量子態與波函數有什麼異同？

01-16

一、什麼是連續譜。

首先可以參考一下我的回答：

量子力學的基本理論是什麼？

上面簡單介紹了一下希爾伯特空間、譜和譜族的概念，其中連續譜的部分大概在這裡：

運算元A的預解式定義為 $(A-lambda I)^{-1}$ ，使得預解式在全空間都有定義的 $lambda$ ，叫做運算元A的正則點，其他的點叫做譜點。
譜包括：
1.點譜， $A-lambda I$ 不是單射，所以它的逆不存在。
2.連續譜， $A-lambda I$ 不是滿射，所以它有逆，但逆的定義域不是全空間，但是全空間的稠密子空間；
3.剩餘譜， $A-lambda I$ 不是滿射，它的值域也不在全空間稠密。
對自伴運算元，也就是物理量而言，剩餘譜為空集，所以只有點譜和連續譜，而且其譜集是實數集的子集

我們要看清楚，連續譜和有限維空間中的本徵值根本就不是同一個概念，原因很簡單，有限維空間中的線性映射，單射與滿射是等價的，這對於無限維空間是不對的，所以無限維空間中的線性運算元必然有完全不同的性質，這必須要求我們把本徵值推廣為譜。

既然連續譜根本就不是本徵值，我們自然不應該去要求它有本徵矢，特別的一個運算元只有連續譜時，它沒有任何本徵矢！

很遺憾坐標和動量就是這樣的運算元，所以在數學的希爾伯特空間中不存在坐標 $X$ 和動量 $P$ 的任何本徵矢！

二、我們期待著的量子態與波函數的關係

從物理的要求來看，態是是個抽象的概念，而波函數是它的一種具體的表示形式。

從數學上看，希爾伯特空間是一個抽象的概念：完備的內積空間。首先學過線性代數的都知道，線性空間本身是抽象的，而我們可以用具體地列矩陣來表示其中的矢量，當然這個矢量到底是什麼，就隨便定義了，只要它符合線性空間的定義中的8條公理。

顯然任何符合希爾伯特空間定義中的公理：線性空間8條、內積4條、完備性1條，的空間就OK了，數學上並不關心它是什麼，當然物理上我們知道這是量子態。（注意，共線的非零矢量表示同一個態，0矢量不表示任何態，因此這不是個一一對應）

而波函數則是用具體的函數來表示抽象的量子態，它大致就相當於線性代數裡面的列矩陣。

當然列矩陣有和抽象的矢量同樣的性質，我們自然也應當期待波函數有和量子態同樣的性質，最好波函數和態矢量是一一對應的！

於是波函數也要有內積 $int_{R^n}f(x)^*g(x)dx$ ，並且關於這個內積要構成希爾伯特空間，我們從數學上知道這個波函數的空間就是 $L^2(R^n)$ 。

因此數學看來波函數滿足的條件是：平方可積，且幾乎處處相等的函數視作同一個函數。

看出來了吧，有的書上說的「連續、可微、單值」都不對！

三、如何把態矢量對應成波函數

我們處理譜的數學工具叫做譜族，關於譜族的物理性質，我剛才引用答案中提到

任何一個稠定的自伴運算元 $A$ 都對應著一個唯一的譜族 $E_A$ ，使得：

$A=int_{sigma (A)}adE_A$
積分空間 $sigma (A)$ 是運算元 $A$ 的譜集。
這個 $E_A$ 和被測體系的歸一化態矢量 $|x angle$ 構成了一個概率測度：
$P(X)=langle x|E_A(X)|x angle$
這個概率就是當系統處於 $|x angle$ 狀態，物理量 $A$ 的測值在 $X$ 中的概率。

