頻率響應的物理意義是什麼？

01-16

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原回答中從特徵值、特徵函數角度的分析有點抽象，這裡補充一些更加直觀的說明。

需要對頻率響應進行定義，MIT6.003，信號系統中，對頻率響應（Frequency Response）的定義如下：

is a plot of magnitude M and angle $phi$ as a function of frequency $omega$

在這個定義中，將頻率響應看作是從輸入到輸出的一個與輸入頻率 $omega$ 相關的映射。

除了頻率響應之外，我們還會研究脈衝響應，階躍響應(可以看作原系統加一個積分器)，斜坡響應（兩個積分器）。

我們研究這一類信號，是因為它們對系統本身的價值（比如脈衝響應，它的拉普拉斯變換就是傳遞函數），以及其在實際系統或工程中的基礎性意義——比如頻率響應。

如果你熟悉FFT，那麼信號展開，就比較清楚。我們可以把信號在不同頻率上展開，因此每一個單獨信號（這樣描述不專業）的響應特徵就很重要了——這可以看作頻率響應的一個重要物理意義。

多說一句：類似的，對LTI系統，我們看重脈衝響應，因為這個信號加了積分器後可以變成很多基本信號，對應線性控制三大問題：穩定性、跟蹤、校正。我可以通過研究傳遞函數的基本模態來考察這些內容。

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在LTI系統中，針對一類信號，研究它們在頻域里的響應是非常有益的。

看待信號與系統有很多不同的角度：多項式角度，微分方程，卷積，頻率響應等，如果我們用線性代數知識從信號的角度來觀察LTI系統：

當一個輸入信號，如果輸出「形狀」不變，只是幅值發生了變化，那麼稱這個「信號」為該系統的「特徵方程」，幅值變化的倍數為「特徵值」，這也是特徵值，特徵方程在信號系統中的物理意義。

有趣的是所有指數函數，是所有LTI系統的特徵方程。從卷積的角度很容理解：

其實這個圖還包含了傳遞函數的頻率響應意義和在線性代數中的意義（特徵值）。

而指數函數和什麼有關呢？三角函數

順著這個角度，傅里葉啊，各種變換啊，線性代數與實際系統啊，都可以統一來思考。

最後給一張實際物理系統頻率響應的小實驗截圖：

電機輸入變換頻率時（幅值不會變），可以看到輸出的響應情況。觀察彈簧響應的幅值，位移，頻率等等。

一個系統對不同頻率的輸入信號的響應

舉個簡單不嚴謹但容易理解的例子

你拿一個綠色的玻璃片，這個綠色的玻璃片就可以看做一個系統

然後用一束白光照射，只有綠光透射過玻璃片

白色的光是多種波長「赤橙黃綠青藍紫」光的混合，這其中，每種顏色的光對應一個頻率（可見光的顏色和波長相關，波長和頻率成反比）

而玻璃片對綠光的響應是通過，對其他光的響應是衰減，那麼最後形成的輸出光就是綠光

對這個過程的描述就是頻率響應

頻率響應是LTI系統特徵向量的特徵值。LTI系統對特定頻率的響應是一個複數，包含幅度和相位信息。

幾個不太嚴謹的例子（名字瞎編的）幫助理解：

頻率響應：

$cosleft(omega n+phi ight)=m{frac{1}{2}e^{-jphi }}e^{-jomega n}+m{frac{1}{2}e^{jphi }}e^{jomega n}$

"基數"響應：

$32618=m{3} imes10^4+m{2} imes10^3+m{6} imes10^3+m{1} imes10^1+m{8} imes10^0$

"面值"響應（人民幣）：

$285=m{2} imes100+m{1} imes50+m{1} imes20+m{1} imes10+m{1} imes5$

"多項式"響應：

$fleft(t ight)=m{fleft(0 ight)} imes t^0+m{f$

假設你是開餐館的。伙房每個月都要把買菜，調料，鍋碗瓢盆，清潔工具等等等等的賬目報給你。

你是希望伙房籠統地報一個總的支出，還是希望伙房精細到每個基礎項目的支出呢？大多數人都是希望後者吧。

然後你想調整餐館的每月支出，從而改善營業狀況。那麼你認為是直接調整總支出更好？還是精細地針對每個基礎項目的支出逐一調整更好？大多數人都是希望後者吧。

後者就是頻域分析啊。具體頻域響應就是看調整某個基礎項目的支出後造成什麼影響。

貧嘴的說，就是信號經過傅里葉級數拆開之後，每個正弦波經過系統後，會對其幅值和相位帶來什麼影響

如果有一個線性系統，該系統既可以是一個振動的機器、也可以是一個高層結構或者一個電路。不論什麼系統，總有一些輸入x1(t)、x2(t)、x3(t)、...構成系統的激勵，並有一些輸出y1(t)、y2(t)、y3(t)、...構成系統的響應（見下圖）。其中x(t)與y(t)可以是力、位移、速度、加速度、電壓、電流等，也可以是這些量的組合。

由於有線性疊加原理，以上問題可以極大簡化，因為該系統在若干個點上受到x1(t)、x2(t)、x3(t)、...的聯合激勵時，可以分別確定各單獨激勵所引起的響應，然後將它們疊加起來，得到系統總的響應y(t)。所考察的系統就可以簡化為只有一個輸入與一個輸出的情形，如下圖：

由於該系統的激勵x(t)和響應y(t)都是時域信號，對其進行傅里葉變換後得到它們的頻譜X(ω)、Y(ω)，它們分別包含了時域信號x(t)與y(t)的頻率構成情況，激勵與響應頻譜之間有著極其簡單的線性關係式，即：

X(ω)=H(ω)*Y(ω)

H(ω)為系統的頻率響應函數，它含有該線性系統動力特性的完整信息，它在頻域中通過傳遞、修改系統的激勵得出系統的穩態響應。H(ω)為復函，H(ω)=A(ω)-iB(ω)，其更具體的物理意義在於：它的模|H(ω)|給出了y(t)與x(t)的振幅比，而它的幅角B(ω)/A(ω)給出了y(t)與x(t)之間的相角差。通過在一系列間距很小的頻率上進行測試，就可以完全地確定系統的動力特性。

舉個栗子，如下圖所示的一個彈簧-阻尼器系統。系統的激勵是力函數x(t)=x0*sin(ωt)，其穩態響應是無質量小車的位移函數y(t)=y0*sin(ωt-φ)。那麼有：

模|H(ω)| = sqrt(A(ω)^2+B(ω)^2) = y0/x0;

虛部/實部 = B(ω)/A(ω) = tan(φ)。

最後，該頻響函數H(ω)的量綱為長度/力。

頻率響應=傅里葉逆變換=傅里葉級數展開

其數學本質在於用一組正交基來表示空間中一個點，而每個基向量所乘的係數可以用內積法求得。

線性定常系統對諧波輸入的穩態響應，是時間響應的一個特例。

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