如何理解路徑積分(path integral)?

01-16

路徑積分的基本思想我的理解是某一時刻的波函數可以由不同歷史的波函數加權求和得出，不知道是否準確?
是否代表時間相對其他空間維度具有特殊性?
路徑積分能不能理解為某種傅立葉變換?

如何直觀或者形象地(比如通過某個例子)理解路徑積分?
~~分割線~~
感謝各位的解答!
關於第一點，由於概念混淆造成誤解請各位包涵。此處將「某一時刻的波函數」改為「兩點之間的概率幅(transition amplitude)」不知是否更為準確?
關於第三點，與傅立葉變換的聯繫一方面是因為公式的相似性，另一方面是因為積分變換與微分方程的關係，希望有朋友解答。

關於第四點，光的波動性與無窮多個雙縫干涉都非常有意思，希望可以有朋友解釋更多細節。

量子力學有不同的表述方法。在經典的Sakurai的教材，是用正則量子化（canonical quantization）的方法，用的主要是算符和量子態、波函數等；另一方法便是路徑積分（path integral）。二者是等價的。

如果用路徑積分，我們便不用波函數。不過，正則量子化中的結果（如各能級的波函數）有時也因綫性代數的原因而被使用，但原則上是獨立的。波函數所展現的隨機性，在路徑積分可以得到體現，因為波函數的運動方程就是古典解中的結果而同時也是量子解中的期望值，路徑積分很自然地把量子力學和古典力學連在一起。而路徑積分算出的關聯則用以描述古典力學沒有的隨機性。

至於時間是不是特別，我不敢說，但路徑積分是泛函積分。在量子力學中，作用量是位移的泛函，而位移通常是時間的函數。當到了量子場論時，作用量也是泛函，但當中的函數是位移（或動量）及時間（或頻率）的函數。到了統計場論，時間很多時候沒有特別意思。

路徑積分某程度上是概率分佈的泛函，但在量子力學中因為虛數i的存在而不明顯；但到了統計場論，這個積分算出的就是Helmholtz自由能。

關於第四個問題，費曼在其《理性邊緣的物理》（QED: The Strange Theory of Light and Matter）有很好的描述。他用光子的相（phase）去描述各樣波動學的結果（費曼本人不相信波粒二象性，他認為所有東西都該用粒子描述）。

書目推介：

R. P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter：科普讀物，但很值得看，物理內涵豐富
R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integral：基本教材。但本人得坦白一下，除了最後一課讀過外（因研究課題之故），本人未讀過這一本。但隨眼一看，覺得應該是好書。
L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration：對路徑積分的各類應用都涉獵，初學參考必備。

沒有一個人從Kolmogorov定義出發么？

對於一個事件我們可以很簡單地說各個概率是多少 P(A)；

兩個事件？連續事件概率 P(A_1, A_2)；(這裡取事件是離散的，如果是連續的應該還有dA_1dA_2)

更多也好辦，可以推廣；

到無窮的極限是否有一個合適的定義？如果可以有一個坐標圖畫出，就是在橫坐標為時間，縱坐標為事件上的一條軌跡（以函數f(t)表示），任取（當然是有預先分布的）的一條曲線（只要一個時間只有一個事件）落在此軌跡附近的概率是P[f(t)]Df，其中Df就是離散情況下df_1df_2...，對應空間一定體積。

歸一性int P[f(t)]Df = 1

函數／泛函平均值& = int F[f(t)] P[f(t)]Df

這大概是我第一次在量子力學課以外還發現統計也可以這麼玩。

態空間維數有限時，可以用矩陣相乘時求和指標會遍歷一個(離散的)路徑來理解。

參見Mumford的這篇文章：http://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog/2014/FeynmanIntegral.html

