怎樣一眼看出某個對應 (correspondence) 是上半連續的？

01-16

求教各位大神，上半連續的定義比較抽象，是否有直觀的判斷方法，可以從圖像上判斷出來？

你非要一眼看出的話，那就是closed graph定理了。這個是真一眼看出.......

來一個直觀的吧。

看圖說（人）話：

給定一個多值函數（也就是經濟學家口中的「對應」） $xi : S o T$ ，即圖中的紅色粗條；
給定一個開集 $Osubseteq T$ ，即圖中的藍色開區間；
我們稱 $overline{xi}^{-1}left(O ight)=left{ sin S:xileft(s ight)subseteq O) ight}$ 為 $O$ 的強原像（strong preimage），即圖中的深綠色開區間；
我們稱 $underline{xi}^{-1}left(O ight)=left{ sin S:xileft(s ight)cap O eqvarnothing ight}$ 為 $O$ 的弱原像（weak preimage），即圖中的淺綠色開區間；
強原像是弱原像的子集。

在充分理解了強原像和弱原像的含義後（對照著上圖看三遍定義），請看如下定義：

對於任意的開集 $O subseteq T$ ，如果 $O$ 的強原像 $overline{xi}^{-1}left(O ight) subseteq S$ 也是開集，那麼我們稱多值函數 $xi$ 為上半連續（upper hemicontinuous）；
對於任意的開集 $Osubseteq T$ ，如果 $O$ 的弱原像 $underline{xi}^{-1}left(O ight)subseteq S$ 也是開集，那麼我們稱多值函數 $xi$ 為下半連續（lower hemicontinuous）；
如果多值函數 $xi$ 既是上半連續，又是下半連續，那麼我們稱其為連續。

理解了這些以後，做兩個小測試（只需關注非連續點附近）：

應該「一眼」就能看出其中的端倪來了吧？（在根據開區間 $V$ 添加了兩條平行於橫軸的輔助虛線後，就連我這種人都能很快看出來…）References:

Simon, Leo. Mathematical Methods for Agricultural and Resource Economists. Lecture Notes, 2012.
De la Fuente, Angel. Mathematical Methods and Models for Economists. Cambridge University Press, 2000.

以上半連續為例，下半連續類似。

若在某個點，任何大於函數在該點的值，存在該點的鄰域，鄰域上的函數值不超過該值。

或者簡單地用上極限寫成