（無窮維）希爾伯特空間上的厄米算符一定有本徵值和本徵函數嗎？

01-16

好像譜定理與此有關，但是可能是我對教材上的符號不熟悉，我翻了好幾本書找不到類似的敘述。
希爾伯特空間的定義是

$int_a^b f^*g ;mathrm{d}x = infty$
希爾伯特空間上的線性算符是厄米算符當下式滿足（我去圖書館翻了好幾本泛函的書教材都用的「自伴運算元」這個詞。）：
$langle hat{Q} f , g angle =langle f hat{Q} g angle$

$langle f,g angle$ 是表示內積的符號。
本徵值也叫特徵值，本徵函數就是希爾伯特空間中的本徵矢量，也被稱作特徵矢量。
題目應該定義清楚了，請問 $hat{Q}f=lambda f$ 一定有解嗎？

PS：原本想用圖片寫公式的，但是圖片設置總是搞不定，於是還是用代碼吧，要勞煩各位載入這個腳本（http://www.zhihu.com/question/19817384/answer/15393725）來顯示代碼了，造成不便，實在抱歉。
修改: 已將公式修改成用知乎內置公式渲染顯示.

當然，有限維的情況比較簡單，這個隨便找個書都有的。例如：http://jpkt.whu.edu.cn/jpkc2007/sbhs/Arobat/FunctionalA/5/53.pdf

而且如果有本徵值也不算怪事——關鍵是不但有，而且有實的本徵值。

你的疑惑應該主要是這個定理能否推廣到無窮維？是個好問題，這裡同樣涉及到我上次說過的緊性。

以下內容來自維基：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B1%E5%AE%9A%E7%90%86，證明請參考英文維基：http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_operator_on_Hilbert_space

其它書籍應該也有這一定理的證明，這是非常重要的定理，一般除了入門的一些書，其它地方應該也有，所以關鍵應該也是緊性。

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緊自伴運算元的譜定理

主條目：希爾伯特空間上的緊自伴運算元

一般來講，希爾伯特空間中的關於緊自伴運算元的譜定理和有限維的基本一樣。
定理：設A為希爾伯特空間V上的緊自伴運算元。存在V的標準正交基，由A的特徵向量構成。每個特徵值都是實數。
對於埃爾米特矩陣，關鍵在於存在至少一個非零向量。要證明這一點，不能靠行列式來表明特徵值的存在，而是要使用極大化論證，類似於特徵值的變分表述。上述譜定理對於實或虛希爾伯特空間都成立。如果緊性假設被取消，則未必每個自伴運算元都有特徵。