在函數列收斂中，從較弱的拓撲中的收斂性到較強的拓撲中的收斂性，需要加什麼條件？

01-16

已知 $f_n o f$ 在 $mathcal{S}^prime$ 中成立，由於 $L^phookrightarrow mathcal{S}^prime$ ,如果 $f,f_nin L^p$ ，那麼是否有 $f_n$ 在 $L^p$ 中也收斂到 $f$ ？若不成立，什麼時候成立?一般地，像上面這樣的從較弱的拓撲中的收斂性到較強的拓撲中的收斂性需要加什麼條件？

謝邀：回答是不能。舉一個簡單的反例吧： $f_n(x):=sin 2npi x$ , $f_nin L^2(0,1)$ ,可以證明它是弱收斂到0，自然也是在廣義函數意義下收斂到0的。但是它顯然不強收斂到0。只有極少數空間的空間中，弱收斂列可以自動變成強收斂，這種空間叫Schur空間。

Schur"s property

第一個Schur空間是 $ell^1$ ,在這個空間中如果 $f_n$ 弱收斂到 $f$ ,那麼 $f_n$ 強收斂到 $f$ 。值得一提的是，這不代表在這個空間上弱拓撲等於強拓撲。事實上，我們可以找到其中一個弱收斂net ${f_alpha}$ 使得 $f_alpha o 0$ ,但是 $|f_alpha| o +infty$ 。這個結果可以推廣到一般的空間上：