無限維的情形貌似目前沒被很好的理解，作用量是二次型的時候可以看作是高斯積分的無窮維推廣。。

簡單地說，路徑積分就是薛定諤方程： $ihbarfrac{partialpsi}{partial t}=hat{H}psi$ 的解。

作為態矢空間的Hilbert space $mathcal{H}$ ，其中態隨時間的演化由單參強連續酉運算元群： $U(t)=e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}$ 描述。這裡的自伴運算元 $-frac{hat{H}}{hbar}$ 即為酉運算元群的生成元。現在，在 $t=t_0$ 時刻給定態 $psi(r,0)$ ，薛定諤方程的解（即態的演化）為： $psi(r,t)=U(t)psi(r,0)=e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}psi(r,0)$ 。也就是說，給定系統的 $hat{H}$ 和 $psi(r,0)$ ，只要求出了 $U(t)$ 我們就可以確定系統隨時間的演化。接下來的任務就是要求 $U(t)$ 。

對於許多量子力學問題， $-frac{i}{hbar}hat{H}=frac{hbar}{2m} abla^2-frac{1}{hbar}V(r)$ ，也就是說 $hat{H}$ 可以分解為兩個相對簡單的自伴運算元的和。對於某個酉運算元群 $U(t)=e^{ihat{A}t}$ ，如果其生成元 $hat{A}$ 可以寫成兩個自伴運算元的和 $hat{A}=hat{B}+hat{C}$ ，那麼利用Trotter乘積公式可得： $e^{i(hat{B}+hat{C})t}=lim_{n o infty}(e^{ifrac{t}{n}hat{B}}e^{ifrac{t}{n}hat{C}})^n$ （運算元強極限下收斂）。將其應用在描述量子態演化的酉運算元群上可得： $e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}psi=lim_{n oinfty}(e^{frac{ithbar}{2mn} abla^2}e^{-frac{it}{nhbar}V(r)})^npsi$ 。

考慮上式右邊第一個酉運算元群 $U_1(t)=e^{frac{ithbar}{2mn} abla^2}$ ，這是描述自由粒子演化的一族酉運算元，它的形式很容易得到： $e^{frac{ithbar}{2mn} abla^2}psi(r_0)=(frac{mn}{ithbar})^{n/2}int_{R^3}e^{ifrac{mn}{2hbar t}|r_1-r_0|^2}psi(r_1)dr_1$ 。而第二部分的酉運算元就是簡單的乘積運算元： $e^{-frac{it}{nhbar}V(r)}$ 。將這兩部分帶入上式可得：

$e^{-frac{i}{hbar}hat{H}}psi(r_0)=lim_{n oinfty}Cint_{(R^3)^n}explbracefrac{i}{hbar}sum_{j=1}^{n}varepsilon lbrack frac{m}{2}vertfrac{r_j-r_{j-1}}{varepsilon}vert^2-V(r_{j-1}) brack bracepsi(r_n)dr_1cdotcdotcdot dr_n$ ，當 $n o infty$ 時可將上式化為：

$e^{-frac{i}{hbar}hat{H}}psi(r_0)=Cint_{all }explbracefrac{i}{hbar}int_{0}^{t} lbrack frac{m}{2}cdotvertfrac{dr}{ds}vert^2-V(r(s)) brack ds bracecdotpsi(r(t))cdot dmu$ ，觀察可知指數部分即為經典力學中的作用量，即： $e^{-frac{i}{hbar}hat{H}}psi(r_0)=Cint_{all }explbracefrac{i}{hbar}S bracecdotpsi(r(t))cdot dmu$ ，這就是路徑積分。

簡單的講，我們只是利用Trotter乘積公式對酉運算元群 $U(t)=e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}$ 做了變形而已。現在來關注這個積分本身。一般的一元函數積分 $int_0^tf(t)dt$ ，在 $R^1$ 上有很自然的測度可以讓我們做積分，這裡積分要求實數 $t$ 「跑遍」區間內所有值。而路徑積分中作用量是一個積分型泛函， $S:C[0,t] o R$ ，我們這裡要求 $r(t)in C[0,t]$ 「跑遍」空間中的所有路徑。與通常 $R^n$ 中的積分不同，路徑積分是在函數空間 $C[0,t]$ 上做積分。這裡空間 $C[0,t]$ 是無窮維的，其中 $mu$ 即為函數空間上的Wiener測度。

從應用上看，路徑積分對於大多數問題來講是很不方便的。不過，重要的是，它提供了一種將拉格朗日力學和量子力學連接起來的方法。路徑積分的計算中變數要「跑遍」空間 $C[0,t]$ 中的所有路徑，而當 $hbar o0$ 時，指數因子 $frac{i}{hbar}S$ 快速震蕩相互抵消，只有經典力學中使得作用量 $S$ 取駐值的經典路徑 $r=r(t)$ 保留下來。

