說數學是「自洽」的是什麼意思？

01-16

自洽應該就是 self-consistent，在不考慮別的東西的時候，說一個東西是自洽的就是說這個東西是一致的（consistent），在考慮兩個公理系統的時候則有可能出現雖然兩個公理系統各自自洽，但是放在一起不一致的情形。在不區分證明論和模型論視角，或者說，有完全性定理的時候，一致的和融貫的（coherent）是一回事，但是具體表述上是不同的：

說一個（公理）系統是一致的，就是說對於任意一個系統中的命題 $phi$ ，如果這個系統能夠證明出 $phi$ ，那麼它就證明不出 $egphi$ 。說一個公式集合是一致的，就是說對於任意的 $phi$ 這個公式集合不能同時推出 $phi$ 和 $egphi$ 。
說一個（公理）系統是融貫的，就是說這個系統有模型，也就是說，存在一個模型使得這個系統中的定理全部都是真的。或者說，存在一個模型使得這個系統中的公理全都是真的，而推理規則全都是保真的。說一個公式集合是一致的，就是說存在一個模型使得這個公式集合中的所有公式在這個模型中都得到滿足/為真。

模型的概念在模型論裡面有專門的定義，但是基本上可以做一個簡單的理解，比如說三維線性空間加上標準度量是歐幾里得幾何公理系統的一個模型。宇宙本身加上什麼作為度量是黎曼幾何的一個模型。自然數是皮亞諾公理的一個模型。

另外，算術系統的一致性是不能證明的，我們只是相信它是一致的，但是也沒有人會去相信算術系統是不一致的。其它東西都能還原為算術系統，畢竟我們有哥德爾編碼。

就是不會自相矛盾。