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極限的定義只有ε 語言一種嗎？有沒有等價表述？

01-16

想了解一下和ε 等價的極限表述。

比較普遍的是用基的定義。基深刻揭示了極限思想的含義。

以下引自維基

基有兩個重要性質:

基的元素覆蓋 X。

設 B1、B2 是基的元素，並設 I 是它們的交集，則對於每個 I 中的 x，有另一個基元素 B3 包含 x 並包含在 I 中。

另外可參閱Zorich 數學分析

可以用非標準分析：

只了解最容易的non-principal ultrafilter construction

首先要相信存在一個自然數集合上的non-principal ultrafilter， $mathcal{U}$ （因為這蘊含存在一個不可測集合），考慮在 $mathbb{R}^{mathbb{N}}$ 建立一個等價關係，使得 $mathbb{R}^{mathbb{N}}/{sim}$ 是 $mathbb{R}$ 的proper extension。具體的就是 $(a_i)_{i in mathbb{N}} geq (b_i)_{i in mathbb{N}} iff { i in mathbb{N} mid a_i geq b_i} in mathcal{U}$ 。這樣可以讓 $a in mathbb{R}$ 對應常數列 $(a,a,a, ldots, )$ 的equivalence class。但同時我們也有了新的元素，比如 $(1, 0.1, 0.01, 0.001, ldots)$ 這樣的極限為0的序列的equivalence class它比0大但又比所有標準模型的正實數小，從而我們可以在實數上添加無窮小，和「無窮接近於」的等價關係。我們把新的實數模型記作 ${}^ast mathbb{R}$ 。事實上，這個construction並不限於實數模型，也不限於序關係。transfer principle說的是所有標準模型的first order sentence是真的話，當且僅當非標準模型的對應first order sentence也為真。

這裡我們可以把 $f$ 在 $x$ 連續的epsilon-delta定義轉化成任何和 $x$ 無窮接近的點，比如 $y$ ，則 ${}^ast f(x)$ 和 ${}^ast f(y)$ 也無窮接近。之所以引入新的符號 ${}^ast f$ ，因為定義域和值域可能都比原來大了。

序列的極限實際上是一個純粹的拓撲性質。

對於一個拓撲空間 $X$ 中的序列 ${ x_n }$ ， $x_n ightarrow x$ 可以定義為：對於 $x$ 的任何一個鄰域 $U$ ，存在一個 $N$ ，使得對於任何 $n>N$ ，都有 $x_n in U$ 。

特別地，如果這個拓撲是度量誘導出來的，那麼這個定義可以等價地用 $varepsilon$ - $delta$ 語言描述。

任意一個非空集合X，都可以定義一個topology（滿足一定條件的X的一族子集）。然後我們無需再定義其他任何概念就能在Topological Space上定義極限。我們連集合中兩點的「距離」都不需要定義。

用鄰域定義。

y=f(x)在x_0處連續是指，任給定f(x_0)的鄰域V，存在x_0的鄰域U，使得f(U) subset V.

粗略地說，自變數充分接近的時候就能保證函數充分接近。

epsilon 語言也無非是在度量空間里給定了鄰域。

數學最根本的概念是集合。從集合出發定義拓撲空間，環，群之類的代數結構，才到實數域。所以實數的各種定義從根本上都是從集合來的。上面運算元的答案其實就是用拓撲空間來定義極限。

拓撲空間上的鄰域定義其實是一個Neighbourhood system，可以從這裡出發定義極限。

當然最根本的極限當然是集合的極限啦：

給一個集合序列 ${A_n}$ 定義上下極限：

$liminf_{n ightarrow infty}A_n = cup_{n=0}^inftycap_{k=n}^infty A_k$

$limsup_{n ightarrow infty}A_n = cap_{n=0}^inftycup_{k=n}^infty A_k$

然後如果兩個極限相等就定義為集合序列的極限：

$lim_{n ightarrow infty}A_n =liminf_{n ightarrow infty}A_n =limsup_{n ightarrow infty}A_n$

非標準分析。

占坑

我記得有個基於幾何關係證明的方法，待我回去查查書

追根溯源，還是要回到拓撲的鄰域上去。ε 語言只是限於度量空間上的說法，最簡單的度量空間就是歐式空間。對於一般拓撲空間，x 是序列{x_n}的極限點，是指任意 x 的鄰域，都包含除了有限個 x_n 以外的其它所有 x_n. 將這個定義放到度量空間上估計就是題主所說的 ε 語言。

這東西還是扔掉吧

讓我們進入拓撲的奇妙世界

在度量空間上以度量定義的極限。詳見baby rudin。

基、鄰域

濾子…

不過不等價，強太多…

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