量子力學的路徑積分表述下應該是沒有波函數這個概念的。
在非相對論量子力學中，時間本來就有特殊地位。相對論量子力學（量子場論）中的路徑積分的「路徑」已經不是一個 path 了，而是整個時空的 field configuration，其中時間和空間地位相似。
含源路徑積分（配分函數）可以看作是 $e^{iS}$ 的傅里葉變換： $Z[J]=int[dphi]e^{i(S[phi]+Jcdotphi)}$ ，至於這有什麼意義，我也不知道。
光的波動性。

積分，本質上來說就是疊加。而路徑積分，是對每條路徑的貢獻進行疊加，也可以說是將每條路徑的幾率疊加起來，就得到了從這一點到那一點的幾率。而要描述一條路徑，尤其是量子概念下的路徑（多麼詭異都是可能的）需要你將每一瞬間的位置都表述出來，就是說你的自變數：路徑，是要由無限多個量才描述的清楚的，用數學的表達就是，一條路徑可以表述為一個無限維度空間中的一個向量。所以，路徑積分的自變數是個向量，積分結果是從某一點到另一點的幾率密度。

路徑積分只是個計算工具，在量子力學（QM）裡面它和薛定諤方程是等價的，不建議從本體論的角度去思考其物理意義。量子力學裡面最重要的教條就是「Shut up and calculate」，路徑積分最大的好處就是能算。為啥能算要看你的屁股坐在哪裡，比如，搞隨機過程的人的想法和做量子場論的人觀點完全不同。

以下引用來自 Feynman Paths - Less Wrong

The Feynman path integral (PI) and Schrodinger"s equation (SE) are completely equivalent formulations of QM in the sense that they give the same time evolution of an initial state. They have exactly the same information content. It"s true that you can derive SE from the PI, while the reverse derivation isn"t very natural. On the other hand, the PI is mathematically completely non-rigorous (roughly, the space of paths is too large) while SE evolution can be made precise.
Practically, the PI cannot be used to solve almost anything except the harmonic oscillator. This is a serious handicap in QM, since SE can be used to solve many problems exactly. But in quantum field theory, all the calculations are perturbations around harmonic oscillators, so the PI can be very useful.

Many physicists would agree that the PI is more "fundamental" because it"s gives insight into QFT and theoretical physics. But the distinction is largely a matter of taste.

重點標註是我加的。我用數值方法和有限的時空域做過很多計算，感覺這段話說太太精妙了。

最後給自己的專欄做個廣告，然而它並不是關於量子力學的。

Path Integrals

量子力學裡面的時間，確實有特殊性。

這是為什麼發展相對論場論的原因，在泛函積分里，時間就不特殊了。

路徑積分和傅里葉變換沒有依存關係。

傅里葉是工具，哪裡都可以用。

1+1=2 是工具，哪裡都可以用。

路徑積分是種計算方法，它的出現來自於費曼的靈感，不來自於某種對於概念的堆砌和邏輯的思辨。

只來自於費曼瞎算時的發現。

------------------

路徑積分量子化是不同於正則量子化的另一種計算方法，算散射幅是主業，當然，你也可以用編時算符去算，沒人攔著你。

物理學的發現，都是基於計算的發現（被調侃了，這麼說不嚴謹，應該是，物理學的發現，是基於實驗的發現，從實驗現象出發，得到理論，靠的是計算，所以說是基於計算的發現。但再追究一層，還是基於實驗的發現。這裡強調計算是為了與純粹邏輯概念演變相對比。），不是基於邏輯概念的發現，後者叫做哲學、玄學。

(有一個例外，只有一個例外，愛因斯坦，他是有了概念，很清晰了，然後用微分幾何表述出來了，這是為什麼愛因斯坦是神一般的人的原因。不過，你去看他的原始論文，沒大扯概念，也全是在算啊算。）

這個我記得在a.zee的nutshell裡面開頭就有非常生動的講法

就是bch公式導致的拉屎量不對易因此需要切時間小片，把不對易項壓倒高次。就這麼簡單。。