當然我們知道波函數的模的平方就是概率密度，當然所謂密度就是Radon-Nikodym導數，自然地我們知道：

$|psi(x)|^2={frac {dlangle psi|E_X|psi angle} {dm}}$

這裡測度 $m$ 是 $R^n$ 中的勒貝格測度。但是這是不夠的，因為波函數除了概率以外，要表示相位，而相位這東西是個相對概念，因此我們必須找一個態作為參考。

對於相位參考 $phi$ 的一個基本要求就是 $E_Xapproxlangle phi|E_X|phi angle$ （這裡的所謂譜族與測度等價也是需要特殊手段理解的，好在投影運算元必定是有界正運算元，問題也不大），也就是說這個參考矢量必須在任何允許的測量值附近都有測得的幾率。

比如空間 $L^2(R)$ 中， $phi(x)=frac{1} {sqrt{pi}}e^{-x^2}$ 就合適，它幾乎處處都不為0，而 $phi(x)=1(0<xleq1),0(xleq0 or x>1)$ 就不合適。

一般來說，這種矢量只能在可分的希爾伯特空間中存在，不可分的則一般不存在。

這一步我們得到的波函數就是 $psi(x)={frac {dlanglephi|E_X|psi angle} {dlanglephi|E_X|phi angle}}$

但這個波函數不好，因為：

$langle psi|xi anglegeqint_{R^n}psi(x)^*xi(x)dlangle phi|E_X|phi angle$

積分測度並不是勒貝格測度，因此我們要提出一個因子來：

$psi(x)=frac{dlanglephi|E_X|psi angle}{dlanglephi|E_X|phi angle}sqrt{frac{dlanglephi|E_X|phi angle}{dm}}$

這樣就有 $langle psi|xi anglegeqint_{R^n}psi(x)^*xi(x)dm$ 。

其中等號只有無「簡併」時才能取得，這裡的簡併打引號是說，傳統的簡併只能描述本徵值，而連續譜我們一般只能保證這種態矢量到波函數的映射為同態而不是同構，這其中的物理本質差不多和簡併是一樣的，即光靠位置不足以區分所有的量子態，所以用打引號的「簡併」。

這裡還有兩個問題：

1.顯然這樣的波函數存在必須要求 $E_Xll m$ ，只有絕對連續的前提下，關於勒貝格測度的Radon-Nikodym導數才是存在的。對於坐標和動量，這是成立的，但對於一般的運算元，我們自然不能期待這樣的性質，不過形如 $psi(x)={frac {dlanglephi|E_X|psi angle} {dlanglephi|E_X|phi angle}}$ 的波函數還是存在的。

2.對於不同的相位參考 $phi$ ，我們從同一個態矢量可以得出不同的波函數，它們之間相差一個相位因子，這導致了所謂局域的 $U(1)$ 對稱性，從而導致了電磁相互作用（可以證明兩種不同坐標表象下的動量算符，正好差一個矢勢項）。

四、為什麼嚴格的數學不能用在物理教學中

上面的流程我們涉及到：

實變函數概念：勒貝格測度、 $L^2$ 空間、測度的絕對連續和等價、Radon-Nikodym導數；

拓撲學概念：完備、可分；

泛函分析概念：希爾伯特空間、自伴運算元、譜族、譜分解定理。

以上理論中牽涉研究生級數學知識。

而物理上的方案只需要一個概念 $delta$ 函數，甚至你不需要完整的廣義函數理論。

所以不可能用嚴格的數學來教育學物理的本科生甚至研究生。

廣義地說，波函數就是一個量子態 $|psi angle$ 。狹義地說，波函數是量子態在坐標表象下的表示 $psi(x)=langle xmidpsi angle$ 。

下面先來回答這個問題，再對物理語言做翻譯和解釋。

一，態矢和波函數：

公理：體系的純態由復可分Hilbert space $H$ 上的單位矢量表示。

有限維情況下我們只需要要求複數域上的內積空間就OK了，因為有限維的情況下內積空間一定是完備的（柯西列一定收斂or絕對收斂一定收斂），也一定是可分的（存在可數正交基or存在可數稠密子空間），所以我們不需要強調。而無窮維時這兩個條件是必要的。

態矢 $|psi anglein H$ 就是Hilbert space上的單位矢量。在沒有談及具體物理問題時，公理中的Hilbert space $H$ 是抽象的（這裡抽象的意思是滿足定義的集合都叫Hilbert space，但我們沒有指明這個集合具體是什麼），當我們涉及到具體物理問題時，相應系統的Hilbert space $H$ 就是確定的了，例如：

