹義相對論大概的量級是地球球形引力的十億的分之一。

衛星軌道的運行的力學分析非常複雜，開普勒定律是一種很簡化的理想方式，術語講是二體運動，即把衛星和地球看成兩個質點，除了地球沒有其他的天體，其運動規律就是精確得開普勒定律。但實際情況當然不是這樣的，地球也不是質點，甚至不是球形，還有太陽月球等其他天體，軌道上雖然空氣接近真空，但時間長了那點以及很多其他的因素，所以實際預報衛星軌道要複雜得多，但基本是靠牛頓力學推的。

因為衛星不僅僅是有引力，人家還自帶發動機好么。快要掉來了，再修正一下軌道，再加一下速神馬的。