1，S-G實驗：

我們僅關心電子的自旋，這裡的Hilbert space $H$ （ $dim(H)=2s+1,s= frac{1}{2}$ ）是一個複數域上的二維矢量空間： $V_{1/2}$ 。這個矢量空間可以由泡利矩陣 $sigma_i$ 的本徵矢作為基底。

2，一維諧振子：

此時的Hilbert space是一維波函數空間 $L^2(R)$ ，即平方可積函數 $psi:R o C$ 的集合。

3，氫原子：

同上，此時的Hilbert space為： $L^2(R^3)$ 。

4，氫原子（考慮電子自旋）：

這個問題的certain Hilbert space $H=L^2(R^3)otimes V_{1/2}$ ，即（1）和（3）中的Hilbert space做張量積得到的Hilbert space。

好了，現在我們可以給出答案了。態矢 $|psi angle$ 的具體形式取決於我們要研究的具體問題，在有些物理問題中的態矢是某種形式的波函數。而有些問題中態矢是一個有限維的矢量（例如S-G實驗中的態矢）。

波函數一定是某個系統的態矢，但如果你指著態矢 $|psi angle$ 問我：「這是不是波函數」，那這可就不一定了，我只能說它是某個復可分Hilbert space中的矢量，它的具體形式是什麼取決於我們研究的物理問題是什麼。

二，關於物理上的表述：

到了物理習慣用法的翻譯和解釋時間了。物理上，我們說：「波函數是坐標表象下的態矢」，具體表示形式為： $psi(x)=langle x|psi angle=int_{-infty}^{+infty}delta(x$ ，其中 $|x angle=delta(x-x$ ，物理上稱之為位置算符 $hat{X}$ 的本徵矢。，我們將態矢 $|psi angle$ 對 $|x angle$ 做投影就可以得到波函數。有了上面的鋪墊，物理上這個解釋就變得非常之奇怪了，具體來說：

1，波函數空間是平方可積函數空間 $L^2$ ，但 $delta(x-x$ 連函數都不是（不在Hilbert space $L^2$ 中）又怎麼能作為矢量空間的基底呢？

2，既然這裡的位置本徵函數 $|x angle=delta(x-x$ 連 $L^2$ 空間中的元素都不是，又怎麼能用 $L^2$ 上定義的內積（具體表達形式為： $int_a^bpsi(x)^* phi(x)dx$ ）和 $L^2$ 中的元素做內積呢？

3，對於某個矢量空間 $H$ 上的自伴運算元本徵值問題，我們解出本徵矢就可以拿本徵矢作為空間的基底來表出空間中的矢量。不過，既然 $|x angle=delta(x-x$ 都不在 $L^2$ 內，為什麼說位置算符的本徵矢是它呢？

4，對於動量運算元 $hat{P}$ 也存在同樣的問題， $|p angle=e^{ikx}$ 也不在 $L^2$ 中。

下面來回答這幾個問題：

1，首先，要明確一點。對於 $|x angle=delta(x-x$ 和 $|p angle=e^{ikx}$ 這種不可歸一化（非平方可積函數）的波函數，它們有物理意義，但不具有實際的物理意義（只是理想的模型而已）。現實中根本不存在完全自由的粒子（所以才有了箱歸一化，我們只考慮限制在有界區域的粒子）；也不存在完全確定在 $R^3$ 的一個點上的粒子。

2，正因為如此，我們通常的波函數空間 $L^2$ 中才沒有包含它們，它們不能用內積 $(psi,phi) o C$ 給出一個複數，也不能用 $L^2$ 中的基底展開。不過，我們可以把它們理解成distribution： $T(chi)=int_{R^n}chi(x)f(x)dx$ ， $chi in C^{infty}_c(R^n)$ ，例如： $delta(chi)=chi(0)$ 。

3，嚴格的講 $hat{P},hat{X}$ 是 $L^2$ 上的無界自伴運算元，它們沒有點譜（有需要的話戳這裡：關於譜定理，我就不啰嗦了）。但是，我們可以發現，雖然物理上的對 $psi(x)=langle x|psi angle=int_{-infty}^{+infty}delta(x$ 的解釋是非常牽強的，但是這個表達式本身沒有錯誤。 $langle x|psi angle$ 無非就是 $delta$ 函數的定義嘛，而 $langle p|psi angle$ 無非就是傅里葉變換的表達式而已。也就是說，在物理上，我們只是對正確的表達式做了不恰當的解釋罷了。

三，表象變換：

連續譜表象和分立譜表象是完全不同的東西，不過物理上我們假裝 $|x angle$ 和 $|p angle$ 是基底之後，就很輕鬆的用「積分化為求和」糊弄過去了。這裡簡單說一下它們究竟是什麼。

1，分立譜表象：

分立譜表象的概念是很清晰的，對於復可分Hilbert space $H$ （無論什麼系統），由於 $H$ 是可分的，故存在可數正交基，此時： $H=igoplus_{i=1}^{infty}H_i$ 。於是，我們就可以藉助一組基底（通常是某個自伴運算元的本徵矢）將 $H$ 中的矢量展開，由此 $H$ 中的元素就可以用無窮維（有限維）列向量來表示，列向量的分量就是給定基底前的係數。

而表象變換就是 $H$ 上基底的變換，當然，這個變換需要保內積，故由某個酉運算元 $U$ 確定。

2，連續譜表象：

分立譜表象實際上就是 $H$ 上的基底變換，它針對任何一個物理問題中的 $H$ 都是存在的。但連續譜表象的表象變換僅僅針對可以用波函數描述的物理問題。即 $H=L^2$ 是某個平方可積函數空間。

簡單地說：選取一種連續譜表象，即選取波函數空間 $L^2$ 中函數的自變數。例如坐標表象波函數 $psi(x)$ 與動量表象波函數 $psi(k)$ 。它們之間由傅里葉變換聯繫（不同變數波函數空間 $L^2(R^n)$ 之間的同構映射）。

具體討論如下：

（1）考慮Schwartz空間空間 $S(R^n)$ 上的傅里葉變換，其滿足如下性質：

a， $psi(x) in S(R^n)$ 及其傅里葉變換 $widehat{psi}(k)$ 都在 $S(R^n)$ 中（是單射也是滿射），這分別對應了動量和坐標波函數。

b， $widehat{frac{partial psi}{partial x_j}}(k)=ik_j widehat{psi}(k)$ ， $widehat{x_jpsi}(k)=ifrac{partial}{partial k_j} widehat{psi}(k)$ ，這表明動量算符在動量表象下是乘積算符；坐標算符在坐標表象下是乘積算符。

c， $int_{R^n}|psi(x)|^2dx=int_{R^n}|widehat{psi}(k)|^2dk$ ，這體現了不同連續譜表象之間的變換是保內積的。

（2）Schwartz空間 $S(R^n)$ 是 $L^2(R^n)$ ，的稠密子空間。故其上傅里葉變換可以延拓至 $L^2(R^n)$ ，使之成為 $L^2(R^n)$ 之間的同構映射： $F:L^2(R^n) o L^2(R^n)$ 。這就是我們通常所說的連續譜表象變換了，它是不同自變數波函數空間 $L^2(R^n)$ 之間的同構映射。

（3）值得說明的是，變數的選取並不止這兩種，只要在相空間 $(T^*M,omega)$ 的切空間上選取滿足條件的Lagrangian subspace（稱為一種polarization），就可以得到一種連續譜表象。

波函數是從一個角度來描述一個量子態。

在量子力學裡，量子態（quantum state）指的是量子系統的狀態。態向量可以用來抽象地表示量子態。量子系統的量子態也可以用波函數（wave function）來描述。薛定諤方程（Schr?dinger equation）設定波函數隨時間演化，因此波函數具有類似波的性質。

一個量子態可以對應多個波矢，它們之間可以相差一個相位exp（iδ)

而波函數就是波矢在坐標表象下的表示